1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 14
Текст из файла (страница 14)
4В 2. Ассоциированный закон течения. Наиболее важным является простейший случай, когда функция текучести н пластический потенциал совпадают у =Ф. В этом случае, помимо его простоты, Рис. 23. легко устанавливаются теорема единственности и экстремальные принципы, что сообщает теории законченность ' Таким образом, двл,=дав ду (16.7) доВ ' и пластическое течение развивается по нормали к поверхности текучести (рис. 23).
72 (гл. и уРАВнения пластического состояния Приращение работы пластической деформации равно Г(Ар — — ИГУ Ггерт = ГГЛ ОВ д д( Ы дац Если у' †однородн функция напряжений степени и, то (16.8) Г(Ар — — Г(Л шУ'=ФЛ глК, т. е. множитель Г(Л пропорционален приращению работы пластической деформации дАР Г(Л = —. тК ' (16.9) Для теории течения (в 13) отсюда вытекает полученная ранее формула (13.10). Отметим, что в схему (16.7) укладываются и уравнения теории 'пластического течения (13.7) и соответственно уравнения теории пластичности Сен-Венана — Мизеса (13.11). В самом деле, легко проверить, что в етом случае ду дТŠ— = — =згч до В дОВ гч и уравнения (16.7) принимают вид Г(е$=дЛУ„. Очевидно, что условие несжимаемости (16.2) выполнено. Зависимости (16.7) называются ассоциированным законом пластического теченил, поскольку последнее связывается (ассоциируется) с условием текучести. Ассоциированный закон течения позволяет легко вводить различные обобщения уравнений плзстичности путем рассмотрения поверхностей текучести более сложного вида.
Если течение рассматривается в пространстве главных напряжений (что удобно при фиксированных главных направлениях, например в осесимметричных задачах), то вместо соотношений (16.7) удобно использовать соотношения деРГ=Г(Л вЂ” (1=1, 2, 3). ду (16.10) Г 3. Кусочно гладкие поверхности текучести. Ассопиированный закон течения в форме (16.7) требует, чтобы поверхность текучести была гладкой, т, е. имела непрерывно поворачивающуюся касательную плоскость; тогда будет определена и нормаль к поверхности текучести. Между тем сингулярные поверхности текучести (имеющие ребра и вершины) не могут быть устранены из рассмотрения.
Так, условие текучести Треска — Сен-Венана определяет поверхность шестигранной призмы (9 9), нормаль вдоль ее ребер не определена. Позднее мы увидим, что использование условия текучести Треска— Сен-Венана вместо условия Мизеса приводит нередко к значительным 2 16) ояовщяния в слгчле идеальной пластичности 73 математическим упрощениям (например, в задачах плоского напряженного состояния).
Поэтому соотношения (!6.7), справедливые в гладких точках поверхности текучести, необходимо как-то дополнить с тем, чтобы пластическое течение, соответствующее ребрам и вершинам поверхности текучести, было также определено. Для простоты ограничимся рассмотрением ребра на поверхности текучести. Этот случай чаще всего встречается в приложениях; случай вершины анализируется аналогичным способом. Принимают, следуя Прагеру(з~) н Койтеру('Яь), что течение на ребре является линейной комбинацией течений слева и справа от ребра (рис. 24) двД = оЛ вЂ” + йЛ вЂ” .
д), дгь т дло з до;7 ' (16.11) Рис. 24 4, Пример — течение на ребре приамы Треска — Сен-Венана. Рассмотрим по изложенной схеме течение, соответствующее напряженным состояниям для точек на ребре шестигранной призмы Треска— Сен-Венана. Пусть для определенности ребро образовано пересечением плоскостей (см. 2 9) у;=о,— о =о,; ~,=о,— о,=о,. Следы этих плоскостей на девиаторной плоскости показаны на рис. 25 сплошными линиями. Течение для первой плоскости может Здесь у', = — сопя(, у' = сопя( — уравнения поверхности текучести по обе стороны от ребра.
Неопределенные множители г)Лм дЛз неотри- ы цательны, вследствие чего течение развертывается по направлению, лежащему ~=сЪдг внутри угла, образованного нормалями к у„л~~ г двум смежным граням, Флам Э В гладкой точке поверхности теку- Ъ чести пластическое течение фиксировано +~=аьягу по направлению и неопределенно по величине; множитель г(Л выражается через приращение работы пластической деформапии и находится при решении каждой конкретной задачи. На ребре пластическое течение неопределенно и по направлению, и по величине. Множители г(Лм г)Л также находятся при решении каждой конкретной задачи. Вдоль ребра выполняются «два условия текучести» (~, = сопя( и Уа = сопя(), что и заставляет вводить два произвольных множителя, чтобы избежать противоречия с условиями совместности деформаций.
Если течение рассматривается в пространстве главных напряжений, то вместо (16.11) будет (16. 12) (гл. и 7ч УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ быть записано согласно (16.10) в виде (переходим к скоростям деформации Д, индекс р опускаем; «(Л, = Л,Ж, ««Ля = Л,«(7) $ $э Ь 1 — 1 О Течение для второй плоскости определяется соотношениями Яэ Еэ Яэ у 1 Π— 1 Для точек на ребре по сформулированному закону (16.12) имеем: ~,=Л;+Л;; И,= — Л',; ~ = — Л;. Мощность пластической деформации (рассеяние) для точек на рассматриваемом ребре равна Ар «э $ и (Л + Л ) Здесь Л,+Л,=$« является наибольшей главной скоростью удлинения.
Анализируя аналогичным образом течения на других ребрах, нетрудно установить, что во всех случаях рассеяние представляется простой формулой Ар = Оэйаааа (16.13) где $ ,„ — абсолютное значение численно наибольшей главной скорости деформации. физическая интерпретация определен- Г ного таким способом течения на ребре связана с известными трудностями, обнаРнс. 25.
руживающнмися уже в случае простого растяжения, отвечающего, например, угловой точке С (рис. 25) шестиугольника Треска — Сен-Венана. Течение здесь дано соотношениями $«=Л«+ "э1 яэ= "э яэ= "э где первое главное направление ориентировано по оси стержня. Поперечные деформации, таким образом, произвольны, выполняется лишь условие несжимаемости. Эта картина не согласуется с привычными представлениями о растяжении изотропного стержня (так, согласно приведенным соотношениям при растяжении круглый стержень может стать зллиптическим).
Однако подобные парадоксальные результаты обнаруживаются лишь в крайних случаях и относятся главным образом к полю скоростей. Предельные же нагрузки, получаемые на основе втой схемы, явля«отея хорошим приближением. Схему Прагера — Койтера следует рассматривать как нередко удобную идеализированную аппроксимацию. Вряд ли целесообразно пытаться искать физический смысл отлельиых парадоксальных заключений. э 17[ ОБОБЩЕНИЯ.
СЛУЧАЙ УПРОЧНЯЮЩЕйСЯ СРЕДЫ 75 5. Анизотропная среда. На основе изложенных выше представлений можно получить уравнения пластического течения анизотропного тела. Необходимо лишь ввести анизотропную функцию текучести. В наиболее простом варианте эта функция выбирается квадратичной 7 = сг А,пппао где с; ы — коэффициенты анизотропии. Различные варианты подобной схемы обсуждались в работах Мизеса (см. ['а "[), Хилла [БА) и других авторов. Получила развитие также теория, основанная на обобщении условия текучести Треска — Сен-Венана Р'].
вй 17. Обобщения. Случай упрочняющейся среды 1. Поверхность нагружения. Уравнения теории течения, приведенные в $13, удовлетворительно описывают механическое поведение упрочняющейся среды лишь в условиях не слишком сложного нагружения. Однако упрочнение, сопровождающее пластическое деформирование, имеет ориентированный характер и прн трехосном (или лвухосном) напряженном состоянии представляет собой сложное и в общем недостаточно изученное явление; для его описания необходимо существенное усложнение теории.
В основе теории лежит представление о поверхности нагружения Х (рис. 15, б), отделяющей в данном состоянии среды в пространстве напряжений пг область упругого деформирования от области пластического деформирования. Бесконечно малое приращение напряжения (догружение) дп, приводит либо к упругой деформации (разгрузке, если дпы направлено внутрь Е), либо к продолжающейся пластической деформации (нагрузке, если дпп направлено наружу г').
Приращения сЬ;р лежащие в касательной плоскости поверхности нагружения (нейтральные изменения), должны приводить только к упругим леформациям (т, е., если изображающая точка перемещается по поверхности г', пластические деформации не происходят). Это условие( (условие непрерывности) необходимо для непрерывного перехода пластического деформирования в упругое при непрерывном изменении направления вектора догружения дпу. Поверхность нагружения расширяется и смещается по мере развитии упрочнения, которое изменяет предел упругости (и притом различным образом в разных направлениях). Поверхность текучести при идеальной пластичности является предельным положением поверхностей нагружения, если все они стягиваются к начальной поверхности. Форма и положение поверхности нагружения зависят, вообще говоря, не только от текущего напряженного состояния, но и от всей предшествующей истории деформирования.
[гл. и УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ 2. Пример. Построение поверхиостн иагружения по экспериментальным данным. Рассмотрим иа простом примере построение поверхности нагружения по опытным данным, Опыты при произвольном трехосном напряженном состоянии провести не улается, поэтому изучаются кривые нагружения в некоторых сечениях поверхности нагружения. Обычно ограничива!отса изучением кривых нагружения при плоском напряженном состоянии, для которого одно из главных напряжений равно нулю.
Рассмотрим здесь, в частности, испытания тонкостенных трубок под действием внутреннего давления р и осевого усилия Р(р+Р-опыты, 2 7). При этом трубка находится в плоском Рнс. 26. напряженном состоянии, главные напряжения равны и н и . Обозначим через и, †пред текучести при одноосном растяжении, равный, скажем, напряжению, отвечающему остаточной деформации 0,2% (технический предел текучести), и будем рассматривать плоскость напряжений а„ и .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
