1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В частных задачах обычно применяют различные приемы численного интегрирования, прослеживая шаг за шагом развитие пластического состояния при последовательных малых приращениях параметра нагрузки. Примеры подобных расчетов можно найти в книге Хилла (а«1. На каждом этапе необходимо решить некоторую задачу для упругого аннзотропного тела с переменными коэффициентами упругости (осложненную, конечно, возможными областями разгрузки). Задача несколько упрощается, если возможно пренебречь приращениями компонент упругой деформации по сравнению с приращениями компонент пластической деформации. й 21. Условия непрерывности на границе упругой и пластической областей Пока интенсивность касательных напряжений Т нигде не достигает предела текучести х„ тело целиком пребывает в упругом состоянии; с возрастанием нагрузок в теле, вообще говоря, образуются области пластичности, которые отделяются от упругой части тела 94 УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ (ГЛ, И! позер хиос т ь ю А р —— О, (21.2) если исходить из уравнений теории течениях).
Выясним, как изменяются компоненты напряжения и деформации при переходе через поверхность Е, разделяющую области Ь'ы Из различных состояний среды. Проведем в произвольной точке этой поверхности прямоугольную систему координат х, у, я так, чтобы ось В была направлена по нормали к л', а оси х, у лежали в касательной плоскости(рис. 34). Будем обозначать величины, относящиеся к области )гг, одним штрихом, к области И вЂ дву штрихами.
Уравнения равновесия элемен- I та поверхности к' приводят, очевидно, к условиям уг аг = «Гг ткг = Гкг туг = туп (21.3) Будем предполагать, что смещения — непрерывные функции (т. е. Рис. 34. отсутствуют ктрещины» и кпроскальзывания»). Тогда произвольно проведенная дуга на поверхности Х должна обладать одним и тем же удлинением независимо от того, с какой стороны приближаются к Х; это требование будет выполнено, если на 2" Вх = Ек Ву = Ву уку = Тку.
(2!А) Рассмотрим сначалз уравнения деформационнои теории; здесь «р = О на л', и из приведенных соотношений и уравнений Генки следует, что а„' — У (а„'+ о,') = о"„— т (ау + а",), ау — У(а,'+а,') =а"„— У(а", ~ а",), ху ку (21.5) Используя первое соотношение (21.3), из уравнений (21.5) находим, что а„'-=а", о„'=-о"„, т.
е. ни поверхности раздела Б непрерывны ') Заметим, что «р и «Р (а также Ар) изменяются непрерывно, т. е. ссстояние упругости иенрерывио переходит з состояние пластичности. «р=О илн ф= сопз1= — —, 1 (21.1) если исходить из деформационной теории пластичности, и поверх- ностью 95 9 22) ОСТАТОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ асе компоненты напряжения. Из уравнений Генки тогда вьпекает непрерывность на г всех компонент деформации. Обратимся теперь к уравнениям теории пластического течения.
Для элементов, лежащих на г' со стороны пластической зоны, компоненты пластической деформации равны нулю. Рассмотрим какую- нибудь точку тела; сначала эта точка испытывает упругую деформацию, с возрастанием нагрузок при достижении предела текучести на точку надвигается поверхность раздела г'. Поскольку состояние упругости непрерывно переходит в состояние текучести, компоненты напряжения и деформации по обе стороны поверхности г. связаны законом Гука. Ио тогда рассуждения, относящиеся к предыдущему случаю, полностью сохраняются вместе с заключением о непрерывности всех компонент напряжения и деформации на г'.
Аналогичный анализ позволяет установить непрерывность компонент напряжения и деформации и при переходе из состояния текучести в состояние упрочнения. й 22. Остаточные деформации и напряжения Если при нагружении тело испытало неоднородную деформацию, то разгрузка, вообще говоря, будет сопровождаться появлением не только остаточных деформаций, но и остаточных напряжений. Пусть состоянию максимального нагруженив (схематически его можно представить точкой В на рис.
18, а), за которым последовала разгрузка, соответствуют внешние силы — объемные Р, поверхностные Р„, компоненты напряжения ог) и компоненты деформации в; . При разгрузке тело подчиняется закону Гука (2 11); пусть разгрузка заканчивается обращением в нуль всех внешних сил, при этом тело полУчает остаточные напРЯжениЯ О~1 и остаточные дефоРмации в,'р Считая деформации малыми, представим себе разгрузку как приложение обратных сил — Є— Р„.
Исходные напряжения ос~ и деформации ег. Можно рассматривать как некоторые начальные (собственные) напряжения и деформации тела. Известно, что лри малых упругих деформациях (когда, как правило, справедлив принцип суперпозиции действий нагрузок) наличие начальных напряжений и деформаций не отражается на величинах напряжений и деформаций, вызываемых внешними силами. Другими словами, упругие напряжения и деформации, вызываемые внешними силами, можно определять, считая, что в теле нет никаких начальных напряжений и деформаций "). ') В связи с этим в теории упругости принимается, что при отсутствии ввешиях сил в теле нет деформаций н напряжений (гипотеза о естественном состоянии тела.) УРАВНЕНИЯ УПРУГО ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ (гл.
ш Таким образом, напряжения пу и деформации е,"„, отвечающие мысленно прилагаемым силам — г", — тг„, можно найти, не обращая внимания на исходное распределение напряжений пу и леформаций еП. Благодаря возможности наложения остаточные напряжения и деформации равны соответствующим суммам: П)) = — ЦУ+ Пг;, Ео)= — Е" + ЕГР (22.1) Остаточные смещении иго будут, очевидно, равны о ( и (22. 2) Результаты имеют смысл лишь до тех пор, пока при разгрузке не нарушается закон Тука, т.
е. пока интенсивность остаточных напряжений То не превышает некоторого значения, зависящего от свойств материала. Если это условие нарушается, то разгрузка сопровождается вторичными пластическими деформациями. Анализ разгрузки в этом случае заметно усложняется (см.(зо зо)). Рассмотрим в качестве простого примера систему, состоящую из трех стержнек одинаковой длины 1 и одинаковой площади поперечного сечения р (ркс.
35). Будем считать вертикальный стержень лишним, пусть х — напряжение в нем. Из условий равновесия находим, что напряжения в стержнях будут р з„=за =р — х; зо=х; р= — (22.3) г" Для упругой системы 2 1 3 зо= 3 р; з = = 3»', ро~ — о,. (22И) о' 3 При р= — оо стержень 2 переходит в плаРис. 35. стическое состояние, тогда з =о . Напряжения в стержнях в упруго-пластической системе равны зг=в,= р — оо. (22.5) Это Решение веРно до тех поР, пока во=зон,оо; пРи з,=зо — -оо достигается предельная нагрузка, вся решетка переходит в пластическое состояние. Таким Образом, р (2оо. Вычитая из (22,5) напряжения (22 а) в упругом состоянии, найдем остаточные напряжения о 2 о о 2 з =о — — р; з,=зо = — р — о 3 ' 3 (22.6) Вследствие условия р~2оо в рассматрнвзелосм примере вторичные пластические деформации при разгрузке не возникнуо 9т 9 23) жестко-плхстическое телО ф 23.
Жестко-пластическое тело При достаточно малых нагрузках тело находится в упругом состоянии. С возрастанием нагрузок в теле возникают области пластической деформации; для неупрочняющегося материала, рассматриваемого в этом параграфе, это булут области текучести. Границы последних заранее неизвестны и определяются из условий непрерывно- ~ сти (9 21). Математические трудности, возникающие при решении полобных смешанных задач, весьма велики; известны решения лишь Рис. Зб. для простейших случаев.
В связи с этим приобретают важное значение дальнейшие возможные упрощения в постановке задачи. Прежде всего следует упомянуть о часто используемом допущении несжимаемости материала (че=О). Это приводит к заметному упрощению уравнений и во многих вопросах являетси вполне приемлемым приближением. Однако основная трудность, заключающаяся в необходимости решения смешанной упруго-пластической задачи, не устраняется. В последнее время получила значительное развитие схема жестко-пластического тела; в этой схеме полностью пренебрегают упругими деформациями. Тогда уравнения пластического состояния существенно упрощаются; это будут, например, уравнения Сен-Венана †Мизе (13.! 2). Иными словами, для модуля упругости принимается бесконечное значение (Е- оо), что соответствует переходу от кривой деформации с упругим участком (рис.
36, а) к кривой деформации с одной , лишь площадкой текучести (рис. 36, б). Пунктирные линни со стрелкой показывают, как протекает в обоих случаях разгрузка. В такой постановке тело остается совершенно недеформируемым («жесткимл), пока напряженное состояние в нем не станет где-либо 4 Л, М. Квчввов 98 УРАВНЕНИЯ УГ!РУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ (ГЛ. П! удовлетворять условию текучести и не возникнет возможность пластического течения. При этом некоторые части тела останутся жесткими, и нужно найти такие решения в пластических зонах, чтобы скорости на их границах соответствовали скоростям движения жестких частей. Естественно, что эта схема не всегда пригодна.
Она приведет к подходящему приближенному решению, если пластическая область такова, что ничто не сдерживает развития пластических деформаций. Примером такого рода может служить задача о растяжении полосы с достаточно большим отверстием (рис. 102 и 103); здесь пластическан деформация локализуется в ослабленном сечении. Благодаря этому пластические деформациимогут значительно превзойти упругие, что оправдывает использование схемы жестко-пластического тела. Если же пластическая область заключена внутри упругой (как в случае пространства со сферической полостью под действием внут'реннего давления, рис. 41) или же пластическое течение затруднено вследствие особенностей геометрической формы тела или специального характера граничных условий, то схема жестко-пластического тела может привести к значительным погрешностям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
