1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 37
Текст из файла (страница 37)
же четырехугольном сегменте) получаем с+асс (') — с+~с (' ) + и' "Ьп(') — — (4ст+ )сап(')— (4)8+ 7)сспв 7с.'спс — усспв ~ 1 (с) 1 (с) 1 (1)) с+ьс (*) с-~.ссс ('- ) ) 4т ~А () (4 4 )А (') дс,а = дс,ь — — (4)3+ у)Лп — — узап — — узап (с) 1 ' ()) 4 в 4 с 4 в! Здесь и далее сс, )3, у — треугольные координаты с+'вессс(с а о с+с~с,д(с с), с+'~с у(с с) точки Р; сс, )3, 7 — треугольные координаты с+ссс „(а- с) с+сзс д( — П сч-ссс (с-ц Р 1 с Аналогично при вхождении активного узла к в контакт с пассивным треугольным сегментом, образованным узлами А, В, С о (так же, как и в предыдущем случае, предполагаем, что точка Р находится на этом же треугольном сегменте), получаем с+ас () с+ас (~-~) + т(а (),(1 () о ° () „()) (7.68) с+~с () с-сссс (-Н+4т(~) () ' ) () о,т () ',т ()) дс,ь дс,а Отметим, что в некоторых случаях могут реализовываться различные комбинации выражений (7.67), (7.68). Например, нормальный перехлест с'с'зсд( ), может определяться первым выражением (7.67) (точка Р расположена на четырехугольном сегменте), а касательный перехлест с+брсд ', — вторым выражением (7.68) о (точка Р расположена на треугольном сегменте).
о Предположим для простоты, что обе точки, Р и Р, расположены на одном и том же треугольном сегменте или треугольном подсегменте четырехугольного сегмента. Если активный узел )с находится в контакте с некоторым пассивным сегментом, образуется контактный элемент с вектором локальных степеней свободы сзЮе('), который определяется формулой (7.54) при контакте с четырехугольным сегментом и формулой (7.55) при контакте с треугольным сегментом. 7.2. Процедуры численных репсеннй задач по контактным ... 243 Здесь с+лсуе(с-1) с+сесВе (1-1) с+гесВе (1-1) т с,п ) С+Сс~е(С-1) С+Схесе(С вЂ” 1) С+Лесе(с — 1) т с,с Локальный вектор контактной силы имеет вид с+леде(с-1) с+лсце(с-1) + с+асВе(й-1) с с,п с,с (7.71) (7.72) с+Ьсуе(с-1) с+ссс б — 1) с+схсВе(с-1) (7.73) с+схс е( -М с+гхс (1-1) с+схссе(с — П с с = — сос 91,)с Из (7.73) следует, что значение нормальной (касательной) контактной силы пропорционально значениям нормального (касательного) штрафа и нормального (касательного) перехлеста.
Таким образом, использование метода штрафных функций в случае контакта без проскальзывания эквивалентно введению фиктивных пружин, действующих вдоль нормального и касательного направлений к пассивному сегменту с модулями Юнга, равными значениям штрафных параметров ас„и асс. При контакте с проскальзыванием полагаем (как в () 7.2.2), что касательная компонента контактной силы не меняется на Перепишем формулы (7.67), (7.68) с помощью введенных выше обозначений: с+ссс (с) с+гес (1-1) + с+сасВе(1-1) т )д7е(1) (7.69) С+Сее И) С+Сас (С 1) + С+Саесе(С вЂ” 1) т (дуе(С) нс,й = Ус,ь + где 14'ССВ'(с ') определяется первой формулой (7.57), а матрица с+сссСС(с 1) — следующим образом; С+СССС)е(С-1) ССС+аС с (С вЂ” 1) С+СССЗ(1-1)) 1 Варьируя выражение для потенциала контактной силы (7.64), получаем выражение (7.56) с заменой О' на ЬП' (с). В случае контакта без проскальзывания полагаем, что нормальная н касательная компоненты контактной силы изменяются независимо.
Варьируя (7.64) с учетом (7.69), получаем касательную матрицу жесткости контактного элемента: с+ас1~е( — М с+сасасе( — П + с+естес( 1) (7 7р) с с,п с,с 244 Глава 7. Процедуры численных решений задач итерации. Тогда получаем касательную матрицу жесткости контактного элемента в виде (7.70), где с+д'К,',(„' ) выражается первой формулой (7.71) и с+дсКе(с-1) 0 с,с Корректируем локальный вектор касательной контактной силы, определенный второй формулой (7.73), в соответствии с законом трения Кулона (4.48): с+дсВе (а-1) с+дс б 1) с+дсСе ( — 0 с,с = )саС'"в 9„,са Используя обычную процедуру суммирования матриц и векторов элементов (раздел 5.2), получаем следующую систему уравнений: сс+дсК(с — 1) с+дсК(а-1)1~117(а) с+дсВ(' — 1) 1 с+да ( -1) где с+дсК, — глобальная контактная матрица жесткости раз- мерностью Фщ х ЖЕщ а вектор +дсК1 выражается форму- лой (7.61).
Глобальный вектор контактных сил с" дсВ ) явля- ется суммой локальных векторов контактных сил (7.72) по всем контактным элементам, Из первого выражения (7.73) следует, что нормальный пса+да (а — 1) рехлест с+ дад„„уменьшается с возрастанием параметра штра- фа аа„. В теоретических исследованиях [87] сходимости решения при использовании алгоритма штрафных функций к решению ис- ходной контактной задачи параметр штрафа стремится к беско- нечности. Тем не менее в численном решении большое значение аа„может привести к плохой обусловленности касательной ма- трицы жесткости. При уменьшении параметра оа„увеличивается (паразитный) нормальный перехлест в численном решении.
То же С+Да (а — !) самое относится к касательному перехлесту с+~ада „. Поэтому параметры штрафа ы„и ыс следует выбирать с осторожностью. 7,2.4. Решение динамических контактных задач Рассмотренные выше подходы к решению контактных задач справедливы в случае квазистатического деформирования. Моди- фикация описанного выше алгоритма решения квазистатических контактных задач на решение динамических контактных задач по неявной схеме интегрирования происходит точно так же, как и при решении нелинейных задач без условий контакта. Учет динамических членов приводит к тому, что вместо касательной 7,2. Пронелуры численнык решений залач по контактным,, 245 матрицы жесткости 'Х используется эффективная касательная матрица жесткости 'К, а вместо вектора внешних сил '+~'К вЂ”- эффективный вектор '+~'яь [раздел 6.1).
Такой подход к решению динамических контактных задач применен в [59]. Однако здесь возникают те же самые трудности решения задач, что и при численном решении задач о распространении волн при действии ударных нагрузок. При использовании недиссипативных схем интегрирования уравнений движения в численном решении возникают паразитные осцилляции, обусловленные тем, что нельзя достаточно точно воспроизвести вклад высших форм в решение динамической задачи.
В частности, неявная схема Ньюмарка со стандартными значениями параметров б = 0,5, ек = 0,25 является недиссипативной численной схемой. Обычно такой класс задач решается с использованием диссипативных численных схем, которые подавляют высшие формы. В [59] для решения динамических контактных задач рекомендуется диссипативная схема Ньюмарка с параметрами о = а = 0,5. В [2, 91, 92] на основе числснных экспериментов рекомендуется решать динамические контактные задачи с параметрами [диссипативной) схемы Ньюмарка б = 0,7, ек = 0,3б.
Лругой подход к решению динамических контактных задач состоит в использовании условий разрыва ускорений на контактной границе [82]. Как продемонстрировано в работе [82], при решении ряда задач удается достаточно точно воспроизводить разрывные решения ступенчатого вида. Недостатком такого подхода является то, что условия разрыва записываются по-раэному для разных классов задач и в вычислительной программе приходится проводить специальные манипуляции с матрицами. Литература 1. Алехин В. В., Аннин Б.
Д., Коробейников С. Н. Численное решение нелинейных осесимметричных задач с учетом контактных взаимодействий // Прикладные задачи механики сплошных сред: Сб. статей / Воронеж: Воронеж. гос. ун-т, 1999. С. 21-28. 2. Алехин В. В., Коробейников С. Н. Алгоритм решения трех- мерных контактных задач методом конечных элементов // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности; Материалы 13 Межреспубл. конф.
Новосибирск: Ин-т теор. и прикл. механики СО РАН, 1995. С. 4-12. 3. Аннин Б. Д., Коробейников С. Н. Допустимые формы упругих законен деформирования в определяющих соотношениях упруго- пластичности // Сиб. журн. индустр. математики. 1998. Т.1, №1. С. 21 — 34. 4.
Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упруго-пластическая задача Новосибирск: Наука, 1983. 5. Болотин В. В. О вариационных принципах теории упругой устойчивости // Проблемы механики твердого деформированного тела (к 60-летию В. В. Новожилова): Сб. науч.
тр. Лс Судостроение, 1970. С. 83-88. б. Бондарь В. Д. Введение в механику сплошных сред: Уч. пособие Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1967. 7. Бураго Н. Г., Кукуджанов В. Н. Решение упругопластических задач методом конечных элементов. Пакет прикладных программ АСТРА-М. М., 1988.
(Препринт/ АН СССР. Ин-т проблем механики; №326). 8. Бураго Н.'Г., Кукуджанов В. Н. Численный метод решения геометрически нелинеиных осесимметричных задач для упруго- пластических оболочек вращения // Строительная механика и расчет сооружений. 1976. №5. С. 44-49. 9. Введение в механику сплошных сред: Уч. пособие / К. Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
