1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 9
Текст из файла (страница 9)
ДГ Г Таким образом, д'(Г) < О и г(г) — убывающая функция Г, причем О < у(г) <6; существует обратная функция г=д(т) т, (12.3) (гл. и уРАВнения пллстического состояния причем нетрулно видеть, что ~(Т) > — ', д'(Т) >О, д(Г)и(Т) =.1. Условие упрочнения (12.2) выполняется с практически достаточной точностью при простом лагружении изотропного материала. Следует подчеркнуть, что соотношение (12.2) нередко используется и тогда, когда главные оси напряжения поворачиваются и подобие напряженного состояния нарушается. Причина заключается в том, что зкспериненты подтверждают условие упрочнения (12.2) и для нагружений несколько более общих, чем простое. При возрастании интенсивности деформаций сдвига Г упрочнение развивается и растет интенсивность касательных напряжений Т.
Следовательно, при нагружении йТ > О, при разгрузке ФТ ( О, причем при г(Т= 0 происходят нейтральные изменения. 3. Энергетическое условие упрочнения. За меру упрочнения ~у можно взять работу пластической деформации А,= ) О;~ИВРи. (12.4) Условие упрочнения (12.1) принимает тогда вид Т=у(А ). (12. 5) Функция г' может быть определена, например, по кривой растяжения; тогда Т= †' , а работа А является функцией относитель- ~/3 ' р ного удлинения е . Условие упрочнения (12.5) может быть записано также в форме Ар — -- Ф (T) где Ф (Т) — характерная для данного материала функция, не зависящая от вида напряженного состояния.
Так как работа пластической деформации положительна, то Ф (Т) > О. Для развивающейся пластической деформапии работа А возрастает, поверхность нагружения расширяется, т. е. интенсивность Т увеличивается. Следовательно, Ф'(Т) > О. При нагружении ФАр —— Ф'(Т) и'Т> 0 (12.6) ИТ> О. При Г(Т(0 тело разгружается по упругому закону. При г(Т=-0 приращение работы пластической деформации обращается в нуль, Нейтральные изменения г(Т=.О приводят к упругой деформации. Энергетическое условие упрочнения является более общим, чем предыдущее условие (12.2), и подтверждзется опытами для несколько более широкого класса нагружений. Однако нужно помнить, что условие (12.5) не учитывает развития деформационной анизотропии и 5 13) 49 ТЕОРИИ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ 4 = ~ йГ = ~ )е 26е,Рдел (12.
7) характеризующий накапливаемую пластическую деформацию. й 13. Теория пластического течения 1. Общие соотношения. Процесс пластической деформации является необратимым, ббльшая часть работы деформации переходит в тепло. Напряжения в конечном состоянии зависят от пути деформировання. В связи с этим уравнении, описывающие пластическую деформацию, в принципе не могут быть конечными соотношениями, связывающими компоненты напряжения и деформации (аналогично соотношениям закона Гука), а лолжны быть дифференциальными(и притом неинтегрируемыми) зависимостями.
Уравнения теории пластического течения устанавливают связь между бесконечно малыми приращениями деформаций и напряжений, самими напряжениями и некоторыми параметрами пластического состояния. Рассмотрим исходные положения этой теории: 1) Тело изотропно. 2) Относительное изменение объема мало и является упругой деформацией, пропорциональной среднему давлению: йе = 37гйо. (13.1) или 3) Полньее приращения составлюощих деформации йег складываются из приращений составляющих упругой деформации йеегг и пластической деформации йеег йе;,=-аеу-(-йвер (13.2) 11риращення составляющих упругой деформации связаны с приращениями составляющих напряжения законом Гука е 1 Зя й;,= —,(йт,— —, бг Ьп). (13.3) 4) Девиатор напряжения се, и девиатор приращений пластической Р деформации Вле пропорциональны, т.
е. 71ле=~й О„ (13.4) может быть использовано лишь для сравнительно несложных путей нагружения (без резких зигзагов и при отсутствии значительных изменений в направлении траектории нагружения). Нужно также иметь в виду,) что значительные перемещения по поверхности нагружения сопровож-, даются некоторыми пластическими деформациями.
4. Условие Одквиста. За меру упрочнения д можно взять пара- метр 50 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ (гл. ! где дЛ вЂ” некоторый бесконечно малый скалярный множитель, Это по ложение обобщает результаты опытов по сложному нагружению, в которых направления главных осей и соотношения главных напряжений изменялись. Согласно экспериментам приращения составляющих пластической деформации (кскорости пластической деформациил) пропорциональны напряжениям в данный момент времени.
Другими словами, напряженное состояние определяет мгновенные приращения компонент пластической деформации. Из (13.4) вытекают соотношения (так как Нег= 0) г(ай= ФЛ 8;р (! 3.6) Вычисляя теперь приращение работы пластической деформации, находим: Прн г(Л = 0 уравнения (13.7) переходят в закон Гука, написанный в дифференциальной форме. В общеи случае уравнения (13.7) не являются полными, так как содержат неизвестный множитель, для определения которого нужно располагать дополнительным соотношением. 2. Состояние текучести, уравнения Прандтля — Рейса. Возьмем в качестве дополнительного соотношения условие текучести Мизеса Тогда НЛ= 2Т; (! 3.10) т.
е. множитель Ы пропорционален приращению работы пластической деформации; так как последнее определено формулой ОО ЙЕ$ ФАр — пйс(влт = ~й ог ак, —.— 2г(Л. Т'. (13.6) Таким образом, множитель ШЛ связан с величиной приращения работы пластической деформации; так как г(А )О, то и г(Л)0.
Согласно (13,2) получаем полные приращений компонент деформации: Ив; =двг+<й У;, (13. 7) где приращения компонент упругой деформации следует взять согласно закону Гука (13.3). Нетрудно, далее, найти, что приращение работы деформации равно ФА =дА,+НАр, (13.8) где ИА„дано формулой (13.6), а приращение работы упругой деформации равно г(А, =-.ОП, где упругий потенциал И 2 7са + 20 т 3 1 (13.9) 3 13[ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ то однозначная зависимость приращений компонент деформации от компонент напряжения и их приращений в рассматриваемом состоянии текучести отсутствует т).
Если условие Мизеса удовлетворяется, то дТ = О и происходит пластическая деформация. Если же дТ С О, то среда выходит из состояния текучести и наступает разгрузка, протекающая по закону Гука. Уравнения (13.7) при условии текучести Мизеса предложены Рейсом[а'] в 1930 г,; для плоской задачи эти уравнения ввел Прандтль в 1924 г. 3. Теория пластичности Сен-Веивна †Мизе. Если в уравнениях Прандтлв — Рейса пренебречь компонентами упругой деформации (что допустимо при развитой пластической деформации), то получим уравнения теории пластичности Сен-Венана †. Мизеса дв/ = дХ з/, обычно записываемые по разделении на д/ в виде $/ =Х з/, где множитель 1 аА, 1 1 Х' = — — ~ = — и.
$" = — г й. 2тв д/ 2тз '/ '/ 2т* '/ // (13.11) 2 Следовательно, уравнения (13.11) можно еще представить так: $!/ з!/ // 2т, ' (13. 12) Уравнения (13.11) для случая плоской деформации при условии текучести т,„= сопя( были даны Сен-Венаном ['"[ в 1871 г. В общем случае эти уравнения установлены М. Леви [тв'[ и Мизесом ['аа[. Очевидно, что скорости деформации $// не определяются однозначно при задании напряжений; при задании же скоростей деформации $// компоненты девиатора напряжения з/ определяются однозначно. Легко убедиться в том, что компоненты з//, определяемые формулами (13.12), тождественно удовлетворяют условию текучести Мизеса.
Заметим также, что в состоянии текучести (т. е. при т) Зто свойство можно рассматривать как Определение идеально пластического тела; тогда условие текучести будет следствием, см.[ы]. пропорционален мощности пластической деформации, т. е. характе- ~ ризует диссипацию. Исключая в последнем соотношении компоненты напряжения с помощью (13.11), легко находим: 52 [гл. и УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ выполнении условия текучее~и Мизеса) неопределенность компонент скорости деформации, связанная с неопределенностью множителя Х', необходима для возможности выполнения условий совместности деформации.
Уравнения.-, Сен-Венана — Мизеса широко применяются в математической теории пластичности и различных ее приложениях. 4. Состояние уирочнения. Возьмем в качестве дополнительного соотношения условие изотропного упрочнения (12.5), по которому аАРФ(?)йТ Вноси это значение в (13.6) и обозначая ш (Т) ~.(Т) получаем: (13.13) йХ = то(?) с(?'. Таким образом, (13.14) йв;у= дай+ а(?) й? э з.. Вти соотношения справедливы прн йТ~ ~О. Если йТ=О, то имеем нейтральные изменения напряженного состояния; тогда приращения компонент деформации должны быть связаны законом Гука с приращениями компонент напряжения, так как нейтральные изменения протекают упругим образом (2 12). Уравнения (13.14) находятся в согласии с этими выводами.
Если йТ ( О, то происходит разгрузка, и здесь действует закон Гука (13.3). Заметим, что в случае упрочнения полученные соотношения устанавливают однозначную зависимость приращений компонент деформаиии от напряжений и их приращений. В состоянии упрочнения нет условия, связывающего компоненты напряжения (как в случае идеальной пластичности), и множитель йХ является вполне определенным. Далее, при переходе от нагружения к нейтральным изменениям и разгрузке приращения компонент деформации изменяются непрерывно. Это не имеет места для уравнений деформационной теории пластичности (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
