1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В этом случае можно использовать критерии устойчивости, приведенные в разделе 4.2. 7.1.2. Решение уравнений в ЩЛ)-пространстве В этом параграфе рассматривается процедура решения системы уравнений (6.4) в докритическом и закритическом режимах деформирования. Трудность заключается в том, что стандартная процедура с использованием внешней силы в качестве параметра деформирования (см. раздел 6.1) в некоторых случаях не позволяет получить решения задачи. Например, при Р > Р или Р > Рнв, где Рш„— максимальная (рис. 7.1,а), а Рлш— предельная (рис. 7.1,6 ) нагрузки, решение задачи не существует. Поэтому при таких уровнях нагрузок представленные в разделе 6.1 итерационные процедуры не приводят к сходящемуся итерационному процессу.
Для того, чтобы обойти эту трудность, можно в качестве параметра деформирования вместо нагрузки использовать некоторое характерное перемещение [14, 17). Прн таком 215 7.1. Пропедуры числевных решений задач по потере ... Р а % о Рнс. 7.1. Отсутствие решения при уровнях нагрузки Р > Рпззз или Р > Рн „.' Р— характернак нагрузка, 1т' — характерное перемешенне; а — максимальнак нагрузка, б — предельнак нагрузка подходе х решению задач приходится использовать интуицию для определения этого параметра. В то же время есть широкий хласс задач, для которого путь доформирования строится автоматически с большой степенью надежности.
Для такого класса задач предполагается, что вектор нагрузки имеет следующий видз: с+иВ с+азЛВ (7.6) где кзе — постоянный вектор, характеризующий распределение внешних сил, а параметр '+~~Л, который предполагается неизвестным, характеризует интенсивность действия этих сил. Для такого вектора нагрузки при решении задачи в приращениях с момента времени Ф до момента 4+ Ы система (6.4) преобразуется к виду 'Кту = '+ 'ЛЯ вЂ” 'Р, (7.
7) а для итерапионного уточнения решения в момент времени 1+,."М на некоторой итерации с номером з решается система уравнений т 1), ~~(1) з+ас ЛВ з+азр(1-1) (7.8) Равенство (7.6) запнется дискретным аналогом равенств (4.8). Глава 7. Пропелурм численньзт решений задач ... 21о Здесь К = 'К и К = ~+~~КО Н при использовании итерационных процедур модифицированного и стандартного методов Ньютона — Рафсона соответственно. В традиционной схеме решения уравнений в приращениях (см. раздел 6.1) задается значение параметра '+~~Л и находится вектор приращений неизвестных перемещений 17 или дл161. Наша цель состоит в том, чтобы перейти к автоматическому определению пути деформирования конструкции, следуя методике, предложенной в [14, 51, 116]. Предполагается, что параметр ~+'~'Л неизвестен и реШение уравнений (7.7), (7.8) ищется в (Б, Л)-пространстве. При этом число уравнений становится на единицу меньше числа неизвестных и требуется добавить еше одно уравнение.
Впервые метод решения расширенной системы уравнений к["]=т предложен Риксом и Вемпнером [111, 120] (Р— известный вектор, К вЂ” расширенная матрица). В качестве (дополнительного) контрольного уравнения используется линеаризованное уравнение заданной длины дуги в ЩЛ)-пространстве4. Установлено [14]; это в точках достижения максимальной нагрузки бе1 К ф О, что позволяет без трудностей решать задачи с такими критическими точхами. В то же время в точках бифуркации, по-прежнему, бе1К = О. Недостатком метода Рикса — Вемпнера в исходной форме является потеря свойства ленточности расширенной матрицы К по сравнению с исходной К. В [53] предложена модификация процедуры метода Рикса — Вемпнера с использованием ленточности матрицы К (эта модификация применяется в настоящей работе).
Такая процедура, по существу, совпадает с процедурой, предложенной ранее в [8] для решения задач осесимметричного выпучивания оболочек вращения. Следуя [51], используем разные контрольные уравнения на первом и последующих шагах интегрирования. На первом шаге интегрирования уравнений равновесия задачу удобно решать Этот метод решенил задачи получил название метода Рпкса — Вемпнера (14]. 7.1.
Процедуры численных решений задач по потере . 217 так, чтобы некоторая компонента вектора перемещения принимала заданное значение У', т. е. контрольное уравнение для первого шага во времени должно иметь вид съз(7 (7* где 'с7а — некоторал компонента вектора перемещений на первом шаге во времени. На следующих шагах во времени в качестве контрольного уравнения используется условие движения решения в итерационном процессе по сфере с постоянным радиусом сз( (приращение длины дуги интегральной кривой Ы в Щ Л)- пространстве предполагается заданной величиной)з: рс2 Л(1) 2 + 17(1) т,17(1) у2 (7.9) где Л(1) = '+~'Л(') — Л. Параметр ф в контрольном уравнении (7,9) может изменяться в пределах О < з() < 1. Строго 'говоря, уравнение (7.9) описывает сферу в (Б, Л)-пространстве только при зр = 1.
Контрольное уравнение (Крисфилда) (7.9) при ф = 1 применяется в [5Ц. В (116? отмечается, что более эффективно использование уравнения (7.9) при 19 = О (при таком значении параметра зр уравнение (7.9) соответствует движению решения в итерационном процессе по цилиндру в ЩЛ)-пространстве). В отличие от процедуры пошагового интегрирования уравнений равновесия, приведенной в разделе 6.1, при решении уравнений в ЩЛ)-пространстве используются различные формулы для получения начальных (з = 1) значений 11(1), Л(1) (решение для приращений неизвестных при переходе с момента времени 1 к моменту времени 2+ 1з,г) и при дальнейшем уточнении решения 11('), Л(') (з = 2, 3,, ) в итерационной процедуре в момент времени Ф+ Ю(. Для получения начальных значений итерационного процесса перепишем уравнение (7.7) в виде 1К17(1) = (1Л'+ Л(1)?Н вЂ” еР.
(7.10) з Метод решения задачи с параметром деформирования, соответствуюшнм ллине дуги интегральной кривой в (е), Л)гпространстве с итерационной пропелурой, использующей контрольное уравнение (7.9) с параметром ф = 1, называется методом Крисфилда [14]. 218 Глава 7. Процедуры численных решений задач ... Предполагая, что на предыдущем шаге во времени итерационный процесс сошелся к решению задачи, имеем ~ЛКо — 4й = О. (7.11) Перепишем уравнение (7.10) с учетом (7.11): 'К П(1) = Л(1)Ве.
(7.12) Введем обозначение ху аа 11(1)/Л(~). (7.13) Уравнение (7.12) с учетом (7,13) записывается в виде (51) 'Кб = Во. (7.14) Приращение вектора перемещения %1(ц находится из равенства П(1) = Л(1)0, где Л(11 определяется из контрольного уравнения: ° в момент времени $ = Ь2 (первый шаг) Л(1) — (7 /У~ ° в моменты времени 2 = 2Ы, ЗЫ,... (последующие шаги во времени) л (1) (7.15) 1) з"з+1аз Критерий выбора знака в правой части этого равенства приводится ниже. Отметим, что здесь для получения начального значения решается одно уравнение (7.14), а в (51) предлагается решать два уравнения. Для итерационного уточнения решения на каждой итередии решаются две системы уравнений [51): а ф ) з + а | Л ( 1 1 ) В з + а з а ( 1 ) за Д П ( з ) 1 ~ ( 7 1 6 ) При использовании модифицированного метода Ньютона — Рафсона надо решать только первую систему в (7.16) и положить ЬО(') = е1.
Отметим, что для решения уравнений в Щ Л)-пространстве в предлагаемом алгоритме ВРСБ квазиньютонов метод не применяется. 7.1. Процедуры численных решений задач по потере ... 219 Приращение вектора перемещений на итерациях находится из формулы Му(1) = ЛО(1) + ЬЛ(1) Му('). Здесь ззЛ(') определяется из контрольного уравнению ° в момент времени 2 = Ь2 (первый шаг) ° в моменты времени 2 = 2Ы, ЗЛ2,... (последующие шаги во времени) ,(1Л~1'~2 —— ( — Ь х з/~~ — ас)/а, (7.17) где о — з()2 + д17(1) т 1зд~(з) Ь 1~2 ~(з 1) ( 11(1 — 1) т 1),1)(1) ,=1Ь2Л(1-1)2+1)(1-»тО(1-1) Л(2 Здесь т)б — 1) — тт(1-1) + (ду(1) Знаки в (7.15) и (7.17) выбираются так, чтобы обеспечивалось максимальное значение величины 7 (116), где — 1)(1-1) т 11(1) ~1(пеш = ~з)о!о ЪЖР~2~ где %1 — оптимальное число итераций (обычно принимается )1)'1 = 6 (116)), зт2 — число итераций, которое требовалось для схсаимости решения на предыдущем шаге во времени.
Условие максимальности величины у соответствует большей гладкости пути решения в Щ Л)-пространстве. Значение И вЂ” приращение длины дуги интегральной кривой в (С, Л)-пространстве для момента времени $ = 2(зг - вычисляется после решения задачи на первом шаге с помощью заданного перемещения. Одинаковое значение параметра Ы невыгодно использовать для всех шагов во времени. Новые значения этого параметра (Ю„ „) пересчитываются через значения параметра И на предыдущем во времени шаге (Ы,1э) по формуле [116) Глава 7.
Процедуры численных решеннй задач ... 220 7.1.3. Определение собственных нагрузок и собственных векторов еК = оКь+оКль, (7.18) где 'х — 2 А" ( ) 'В''с'В з т)А' о1тт 'к =2 А'() В' 'за шт)А', 1=1 (7 ) Матрица ~Вь представима в виде еВс = оВс+еВь (7.20) Здесь матрица еВс~ не зависит от времени (текущего напряженно- дефоРмиРованного состомним), а элементы матРицы етВье зависат линейно от градиентов перемещений 'и;~л Подставляя (7.20) в первое равенство (7.19), получаем выражение для линейной касательной матрицы жесткости: м тК ~1 Аут(тКЗО+ тК31 + тК32)А1 Рассмотрим вторую задачу, возникающую при определении критических нагрузок, сформулированную в конце 2 7.1.1. Требуется нзлти момент времени т Е ($,$+з."1|) (1и 8+Ьс — два момента времени, между которыми появляется новый отрицательный элемент или элементы в диагональной матрице 1Э) и собственный вектор Ж, которые соответствуют собственным состояниям тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
