1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Точки бифуркапии соответствуют возрастающей нагрузке на основном решении в послекритической стадии деформирования конструкции. На практике может встретиться случай совпадения максимальной и бифуркационной нагрузок. 6. В случае бифуркации решений задачи вводим начальные неправильности, соответствующие по форме найденному собственному вектору.
Повторяем решение задачи с малой начальной неправильностью для определения боковой ветви решения. 7. Чувствительность решения к начальным неправильностям проверяем решением задачи с начальными несовершенствами, имеющими форму собственною вектора, но с большей амплитудой, чем в п. 6. Предложенный выше алгоритм можно использовать для анализа устойчивости упругих и упругопластических конструкций. Для исследования потери устойчивости конструкций при их ползучести под действием постоянной внешней силы надо также определять развитие характерного перемещения во времени как для идеальной конструкции, так и для конструкции с начальными несовершенствами. Критическое время соответствует быстрому нарастанию этого перемещения.
Природа потери устойчивости при ползучести может быть различна (типа собственного состо- Глана 7. Пропепуры численных решений задач 228 яния с обращением детерминанта матрицы зК в нуль или типа экспоненциального роста несовершенств), но неустойчивость квазистатического движения проявляется в численном анализе одинаково: быстрый рост характерною перемещения во времени.
С помощью решения линеаризованной задачи о потере устойчивости конструкций [5Ц можно достаточно точно определить форму выпучивания. Критическое значение параметра деформирования в интервале времени (г, 2+~И) можно уточнить при достаточно малом шаге интегрирования для конструкций из упругого материала. При решении задачи о выпучивании конструкции из упругопластического материала с помощью линеаризованной задачи о потере устойчивости можно определять только (собственные) формы потери устойчивости. Для уточнения критической нагрузки надо уменьшать шаг интегрирования нелинейных уравнений. 7.2. Процедуры численных решений задач по контактным взаимодействиям тел Решение контактной задачи можно разделить на два этапа: ° определить (геометрически) взаимные проникновения контактирующих тел; е из решения уравнений равновесия (движения) определить контактные силы, препятствующие этим взаимным проникновениям..
Рассмотрим конечно-элементную формулировку этих задач. 7.2.1. Условия вхождения тел в контакт Пусть имеется пара контактирующих тел В~ и В2 (см. рис. 4.4)е. Назовем одно из них акуливиыи, а другое пассивным. Численное решение контактной задачи осуществляется таким образом, чтобы узловые точки активного тела не проникали через При контакте трех и более тел надо назначать пары контактнруюших тел, 229 7.2. Процедуры численных решений задач по контактным ... Рис. 7.3.
Вхождение активного узла й в контакт с пассивным сегментом: а — четырехугольный сегмент (активный узел проникает в пассивное тело через треугольник АВО), б — треугольный сегмент границу внутрь пассивного тела, в то время как узлы пассивного тела могут проникать внутрь активного тела [50]7. До начала решения контактной задачи выделяется поверхность возможного контакта активного тела, которая шжрывается четырехугольными или треугольными сегмевтамиа, показанными на рис. 7,3.
Точно так же выделяется поверхность возможного контакта пассивного тела. Для сокращения записи сегменты поверхности возможного контакта активного тела называем далее г Активное и пассивное тела назначаютск произвольно, но из их определенна следует, что пассивным телом лучше назначать тело, обладаюшее большей ежесткостью», например абсолютно жесткое. Процедуру решеник контактной задачи с разделением тел иа активное и пассивное назовем несимметричной [85, 86]. Плк того, чтобы сделать зту процедуру симметричной, нзло к рассматриваемой паре хонтактирующих тел добавить епзе одну, состовшую из тех ие самых тел, с заменой активного тела пассивным и наоборот.
з 'Термин «сегмент» нспользуетсв по аналогии с моделированием контактных поверхностей при решении плоских и осесимметричных задач [50[. 230 Глава 7. Процедуры численных решеиий задач активными сегментами, сегменты поверхности возможного контакта пассивного тела — пассивными сегментами, узловые точки поверхности возможного контакта активного тела — активными узлами, узловые точки поверхности возможного контакта пассивного тела — пассивными углами. При решении контактной задачи на каждом шаге во времени и на каждой итерации проверяется возможность проникновения активных узлов через поверхность возможного контакта пассивного тела.
Если проникновение произошло, предполагается, что активный узел находится в контакте с пассивным телом. Вектор перехлеста и точка контакта на пассивном сегменте находятся согласно [59]. Рассмотрим некоторый активный узел л. Для проверки возможности проникновения узла Й через пассивный сегмент используем алгоритм поиска контакта по смежным сегментам [55]. Пусть произошло проникновение активного узла )с через пассивный четырехугольный сегмент, образованный узлами А, В, С, В (см. рис. 7.3,а ). Тогда радиус-вектор точки О («центра> сегмента) находится следующим образом: хо = 0,25(хА+ хв+хс+ха), (7.38) где хА, хл, хс, хп — радиусы-векторы узловых точек А, В, С, .0 сегмента в момент времени 4+ Ы. Пассивный сегмент аппроксимируется четырьмя треугольниками с общей вершиной в точке О. Вектор нормали к поверхности сегмента определяется как вектор нормали к поверхности сегмента в точке О. Обозначим через ~+ 'пб П вектор нормали единичной длины, направленный внутрь пассивного тела.
Пусть Р является точкой проекции (в соответствии с вектором нормали с+лепр В) активного узла Й на треугольник АОВ зтого пассивного сегмента (см. рис. 7.3,а ). Тогда радиус- вектор точки Р на треуюльнике АОВ находится следующим образом [59]: хр = О, 25[(4се + у)хА + (4ф + 7)хв + ухс + ухп], (7.39) где се, р", 7 — треугольные координаты [49] точки Р в момент времени Ф+ Ы. Рассмотрим возможность проникновения активного узла й через пассивный треугольный сегмент АВС (см.
рис. 7.3,6). Пусть ~+~~пб 1) является вектором нормали единичной длины 7.2. Пропедуры численных решений задач по контактным ... 231 к плоскости треугольника, направленным внутрь пассивного тела. Пусть произошло проникновение активного узла к через треугольный пассивный сегмент АВС. Пусть Р является точкой проекции узла и на пассивный треугольный сегмент, образованный узловыми точками А, В, С.
Радиус-вектор точки Р находится по формуле хр = ахи+ 13хв+ 1хс (7АО) где а, В, 7 — треугольные координаты точки Р в момент времени Ф+ Ь2. В (7.38) — (7.40) и далее для сокращения записи опущены левый верхний индекс 1+ ЬФ и правый верхний индекс (1) у величин х,1, хв, хс, хр, хо, хр, о, 13, 7. Если существует возможность проникновения точки й через несколько различных пассивных. сегментов (четырехугольных и треугольных) и имеется несколько точек проекций активного узла к на несколько различных пассивных сегментов, то Р определяется как ближайшая к узлу и точка (среди этих точек). Вектор перехдеста Аь (см. рис. 7.3) задается следующим образом: сХь = хй — хр, (7.41) где хь — радиус-вектор активного узла й.
Здесь и далее опущены верхние индексы у величин хь, Ль. Проверка возможности проникновения активного узла и через пассивный сегмент и определение векторов нормали '+з'п1' 11 ('-1) и перехлеста ~+ 'сХ, проводятся для каждого шага во времени и для каждой итерации процедуры Ньютона — Рафсона. После того, как поверхность контакта на некоторой итерации определена, необходимо найти контактные силы, предотвращающие взаимные проникновения контактирующих тел. Лля их определения следует добавить член, полученный варьированием потенциала контактных сил, в стандартное уравнение принципа возможных перемещений.
В зависимости от вида потенциала получаем формулировку контактной задачи с помощью либо метода множителей Лагранжа (3 4.5.2), либо метода штрафных функций (~ 4.5.3). 7.2.2. Решение контактной задачи методом множителей Лагранжа При конечно-элементной дискретизации предполагаем, что вектор контактных сил представляет собой дельта-функции Ли- Глава 7. Прокелуры численных решений задач ... 232 В с ссзСс ссасзеСс) е Рнс. 7.4.
Контактные силы, действующие на ак- тивное н пассивное тела (7.42) где и- сЛ(') (с+ьс (с) с+иск'с)) (743) )с Здесь Л; — число активных узлов, вступивших в контакт, с+~сЛ~,) — (неизвестная) сосредоточенная контактная сила (множитель Лагранжа), приложенная к узлу сс (рис. 7.4). Пользуясь определением разности величин на итерациях вида (6.10), запишем с+ос () с+ос (-П, 9) хй —— хь + и,, с->сс~ () +ас ( ) А () (7.44) рака, расположенные в узловых точках (82).
Тогда, рассматри- вая тело Вс активным, тело В2 пассивным, после интегрирования в (4.49) получаем 7.2. Процедуры чиепеааых ресаеиий задач по иоатаатаым 232 Используя формулы (7.41) и (7.44), из (7.43) получаем Юь = -с+~сЛя(*) (Лпь(') + Ль(с ') — Ьп(р)). (7.45) Пренебрегая изменением параметров положения точки контакта Р на итерациях, имеем с+ос (с) с+ос (с-с) с+ос„~(с) с+ос()(с — 1) с+свс (в) с+,си (в-П (7.46) Отметим, что если на (с — 1)-й итерации был контакт, то в случае контакта без проскальзывания соотношения (7.46) выполняются точно, а в случае контакта с проскальзыванием они являются упрощающими приближениями.
Из (7.39) и (7.45) в случае контакта узла ве с четырехугольным сегментом получаем И = -'+"Л„" ~(ьпа(*) + ь,' ') — -'(4п+7)лпА(')— 4 — — (419 + 7в Ьпн — — усзп — — усХп ~ . (7в47) 1 (в) )- (в) 1 (в)1 4 4 С 4 Здесь и далее для сокращения записи опущены верхние индексы с + свв| и (с — 1) у величин св, Р, у. По определению имеем С+вЗСЛ(С) С+еВСЛ(С 1) + ~ЛИ) (7.48) Св е св Для контакта без проскальзывания касательная и нормальная компоненты вектора контактных сил являются независимыми. Подставляя (7 48) в (7.47), для контакта без проскальзывания получаем следующий потенциал контактных снл: с+сзсЛ(в — 1) т ~(~1 (в) + ~(в — 1)) (4 + ) з (в) 4 — — (4Д+ у)Ьп — — узап — — узап 1 (с) 1 (с) 1 (с)1 4 в 4 С 4 св)' — ЬЛь(') ~(Ьпь(' + А(~' )) — -(4сс+ у)Лп(Аб— — — (48+ У)сап — — Усзп — — 7Ьпсв 1. (7.49) 1 (в) 1 (1) 1 (в)) 4 В 4 С 4 Таким образом, при выполнении условия (4.47) потенциал контактных сил выражается формулой (7.49).
изь-Г евы вввв и ввваы 234 Глава 7. Процедуры численных решеиий задач ... При нарушении условия (4.47) имеем контакт с проскальзыванием, при этом касательная и нормальная компоненты вектора контактных сил связаны равенством (4.48). Предположим, что сила трения остается постоянной на итерации [50]. В таком случае меняется только нормальная компонента контактной силы, тогда 2) Л(„' = -ЛЛ(1) и, (7.50) где ЬЛ~ ) — изменение нормальной компоненты контактной силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
