1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Тогда дифференциальное уравнение (!5.8) преобразуется к виду — = — [в+у' (ьЦ и — иа — ( — т' (ь)) в. йи —, 1 Нетрудно убедиться, что коэффициенты етого уравнения удовлетворяют условиям теоремы Асколя, согласно которой решение дкфференцвального уравнеяяя (!5.!2) существует в стремится к нулю прн Ь -ч- в. Следовательно, Аналогичный результат следует яв анализа деформации трубы под действием внутреннего давления и осевой силы. Можно показать (твт], что и в общем случае трехмерного напряженного состояния напряжения, вычисляемые по различным теориям пластичности, сближаются, если деформирование развивается в определенном направлении (что в сущности означает приближение к простому нагружению).
4. Простое иагружеиие и пропорциональное возрастание нагрузок. Приведенные выше результаты характеризуют важное значение класса простых (и близких к простому) нагружений. В этом случае применимы сравнительно несложные уравнения деформационной теории. Условия простого нагружения (15. 13) аи = гпт! где (гг! — функции только координат, а ! — некоторый параметр, должны выполняться для каждого элемента тела. К телу обычно приложены поверхностные нагрузки рт (объемные силы, для простоты, не учитываем), напряжения же и,, действующие на элементы тела, заранее не известны. При произвольных изменениях поверхностных нагрузок нельзя, разумеется, говорить о простом нагружении элементов тела.
(гл. ц УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ Пусть, однако, нагрузки возрастают пропорционально некоторому параметру Рт ~РТ (15.14) гдер; '†заданн функции только координат точек поверхности тела. Нетрудно показать, следуя А. А. Ильюшину, что нагружение будет простым, если при малых деформациях 1) материал несжимаем (в = 0), 2) интенсивности напряжений и деформации Т, Г связаны одночленной степенной зависимостью Т= АГ', (15. 15) где А, а)0 — постоянные.
В самом деле, пусть при 1==1 в теле будут напряжения и;; и деформации вгд Эти величины, следовательно, удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия (4.2) при Р'.= О, шу= О, граничным условиям (1.22), условиям совместности Сен-Венана (2.16) и уравнениям деформационной теории (14.24) при степенном законе (15.15). Вели параметру сообщено некоторое значение 1, то легко видеть, что напряжения ОО =Мт и деформации зн = Р~"втг будут искомым решением задачи. Действительно, дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия и условия совместности Сен-Венана однородны (соответственно по отношению к напряжениям, внешним силам и деформациям), а потому удовлетворяются новыми значениями напряжений (15.13), внешних сил (15.14) и деформаций. Соотношения деформационной теории (14.24) также удовлетворены, ибо их правые части †однородн функции компонент деформации степени сс. Возвращаясь теперь к исходным ограничениям, отметим прежде всего, что пренебрегать сжимаемостью обычно можно при достаточно развитых (хотя и малых) пластических деформациях.
Значительно более жестким ограничением является одночленная степенная аппроксимация (1 5.15). В ряде случаев (например, при идеальной пластячности) зта зависимость дает плохое приближение. Степенной закон (15.15) приводит к более или менее приемлемому приближению при развитых пластических деформациях и заметном упрочнении материала. Сказанное позволяет считать, что в случаях развитых пластических деформаций и заметного упрочнения при пропорциональном возрастании нагрузок приближенно реализуется простое нагружснне. В других случаях простое нагруженне (или близкое к нему), как правило, не имеет места (см.
также (шз)). 5. Экспериментальные данные. Опыты подтверждают теорию пластического течения значительно полнее, нежели деформационную теорию. Из (13.5) вытекает условие подобна форм тензора приращений пластической деформации и тензора напряженна (Ала = )гя 6 161 ововщвния в слхчлв идалльной пллстичности 69 В опытах наблюдаются незначительные, но систематические отклонения от условия подобия. На рис. 22 нанесены результаты некоторых опытов; по горизонтальной оси отсчитывается )гл, по вертикальной р», пунктирная линия отвечает условию подобия.
Эти отклонения говорят о незначительных нарушениях линейного тензорного уравнения (13.4). Можно добиться согласия с экспериментальными данными, представленными на и фиг. 22, на основе нелнней- У ного тензорного соотношения, но это существенно усложняет исходные урав- х пения. -а4 Экспериментальные данные свилетельствуют также о совпадении направлений аа , — †+ "— главных осей тензора напря- ° ження и тензора приращений пластической деформации. »гел~ Следует, однако, отмео,Юммлмм ° гюль тить, что при сложных («зигзагообразных») нагружениях, особенно с промежу- Рнс. 22.
точными разгрузками, обнаруживается заметное влияние анизотропин, которую материал приобретает в процессе пластического деформирования. Описание явлений деформационной анизотропии затруднено малой их изученностью и требует значительного усложнения теории. й 16. Обобщения в случае идеальной пластичности. Ассоциированный закон течения Рассмотрим некоторые обобщения теории течения для случая идеальной пластичности. Как и прежде, приращения полной деформации складываются из приращений упругой и пластической деформации: г(е,; =. Ие)1 + г(в»П. (16.1) Приращения компонент упругой деформации г(е~; связаны с приращениями компонент напряжения законом Гука (1ЗЛ). Далее, пластические изменения объема отсутствуют, т.
е. О. и— 1. Функция текучести и пластический потенциал. Лля идеаль- но пластической среды в пространстве напряжений аг имеется (гл. и 70 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ поверхность текучести 1 (ОО) = К (К > 0), (16.3) ограничивающая область упругих деформаций, для которых г'< К. Пластическому течению отвечают напряженные состояния, принадлежащие точкам поверхности текучести. Так, при условии текучести Мизеса У'(ог ) = 7е; К= т,'. (1 6.4) Материал находится в упругом состоянии, если Т ( тд; в пластическом состоянии Т=.. т,, В пространстве главных напряжений о„ о, и, это уравнение определяет поверхность кругового цилиндра с осью од — — ОЯ =- па (гидростатическая ось, 3 1).
Поверхность текучести (16.3) выпукла (см. ниже, $ 18), т. е. лежит по одну сторону касательной (или опорной в при наличии плоских участков) плоскости. Кроме функшди текучести, иногда вводится пластический потенциал Ф (и; ) так, чтобы уравнения пластического течения можно было представить в виде дзс = дХ. (16.5) где д)д ) 0 — некоторый неопределенный бесконечно малый скалярный множитель. По условию несжимаемости (16.2) должно быть (16.6) — = О.
двн Соотношения (16.5) можно сделать нагляднымн, если перейти к представлению тензоров делр пд векторами в девятимерном пространстве напряжений пп. Такое представление не является, разумеется, полным и возможно лишь в некотором смысле. При анализе уравнений пластического состояния обычно используются лишь простейшие операции над тензорами, и можно установить соответствие между этими операциями и оперзциями с представляющими их векторами. Векторное изложение более наглядно, облегчает интерпретацию опытных данных и широко применяется для анализа уравнений пластического состояния.
Упомянутые простейшие операции над тензорами суть следующие: 1, Умножение тензора на скаллр ф; при этом умножается на скаляр ф каждая компонента тензора, т. е. если тензор Т, имеет составляющие адр то тензор фТ вЂ” составляющие фа;р 2. Сложение тензоров; при этом складываются компоненты с одинаковыми индексами, т. е. тензор Т,-)- Тьимеет составляющие ау+Ьг . 3. Образование свертки двух тензоров по обоим индексам; так называется сумма а; бы. Примером свертки является приращение работы пластической-деформации с(Ар — — пд с(ЕРП.
э 16) ововщения в сльчае идеальной пластичности 71 Введем векторы А, В, имеющие в девятнмерном пространстве составлвющне асл Ь;т Тогда пеРвой опеРацин соответствУет Умножение вектора на скаляр, т. е. вектор ~рА. Второй операции отвечает сложение векторов А+ В. Наконец, свертке тензоров соответствует скалярное произведение векторов (А, В) = а;уд;Т Замечание. Вследствиесимметричностн тензоры напряжения Т, и деформации Т, имеют лишь шесть различных составляющих.
Однако представление этих тензоров векторами в девятнмерном пространстве удобнее, так как прн этом скалярное произведение векторов оВ я вО будет непосредственно равно упомянутой свертке. Это связано с тем, что компонентамн тензора деформации являются не сами сдвиги, а нх половины. Конечно, можно рассмотреть шестнмерное пространство и в качестве составляющих вектора напряженна взять шесть компонент тензора напряженна, умноженных на некоторые числа, н подобрать последние так, чтобы скалярное произведение векторов соответствовало свертке тензоров. Однако удобнее рассматривать векторы с теми же составляющими, что и тензоры, но з девятвмерном пространстве.
Если главные нзправления тензора Т, фиксированы, то можно нмея в виду упомянутые выше операции, представить тензор Т, вектором А с составляющими а„ а, аз в трехмерном пространстве а;. Такая интерпретация была уже использована в 6 1. Итак, напряженное состояние в девятнмерном пространстве напряжений можно представить вектором пг . Приращения пластической деформации двлп также можно представить в том же пространстве некотоРым вектоРом, если Умножить дв)п на постоЯннУю величинУ надлежащей размерности. Уравнение Ф (а;) = сопя) определяет поверхность (гиперповерхность) пластического потенциала. Так как направляющие косинусы нормали к этой поверхности пропорциональны дФ/дпбч то соотношения (16.5) означают, что аз вектор пластического течения дв",~ направлен I по нормали к поверхности пластического по- Р тенцнала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
