1626435472-1d814f02d6feffcbf606efb56b05c479 (844211), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Отрицательный знак в правой части (7.50) используется вследствие того, что увеличение контактной силы происходит в направлении, противоположном н (см. рис. 7.4). Здесь пренебрегаем изменением вектора '+~'н(1) на итерации и опускаем верхние индексы у вектора нормали '+'"'н(' 1). Используя (7.48) и (7.50), из (7.47) получаем потенциал контактных сил для контакта с проскальзыванием: И~я = — '+~'Л~(1 ) ~(Ьи(~' + з5]„. ) — -(4сз+ 7)Ьи„'— 4 — -(4ф+ 7)Ьи — — 7Ли — — 7Ьи ~ + 1 (1) 1 (1) 1 (1)) 4 в 4 с 4 в~ + 2),Л(1) (пт [(сзи( ) + хк( — )) (4сз+,у)х) и( ) — — (4Ф + 7) Ьив — — 7Ли — — "~Ли ~ ~. (7.51) 1 () 1 00 1 (1))) 4 в 4 с 4 с]) Аналогично получаем потенциал в случае контакта активного узла Й с треугольным сегментом, образованным узловыми точками А, В и С: ° для контакта без проскальзывания — Ль [(() иь + Аь ) — сзЬид — )3Лив — утис']— 1+Дс (1-1) т (1) [1-1) (1) (1) (з) М [(~иь + 25ь ) сс~1иА Р~1ив 7Лисб ] (7.52) е для контакта с проскальзыванием + ЬЛЯи [(21иьб + 2) я' ')) — стЬиббя — )Ыив — УЬисб ]) (7 53) Определим вектор-функцию С [92], которая потребуется в дальнейшем.
Когда активный узел )с входит в контакт с четырехугольным сегментом, вектор-функция определяется следуюшнм 7.2. Проненуры численных решений такач по контактным ... 235 образом: -с) 0,25(4сс + у)с1 0,25(4,9 + у)д 0,25 уй 0,25уд С(а,д) = где а = [ст, с9, у[, д — некоторая матрица размерностью 3 х 3 или вектор размером 3 х 1. Если активный узел и входит в контакт с треугольным сегментом, вектор-функция С определяется в виде -с1 сбд уа С(ск,д) = с.'сЛ' (с) Если узел й входит в контакт с четырехугольным сегментом, то вектор приращений перемещений имеет вид ЬЮ'(с) =— [Ьп~') ~, Ьп(А), с) п(н), с) п~~), Лп~~) ), (7.54) а если этот узел входит в контакт с треугольным сегментом, то .~ЛУ'(') = [Ьпьб, ЛпАП, Лпнй, Лпс ).
(7.55) В случае контакта без проскальзывания ~Л'(0 = ЛЛ('), а при контакте с проскальзыванием сзЛ'(с) = ЛЛ(с). Варьируя выражение для потенциала контактных сил в (7.49), (7.51) — (7.53) и используя введенные выше обозначения, получаем следующее выражение: 4(4с д)от с+сзс1~е(с-с) тте дует с+с~сВе(с-с) (7 55) сс— с с Если активный узел сс входит в контакт с пассивным сегментом, предполагаем, что появляется контактный конечный элемент с локальными степенями свободы: Глава 7. Процедуры численных решений задач Локальные касательная матрица жесткости и вектор внутренних сил контактного элемента записываются соответственно в вндс с+азсВе (а — 1) с+асКе(с-1) ~ 0 .е — ~ с+азсВе(с-1) т С+даре(С вЂ” 1) С+да~а (а — 1) С+ЛС и е(а-1) а-ее В случае контакта без проскальзывания матрица с"'~СВ'(' ') н вектор с+с~сел,( ) имеют следующий вид: с+сасуе 0-1) С)(с+сассе( — 1) ц С+Ьс Е е (а-1) т СС+Ьс~(С 1) С+аасаае(С-1) С+ЬС а (а-1)1 е — 1 е1 Саа а ЬЗ 1 где 1 — единичная матрица размерностью 3 х 3, с+~сЬ~~, ) О = 1, 2, 3) — декартовы координаты вектора перехлеста с+с'СА~Ь При контакте с проскальзыванием эти величины записываются следующим образом: с+азсВе(с — 1) С(с+сас (а — 1) стлал(с-1)) (7.57) С+МДе(а — 1) Са-сас (а — 1)т С+Саа ав(а-1) е = и ь В обоих случаях локальный вектор контактной силы имеет вид '+"Н.е(1-1) =- О('+~'сс(*-') -'+а'Л('-')) (7.58) е а Суммируя матрицы и векторы элементов (включал контактные элементы), получаем следующую систему уравнений с использованием обычной техники МКЭ (см.
раздел 5.2) (50): с+дав з г с+дав(а-1) ~ ) с+аи1э('-1) ~) Здесь ГЖ(с) — вектор приращений смещений на итерации (с) , (размерность саа ЕЧ); 7.2. Пронелуры численных решений задач по контактным ... 237 ЬЛ(с) — вектор приращений контактных сил (множителей Лагранжа) на итерации (с) (размерность с'т И~С); с+дс1~1с-с) касательная матрица жесткости двух тел, В' и Вз (без учета контактных сил), включающая геометрическую и физическую нелинейности, полученная на (с — 1)-й итерации (размерность УЕа х УЕа); с+дс1~(с-с) с касательная контактная матрица жесткости, полученная вследствие учета контактных сил на (с — 1)-й итерации (размерность ХЕЯТ х ПЕСТ) о+осы(с-с) вектор внутренних узловых сил, полученный вследствие учета внутренних напряжений в телах Вс и В на (с — Ц-й итерации (размерность с'т'И~); с+щ + К вЂ” вектор приложенных внешних сил (размерность ))с И„)); с+лс (с-с) с+~сКо — вектор контактных сил, вычисленный на (с — 1)-й итерации (размерность ФЕЯ); с+~сА, — вектор перехлестов, полученный на (с — 1)-й итерации (размерность МЕЯС).
ФИ;) — общее число степеней свободы перемещений узловых точек тел Вс и Вз; общее число контактных уравнений, равное 3 х (общее число активных узлов в контакте без проскальзывания) + (общее число активных узлов в контакте с проскальзыванием); МЕЯТ = МЕЯ + ХЕс'„)С. 238 Глава 7. Процедуры численных решений эвлач ... Перепишем систему (7.59) в виде [50, 92] сене саспенс с+ьсК(а-1) с+~сК(с-1) С)Л)(с) 1 с+аасв(а- ) 1 еснсэс( с" с'св(с ') т О ,л,Л(с) ~ с+дс 3,( -1) е (7.60) где с.с-азсВ(а-1) с+азсв с-с.азср(а — Ц + с+мВ(а — 1) (7 бц 1 е Элементы матрицы с+~св(с 1) (размерность 7а7Е() х МЕЯС) составляются из элементов матриц контактных элементов С-'аааСВе (а-1) Система уравнений (7.60) реапается в [50] прямо с использованием ТЛИ -факторизации матрицы в левой части.
При ее решении возникают некоторые трудности. Во-первых, матрица в левой части может оказаться не положительно определенной вследствие присутствия нулевых элементов на главной диагонали [102]. Вовторых, меюпотся как размер, так и профиль матрицы [49] в левой части (7.60) вследствие того, что величина )а(ЕЯС может меняться на итерациях. Во избежание этих трудностей следуем подходу к решению подобных систем, предложенному в [102].
Перепишем систему (7.60) в виде с+сссК(с-1) Лду(с) + с+азсВ(с-1) ЛЛ(а) с+сасВ(а 1) с-с-азсВ(с-1) т Л11(а) с-с-ась(а-1) (7.62) е Проводя дальнейшие преобразования, из (7.62) получим [92] в к-Свлл=в к-1в.,-л„ (7.63) м1 = к (в., — влл). Здесь для краткости записи у матриц и векторов опушены верхние индексы, которые имеют те же значения, что и в системе (7.62). Тах КаК В ЯВНОМ ВИДЕ МатрИца ВтК 'В В ЛЕВОЙ ЧаСтИ ПЕрВОй системы уравнений (7.63) не вычисляется, эта система уравнений решается итерационным методом сопряженных градиентов [102]. После ее решения найденное значение ЬЛ подставляется в правую часть второй системы уравнений (7.63) и находится решение для схУ.
Итерационный цикл по решению системы (7.63) про- ДОЛжаЕтСЯ ДО тЕХ ПОР, ПОКа РЕШЕНИЕ НЕ СайДЕтСЯ И ПЕРЕХЛЕСТ Сне 7.2. Процедуры численных решений задач но контактным ... 239 не станет меньше заданного малого значения, Следуя [1021, эту процедуру назовем одноуровневой итпераццонной процедурой решения контактных задач. Можно также использовать двухуровневую итерационную процедуру решения этого класса задач [102], которая заключается в том, что в итерационном процессе при удовлетворении условия равновесия физическая и геометрическая нелинейности рассматриваются во внешнем цикле, а нелинейность, введенная решением контактных задач, — во внутреннем цикле.
Рассмотрим сначала уравнения внутреннего итерационного цикла. Здесь все геометрические и физические нелинейности «замораживаются» и решаются системы уравнений, которые получаются из (7.63) при В.1 — — О, т, е. В К 'ВЬЛ = — Ь„ЬП = — К 'ВЬЛ. Итерационный процесс во внутреннем итерационном цикле продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие схсдимости по перехлестам.
При выполнении внутреннего итерационного цикла заново вычисляются только элементы матрицы В. После окончания внутреннего итерационного цикла переходим во внешний итерационный цикл, определив вектор В ~ ~. Так как при решении контактной задачи во внутреннем цикле вектор ЬЛ становится малым, во внешнем итерационном цикле решается система уравнений, полученная из первой системы уравнений в [7.62): з+дзКИ-Ц Л110) з+азВ 0-1) 1 В [59) отмечается, что вектор контактных сил '+'"'зь~' определяется недостаточно точно по значениям множителей Лагранжа, найденным из выражений вида [7.58), и предложена альтернативная процедура вычисления этого вектора. Определить состояние активного сегмента [выход нз контакта, контакт с проскальзыванием, контакт без проскальзывания) и состояние активного узла в соответствии с состоянием смежных активных сегментов можно следуя процедуре, приведенной в [50, 59).
7.2.3. Решение контактной задачи методом штрафных функций При конечно-элементной дискретизации уравнений предполагаем, что контакт осушествляется только в дискретных тачках 240 Глава 7, Пропедуры численных решений занач ... В Рис. 7.5. Определение «касательного» вектора к границы.
Поэтому интеграл в правой части (4.50) приближается суммой (7.42) с ~~~в(С+сЗС (С) )2+ "'~(С+ДС (С))2 (7.64) Здесь нормальный перехлест определяется следуюпсим образом: С+Щ (с) С+Гссп(с) т сС+аех(С) с+щ (с) е а касательный перехлест — по формуле с+ос (с) с~-сасй(с)тсс+ъс (с) с+сгсо(с)~ Ус,ь = ( х — хр). В случае контакта без проскальзывания точка Р (рис. 7.5) с И-дС '(С1 радиусом-вектором ~+~'х, ' определяется как точка первого пересечения некоторого пассивного сегмента активным узлом (с. Отметим, что пассивный сегмент, содержащий точку Р, и пассивный о сегмент, содержащий точку Р, могут быть разными.
В случае о контакта с проскальзыванием точка Р определяется как точка Р на предыдущем (известном) шаге во времени [55), т. е. точка с 7.2. Процедуры чисцеинык решений задач но контактныы ... 241 радиусом-вектором зхр. «Касательныйв вектор т+дта(1) определяется как вектор единичной длины, направленный вдоль отрезка, о соединяющего точки Р и Р". З+Дзх(1) — 1+Дзх[1) + 'Ф() = ~1+Дзк(1) з+Дзк(1)) ' хр — хр Отметим, что векторы '+д'п(1) и ~+д'Ф(') могут быть неортогональными (в общем случае условие ортогональности этих векторов удовлетворяется только приблизительно).
Условие непроникания активного узла й через пассивный сегмент формулируется в виде неравенства '+"'д(') С О. да,а " Если это условие нарушено, т. е. ~+д'д(') > 0 да| то потенциал контактной силы (7.64) включается в правую часть (7.42). Пренебрегая изменением векторов '+д'п(1) и 1+дза(1) на итерации и опуская верхние индексы у величин 1+д'и(' 1) и '+~'я(1 '), с помощью (7.44) получаем '+д'д(') = '+д'д( ) + пт (Ьц(') — Ьц(')). (7.65) Аналогично для касательного зазора находим 1+Дз (') 1+дз (1 — 1) + ат ( а (1) а '(з)) (7 66) дьа дьа ц, — и, Пренебрегая изменением параметров положения точки Р на итерациях (так что предполагается выполнение равенств (7.46)) и используя (7.39), из (7.65) и (7.66) при вхождении активного узла в контакт с четырехугольным сегментом (для упрощения а выражений здесь предполагается, что точка Р находится на этом 242 Глава 7. Процедуры численных решений задач ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
