1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. у> О. Задание гладкой поверхности нагружения при ассоциированном законе течения полностью определяет приращения пластической деформации; функция упрочнения А находится из уравнения поверхности нагружения (т. е, из условия упрочнения), если учесть„ что дУ'=Ар, и использовать соотношения (17.8). Пусть, например, поверхность нагружеиня задана уравнением (17.2), где д — параметр Одквиста, тогда й)=ф'йд=ф')~2йа,";аззй.
Образуя согласно (17.8) сеерткой йч, получаем: у =(4ф'т) -'. Если за д принята работа пластической деформации, то йд=н;;безу. Вычисляя Ыд с помощью (17.8), легко находим: а=(4ф'7 ) Частным случаем полученных уравнений будут уравнения теории течения при упрочнении (13.14), рассмотренные в 8 13. Эти з) То есть при неизменных пластических деформациях. э 171 ОБОБщения. случАЙ упРОчняющейся сРеды уравнения вытекают из (17.7), (17.8) при 'У) ' ь 2Т Т (Т) 81 (17.9) В приведенной форме уравнения (17.8) сформулированы Прагером.
8. Сингулярные поверхности нагружения. Выше предполагалось, что поверхность натруженна 2' регулярна, т.е. имеет непрерывно изменяющуюся нормаль. Нередко рассматриваются поверхности нагруження, имеющие ребра и конические точки. Здесь целесообразно различать два случая. Иногда поверхность нагружения имеет ребра, занимающие на ней фиксированное положение. Например, как уже отмечалось, часто решение задачи упрощается, если перейти от интенсивности касательных напряжений Т к близкой величине т ,„ (8 1). Это соответствует переходу от окружности Мизеса на девиаторной плоскости к шестиугольнику Треска †С-Венана (рис.
25). Тогда течение на ребре определяется в виде линейной комбинации течений по обе стороны от l ребра. аф Во втором случае особенность носит более существенный характер. Именно, можно дону- l стнть, что в окрестности точки М поверхности l нагружения, где происходит догрузка Йточ возникает особенность †коническ точка (рис. 29). Имеется ряд теорий, связанных с развитием таких особенностей на поверхности нагружения (Япамге).
Уравнения теории пластичности при этом становятся чрезвычайно сложными. Однако в принципе анализ подобных построений имеет несомненный интерес. Экспериментальные данные несколько противоречивы и не позволяют пока сделать определенного высказывания о существовании конических точек. 6. Заключительные замечания. Развитие теории пластичности упрочняющихся сред представляет большой практический интерес, поскольку многие современные конструкционные металлы заметно упрочняются. Как уже отмечалось, изложенные выше теории упрочняющегося тела не дают полного описания поведения металлов в условиях сложного нагружения.
В то же время эти уравнения являются весьма сложными; использование их для решения конкретныл задач связано с большими математическими трудностями. Поэтому в приложениях обычно исходят либо из уравнений Прандтля— Рейса (13.14) при условии изотропного упрочнения, либо из уравнений деформациоиной теории (14.23) при законе еединой кривой» (интенсивность касательных напряжений †функц интенсивности деформаций сдвига, $ 12). Закон изотропного упрочнения пригоден при сравнительно несложных путях нагружения.
Еще в более узких 82 (гл. и УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ пределах приемлема схема единой кривой. Поэтому фактически решени: краевых задач на основе обеих теорий ограничено рамками «достаточно простого» нагружения. Более точно формулировать этс условие не представляется возможным.
Сопоставление имеющихся решений, найденных по обеим теориям, обычно свидетельствует о небольших расхождениях. Весьма важен вопрос о пластических деформациях при циклических нагружениях. Экспериментальные данные по этому вопросу приведены в книге В. В. Москвитина [Я«); там же развита схема использования уравнений деформационной теории для описания таких процессов. Соотношения, описывающие многократное нагружение упруго-пластической среды на основе физически более правильной теории течения, получены в статье Р.
А. Арутюняна и А. А, Вакуленко[а'). Авторы исходят из уравнения поверхности нагружения (17.6), причем «координаты центра» а;, определяются некоторыми дифференциальными зависимостями. Теоретические результаты удовлетворительно согласуются с опытнымн даннымн. При более сложных путях нагружения изложенные теории упрочняющегося тела нерелко оказываются недостаточными. В сложившихся условиях естественны попытки выйти из круга введенных формальных представлений о поверхности нагружения и ассоплированном законе течения и рассмотреть иные аспекты построения теории упрочняющейся среды.
Развиваются различные подходы к решению вопроса. Рассмотрение этих теорий выходит за рамки настоящей книги; приведем лишь некоторые литературные ссылки. Прежде всего отметим цикл работ [«Я'ь'«'»»), в которых привлекаются методы термодинамики необратимых процессов, получившей широкое развитие в послевоенные годы, для установления структуры соотношений пластического деформирования. Другой путь состоит в наложении достаточно общих ограничений на структуру тензорных уравнений. Ранее (э 16) отмечались условия, при которых тензоры могут быть представлены векторами. А.
А. Ильюшин [»») выделил класс тензорных соотношений, имеющих соответствующую инвариантную векторную формулировку. Это делает анализ наглядным, но не вполне общим. Наконец, следует упомянуть о так называемых «физических теориях пластичности», в которых свойства среды выводятся на основе анализа деформации отдельных кристаллов.
Для сложного напряженного состояния подобная теория («теория скольжения») предложена Батдорфом и Будянским [«»). Металл состоит из беспорядочно расположенных кристаллов. В каждом из них происходит пластическое скольжение по некоторым плоскостям. Статистическое осреднение скольжений приводит к соотношениям «напряжение †деформац», имеющим сложную структуру. )«есколько иные варианты теории скольжения развиты в работах А. К. Малмейстера[ш) и других 5 181 83 ПОСТУЛАТ ДРУКЕРА авторов.
Заметим, что уравнения теории скольжения допускают чисто феноменологическую трактовку (еы), Уравнения Батдорфа — Будянского, несмотря на сложность, не описывают ряд важных свойств (например, эффект Баушингера). Для учета этого эффекта необходимо дальнейшее усложнение теории, е 8 18. Постулат Друкера. Выпуклость поверхности нагружения. Обоснование ассоциированного закона течения 1. Условие упрочнения и постулат Друкера. В предыдущих параграфах неоднократно рассматривалась упрочняющаяся среда.
При этом имелась в виду среда, для которой в процессе деформации предел упругости возрастает. Однако строгого определения упрочнения не было дано. Между тем простые примеры убеждают х(б>у в 1в«У Л в>д а) Рнс. 30. нас в необходимости более четкого определения упрочняющегося материала.
На рис. 30 кривые и, е символизируют связь между напряжениями и деформациями. В с л у ч а е а) материал действительно упрочняется. Здесь дополнительное нагружение Лп ) 0 вызывает дополнительную деформацию Лв ) О, произведение Лп Ле ) 0; дополнительное напряжение Лп ) 0 выполняет на дополнительной деформации Ле ) 0 положительную работу, представленную на рисунке заштрихованным треугольником.
Подобный материал условимся называть устойчивым, В с л у ч а е б) кривая деформации имеет нисходящую ветвь, деформация продолжается при снижающемся напряжении. На этом участке дополнительное напряжение Лп выполняет отрицательную работу, т. е. Лп Ле < О. Такой материал называется неустойчивым. В с л у ч а е в) с ростом напряжения деформация убывает, прн этом также Лп. Лз ( О. Этот случай противоречит закону сохранения энергии, позволяя «бесплатно» извлекать полезную работу (например, при догрузке ЛР растягиваемый стержень несколько приподнимет груз Р).
84 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ (ГЛ. !! Рнс. 31 Деформация реальных материалов соответствует только первому из втих случаев. Постулат Друкера обобщает приведенные соображения и дает надлежащее определение упрочнения. Рассмотрим элемент упрочняющейсн среды, находящийся в некотором исходном напряженном состоянии пур Приложим теперь к этому элементу добавочные напряжения (вообще говоря, произвольной величины) и затем снимем их.
Предполагается, что изменения происходят достаточно медленно, чтобы можно было считать процесс изотермическим. Тогда постулируется, что 1. В процессе нагружения добавочные напряжения производят положительную работу. 2. За весе цикл дополнительного нагружения и разгрузки добавочные напряжения выполняют положительную работу, если имели место пластические деформации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
