1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Легко видеть, что поверхность пластических напряжений г=-Г (х, у) есть поверхность с постоянным углом ската (поверхность естественного откоса, «крыша»), построенная на контуре поперечного сечения '). Такую поверхность для односвязного контура легко построить, насыпав песок на горизонтально расположенный лист картона, Рнс. 48. 1 сог(л, г)== 1/ 2 вырезанный по форме поперечного сечения. Эта поверхность, очевидно, не зависит от угла кручения. В случае многосвязного контура Р' принимает различные постоянные зйачения на контурах, и построение несколько усложняется; многочи- / / сленные примеры поверхностей пластических напряжений приведены в ( книге А.
Надаи (гг). ~ ') Линии напряжений Г =.сопз( Р являются зквидистантными кривыми, параллельными контуру попереч- а ного сечения. Линии скольжения совпадают с нормалями к контуру. Заметим, что уравнение первого Рнс. 49. порядка (28.2) имеет одно семейство характеристик; характеристики являются прямыми, совпадающими с линиями скольжения. На рис. 48 показаны линии В силу (28.!) направляющие косинусы нормаля к поверхности г= — Р (х, у) равны л дР, 1 дР, сог(л, х)= — ' —, сог(л, у)=— )/2 Ь дх~' ' ')г2 а ду ' (гл. ш 120 КРУЧЕНИЕ напряжений и линии скольжения (пунктир) для прямоугольного контура.
Поверхность напряжений имеет ребра (рис. 49); проекции ребер на плоскость х, у называются линиями разрыва. На рис. 48 последние показаны жирными линиями. Итак, вектор касательного напряжения в пластической области постоянен по величине и направлен перпендикулярно к нормали к контуру области (рис. 50).
Следовательно, напряжения определены простейшим образом формой контура области. Например, при кручении стержня прямоугольного Рнс. 60. Рис. 51. профили (рис. 48) в правой треугольной области т„, = О, т, = й, а в верхней трапециевидной области т„, = — й, т, = О. Если контур имеет где-либо входящий угол, то линии напряжения обтекают его по дуге окружности (рис. 51). На рис. 52 показана «крыша» для поперечного сечения в виде уголка. Из входящего угла исходит часть поверхности кругового конуса.
Из выпуклого угла контура исходит ребро. Вдоль линий разрыва терпят разрыв компоненты ткм т „ именно скачкообразно изменяется направление касательного напряжения т,. Механический смысл линий разрыва выяснится несколько ниже, Рис. 52. 2. Предельный момент. Рассмотренное чисто пластическое состояние стержня на- зывается предельным. Ему соответствует предельный скручиваюи1ий момент (для односвязного контура) Лйе=2 )) Р йхйу, (28.3) равный удвоенному объему под «крышей», построенной на данном контуре. 121 плхстическое кРучение Вычисление М.
легко осуществляется. Так, для прямоугольника (рис. 49) Мь = б и (За — Ь) о . Для круга радиуса а (рис. 53) Мь = — Йгга', Мо —— — Ааеаз. 2 я 1 3 ' е 2 Предельный моментахарактеризует несущую способность стержня при кручении; через М, обозначен момент, соответствующий появлению пластических деформаций. Рис.
63. Рис. 34. 3. Тонкий открытый профиль. Для очень вытянутого прямо- 1 угольника (рис. 54, а) М„ж — л)лз. Если толщина медленно изменяется, то (рис. 54, б) М = — к)йв()дю о (28.4) Эта формула справедлива и для изогнутого профиля (рис. 54, в), как зто вытекает из вида поверхности напряжений. Для тонкостенной круглой трубы с разрезом (с — радиус средней линии) М,' = гглйзс.
Интересно сопоставить зто значение с предельным моментом Мй для целой трубы такого же сечения: М',= 2пййсе= 2М' —, й ' 122 [гл. ш кгученив т. е. разрезанная труба обладает низкой несущей способностью: Л»о ~),и' 4. Определение осевого перемещения (депланации). В предельном состоянии вопрос о депланации не представляет большого интереса. Рассмотрим здесь соотношения, позволяющие найти осевое перемещение в пластической зоне при упруго-пластнчесном кручении Я 29), В упругой зоне согласно закону Гука имеем: (28.5) тц» таю В пластической зоне следует исходить из уравнений теории течения (13.7) ду„, = — дт„,+ дд "г„„ 1 дут,= — г(тт,+~й т,. 1 Но в этой зоне касательные напряжения в данной точне не изменяются, следовательно, их приращения равны нулю и ~а» Отсюда также получаем (28.5). Внося теперь в (28.5) компоненты деформации согласно (27,1), получаем дифференциальное уравнение для осевого перемещения тв „ф — у) — „, (д~+ ) =0, (28.
6) где касательные напряжения — известные функции. Полученное уравнение в частных производных первого порядка легко интегрируется (см., например, [»11). 9 29. Упруго-пластическое кручение аГ, д~„ дл дл ' дР, дгр дв да ' 1. Аналогия Надаи. При упруго-пластическом кручении, которое предшествует предельному состоянию, в сечении стержня будут упругие и пластические зоны. В упругих зонах функция напряжений Р, удовлетворяет дифференциальному уравнению упругого кручения (27.10). В пластических зовах функция напряжений Р' определяется дифференциальным уравнением ккрыши» (28.2). На границе упругой и пластической зон напряжения непрерывны, т.
е. 123 9 291 УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ Следовательно, на линии раздела Р' =Р,+сопзй Если в какой-либо точке Р = Р„ то это условие сохраняется вдоль всей границы. Аналитическое решение задачи упруго-пластического кручения связано с большими математическими трудностями. Наглядное представление о картине упруго-пластического кручения дает пналогил Надаи. Над заданным контуром строят же- Ю сткую крышу (например, из стекла) с постоянным углом ската. Основание а крыши затягивается мембраной и последняя загружается равномерно распределенным давлением, При неболыпих Рис.
55. давлениях мембрана не касается крыши, что соответствует упругому кручению (рис. 55, а). С увеличением давления наступит момент, когда мембрана начнет прилегать в некоторых точках к крыше, что соответствует возникновению пластических деформаций. С возрастанием давления мембрана будет все более и более прилегать к крыше (рис. 55, б, в). При этом проекции зон прилегания соответствуют областям пластической деформации, остальная часть Рис.
56. будет упругим ядром. Ясно, что соответствующие дифференциальные уравнения, условие г';.= Р' и контурное условие выполняются. Скручивающий момент будет равен удвоенному объему под мембраной. Для односвязных профилей упругие зоны в пределе (при бесконечном угле закручивания) вырождаются в линии разрыва. Аналогия Надаи может быть использована для экспериментального решения задачи упруго-пластического кручения (см. (Еа)).
На рис. 56 показано развитие пластических областей для прямоугольного сечении. Штриховка указывает направление линий скольжения; последние легко обнаруживаются, если пластически закрученный 124 [гл. ж кгучвнне стержень разрезать поперек и сечение подвергнуть травлению. На рис. 57 показаны фотографические снимки травленых шлифов для Рис.
5?. стержней прямоугольного поперечного сечения при различных углах закручивания; с увеличением угла закручивания темные полосы, соответствующие пластически деформированным слоям скольжения, все более захватывают поперечное сечение. 2. Стержень круглого сечения. Касательное напряжение (рис. 58) равно г — й при г(с, с г й при г) с. Скручивающий момент с М=2п ~ т,гас[с = с . сссс Рис. 58 2 где предельный момент М„= — паза. угол кручения находим лз 3 рассмотрения деформаций упругого ядра: бг [бс ' 9 29] упгуго-плхстическое кРучение 125 Линии скольжения совпалают с радиальными направлениями (рис. 58).
Предельное состояние (с =О) постигается при бесконечном угле закручивания, при этом упругое ядро вырождается в точку разрыва. Следует, однако, подчеркнуть, что с развитием закручивания момент с 1 М быстро приближается к предельному моменту М (так прн — =— г а 2 М= — М ); несущая способность 31 У стержня практически исчерпывается при сравнительно небольших углах с б 6 г закручивания. 3. Обратный метод решения упруго-пластических задач. Выше было подчеркнуто, что если известны направ- гг ления нормалей к контуру, то напряже- р р гр ния в пластической области легко Аг г определяются, ибо тогда в каждой ее Уусм точке мы знаем направление и величину касательного напряжения т;. Это позволиет развить обратные методы решения упруго-пластических задач. Рнс. 59. Рассмотрим здесь простой прием, предложенный В.
В. Соколовским. Пусть известны упругое ядро, ограниченное контуром Л, и решение дифференциального уравнения упругого кручения (27.10), удовлетворяющее на контуре ядра условию пластичности. Вычис)й ляем вдоль г'. направления вектора касательного напряжения и строим нормали АВ, А!Вы ... г .
с (рис. 59) к ним. Ортогональная траектория ВВ,В ... к семей/ л ству нормалей, если она замкнута, даст нам очертания контура С стержня. 4. Пример — упруго-пластическое кручение овального стержня. Указанным способом Рнс. 60. В. В. Соколовский нашел простое решение аадачи упруго-пластиче:кого кручения стержни овального поперечного сечения (рис. 60). Пусть контур Л вЂ элли хз уз — + — =1 аг Ь' Решение для упругого ядра, удовлетворяющее условию текучести (~л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
