1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 18
Текст из файла (страница 18)
8 17). Построение уравнений термопластичности, справедливых в доста- точно широком диапазоне изменения напряжений и температуры, свя- зано со значительными трудностями. Различные аспекты этой проблемы обсуждаются в работах [' " " РР). 2. Случай идеальной пластичности. Если упрочнение отсут- ствует, поверхность текучести определяетсв уравнением вида у(аы, О) =.О.
В частности, при условии текучести Мизеса 7.=-,... „й (О)=а, 1 где предел текучести л является функцией температуры О. Согласно ассоциированному закону течения (16.7) и условию (19.8) находим: Ыелд=О при разгрузке, девд=.п) а, при 7'=О и дг"=О, ) (19.9) где множитель г(Х пропорционален приращению работы пластической деформации. 3. Уравнения деформационной теория. Здесь, как и в теории течения, относительное изменение объема определяется соотношением (19.1), а компоненты девиатора деформации складываются из компо- нент упругой и пластической деформации е;, = ег1 + евг1. (19.10) Компоненты девиатора упругой деформации следуют закону Гука (19.3).
Для компонент девиатора пластической деформации имеем соотношения, аналогичные зависимостям (14.5): ЕР; = грабь (19.11) где в случае упрочнения ~р=~р(Т, О). Недостауки деформационной теории в неизотермическом случае еще более заметны. Конечные 90 (гл. и УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ изменения температуры приводят здесь к однозначным пластическим деформациям. Тем не менее деформационная теория широко применяется для расчета тепловых напряжений за пределом упругости. При этом, однако, должны соблюдаться значительные ограничения: нагружение должно быть близким к простому, температура должна изменяться монотонно. Выше был рассмотрен случай упрочнения.
Если имеет место идеальная пластичность, функция <р остается неопределенной, но добавляется условие текучести (например, условие текучести Мизеса (19.8)), 4. Заключительные замечания. В тепловых задачах обычно нельзя пренебрегать упругими деформациями. Тем ие менее в некоторых случаях при развитом пластическом течении может быть использована жестко-пластическая схема. Так же, как и в изотермическом случае, можно рассматривать сингулярные поверхности нагружения (текучести). Можно, например, взять шестигранную призму Треска †С-Венана. Для течения на ребре сохраняются прежние представления (Я 16, 17).
Решения частных задач и дальнейшие обобщения читатель найдет в специальной литературе по термопластичности 1' " " ев). ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ П 1. Составить условие пластичности Мизеса для случая осесимметричной деформации тонкостенной трубы ($7). 2. Составить условие пластичности Треска †С-Венана (т ,„ = сола!) для тонкостенной замкнутой сферической оболочки, находящейся йод действием внутреннего давления. 3. Тонкостенная замкнутая сферическая оболочка, изготовленная нз упрочняющегося материала, испытывает действие внутреннего давления. Найти зависимость изменения диаметра оболочки от давления, 4.
При одноосном растяжении уравнения деформацнонной теории Ц !4) и теории течения (4 !3) зквявалентиы. Как связаны тогда функции я(Т) и Р (Т)7 6. Тонкий плоский лист равномерно растянут во всех направлениях в своей плоскости. Составить условия текучести Мизеса и Треска †С-Веиана. 6. Тонкий плоский лист, лежащий в плоскости х, я, испытывает равномерное растяжение д в направлении х и равномерное сжатие р в направлении у. Составить условия текучести Мизеса и Треска †С-Венана.
Как, направлены площадки, на которых действует максимальное касательное напряжение! 7. В плоскости главных напряжений п„а, кривая текучести определена условиями ) а, ! =о, (о, ( о . Написать уравнения течения в различных режимах по ассоцийроваиному закону. й. Найти функцию упрочнення я в случае поверхности нагружения вида (А — сзгм) (з;у — сз~й) = К. Глава (П УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ.
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ й 20. Система уравнений пластического равяовесия В областях упругой деформации справедлив закон Гука, поля напряжений и леформаций описываются системой уравнений теории упругости. В областях пластической деформации имеют место уравнения ~ леформационной теории пластичности илн теории пластического течения (или, быть может, более сложные соотношения).
Здесь системы ' уравнений, характеризующие поля напряжений и деформаций, значительно сложнее. Рассмотрим кратко эти системы. 1. Деформациоиная теория пластичности. В этом случае для нагружения получаем уравнения, внешне несколько схожие с уравнениями теории упругости. Здесь также можно указать уравнения пластического равновесия, содержащие только смещения или только напряжения. Дифференциальные уравнения равновесии в смещениях, обобщающие известные уравнения Ламе в теории упругости, можно составить следующим образом. Воспользуемся формулами (14.17) (20. 1) где потенциал работы леформации П вЂ” функция компонент деформации. Внося (20.1) в уравнения равновесия (4.2), приходим к системе трех уравнений: (20.2) Исключая отсюда компоненты деформации при помощи формул (2,3), получаем систему трех нелинейных дифференциальных уравнений в частных произволных второго порядка относительно неизвестных функций ип Для состояний текучести и упрочнения системы будут различные, .так как различны потенциалы работы деформации.
Если для П взять выражение упругого потенциала (14.16), то уравнения (20.2) приводятся к дифференциальным уравнениям Ламе. Для получения системы уравнений в компонентах напряжения необходимо к дифференциальным уравнениям равновесия присоединить 92 уРАВнения упРуГО-плАстнческОГО РАВнОВесия (гл, ш соотношения, аналогичные тождествам Бельтрами — Мичеля в теории упругости. Для этого в условия совместности Сен-Венана (2.16) следует внести компоненты деформации по уравнениям Генки (14.6). При этом в состоянии текучести нужно присоединить условие пластичности Мизеса, которое необходимо для определения функции ф В состоянии упрочнения функция ф сразу определяется через напряжения 2~Р = к(Т), а потому дополнительное соотношение излишне.
В развернутой форме соответствующие системы уравнений не выписаны ввиду их сложности; в частных задачах улобнее состав. лять уравнения непосредственно. Разумеется, к дифференциальным уравнениям пластического равновесия неприменимы классические методы интегрирования уравнений теории упругости, однако рассмотренные уравнения хорошо поддаются численным методам решения. Успешно используются также различные приемы последовательных приближений, Разумеется, реализация этих методов связана, как правило, с применением электронно-вычислительных машин. Укажем здесь на удачные модификации разностного метода, разработанные Саусвеллом 1"1.
Далее, вариационные формулировки соответствующих краевых задач также могут быть использованы для построения приближенных решений (см. Я 67, 68). Для решения нелинейных уравнений деформационной теории в случае упрочнения применяют различные варианты метода последовательных приближений. Решение задач теории пластичности сводится при этом к решению последовательности линейных задач каждая из которых может быть интерпретирована как некоторая задача теории упругости («метод упругих решений» [" "]).
Рассмотрим кратко некоторые из этих схем. Метод дополнительных на гр узок. Запишем соотношения (14.24) в форме Ог. = ( — „6;;-) 26е;,)+2(д(Г) — 0~ еу. Отклонения от закона Гука определяются полчеркнутыми членами. Внесем эти соотношения в дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия (1.2), причем слагаемые, возникающие из-за наличии подчеркнутых членов, перенесем в правые части уравнений и условимся считать их известными. Тогда полученные уравнения можно интерпретировать как уравнения теории упругости в смещениях, но с дополнительными объемными и повсрхностнымн силами. В нулевом приближении полагаем эти дополнительные нагрузки равными нулю и решаем задачу теории упругости.
Найденные значения и)ю вносим в правые части и лля определения первого приближения решаем задачу теории упругости с вычисленными дополнительными нагрузками и т. д. 2 211 головня нвпгегывности нл граница овллствй ЗЗ Метод дополнительных деформаций. Запишем соотношения (14.23) и форме ( 0+20 1')+2Гй( ) 01 «У и будем решать задачу в напряжениях. Дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия (1.2) останутся без изменения, уравнения же сплошности будут содержать дополнительные слагаемые, которые можно интерпретировать как дополнительные деформации и определять последовательными приближениями.
Метод переменных козффициентов упругости. Систему уравнений записывают в форме уравнений теории упругости с переменными «коэффициентами упругостиь и применяют метод последовательного нх вычисления. Сходимость изложенных методов изучена лишь частично. 2. Теория пластического течения. Здесь уравнения значительно сложнее. Так как уравнения пластического течения содержат компоненты напряжения и бесконечно малые приращения компонент напряжения, причем, как отмечалось ранее, в неинтегрируемой форме, то, вообще говоря, не представляется возможным разрешить зги уравнения относительно напряжений, следовательно, нельзя составить систему уравнений в смещениях, аналогичную (20.2). Система уравнений, содержащая только напряжения, может быть составлена; однако, кроме производных по координатам от компонент напряжения, она будет содержать также производные по координатам от бесконечно малых приращений компонент напряжения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
