1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Тогда возникает пластическая деформация в сечении лод силой и балка енадлзмызаетсяя (рис. 40, в). Локализация пластических деформаций в одном сечении связана, конечно, с тем, что балка рассматривается как одномерный континуум и не- учитываются касательные напряженна. Более полная картина предельного равновесия жестко-пластической балки будет рассмотрена далее (в гл. У). 3. Изгиб балок из упрочияющегося материала. Изгиб балок из упрочняющегося материала может быть рассмотрен на основе предположений, аналогичных предположениям, изложенным выше; мы не останавливземся на этом вопросе, отсылая к литературным источникам [зз'зз). Заметим, что при незначительном упрочнении изгиб балок можно рассматривать по выведенным выше формулам, если ввести напряжение и, как среднее напряжение на участке упрочнения в интервале рассматриваемых деформаций.
й 25. Полый шар под действием давления 1. Постановка задачи. Рассмотрим упруго-пластическое равновесие полого шара, испытывающего внутреннее давление р. Вследствие центральной симметрии (г, ф, Х вЂ” сферические координаты) сдвиги Т,в, Т „, Тт, и касательные напРЯжениа тем т „, т„, Равны нулю, а в„ = ет, и, = пю При этом каждый элемент шара испытывает простое нагружение, так как главные направления не меняются, а коэффициент р, = -[- 1 (верхний знак относитсн к случаю и, ) и, нижний — к случаю и ( а,). Таким образом, при решении этой задачи можно исходить непосредственно из уравнений деформациониой теории. Интенсивность касательных напряжений в рассматриваемой задаче равна ?= (и — и,!. 1 )гз Нормальные напряжения и„, а удовлетворяют уравненшо равновесия лог + 2 " оч — б йг г (25.1) 9 25! полый шаг под действием давления 105 3.
Упруго-пластическое состояние. Условие текучести (упрочненнем мы пренебрегаем) имеет внд о„— о,=-г-о,. (25.6) Знак разности оч — о, прн возникновении пластических деформаций нам известен по решению упругой задачи (25.5). С увеличением давления зона пластичности будет расти, но знак сг — о„ в ней останется тот же в силу непрерывностн Т. Заметим, что этот способ выбора знака основывается на знанни «истории» возникновения пластической зоны н применим, конечно, и в другнх задачах; итак, (25.7) о„— о,=+ о;. С помощью этого условия приводим уравнение равновесия к виду — — 2 — =О Иа~ о дг г откуда сразу находим: о, = 2о,! и г+ С„ где С, — произвольная постоянная.
Определяя ее из граничного усло- вия (25.3), получаем: г о, = 2о;1и — — р, оя = от+ о,. (25.8) Здесь мы встречаемся с примером «статически определимой задачн», когда напряженна в зоне текучести вполне определяются уравнениямн равновесия и условием текучести (без рассмотрения деформаций). Статически определимые задачи составляют важный класс задач, характерный для состояния текучести. Для определения деформаций и смещений в зоне текучести воспользуемся соотношениями Генки: пи в, = —, = ф (о, — о) + йо, в =- — =ф(оч — о)+ло. (25.9) — + — ф+ — =О, «ч 3 6а «г, г г Так как компоненты деформации должны удовлетворять условию сплошностн (25.2), то, подставляя в него в„в нз (25.9), о„оч нз (25.8), получим дифференциальное уравнение 106 уРАВнения упРуГО-ллАстическОГО РАВнОВесия [Гл.
Иг решение которого имеет вид тр = — 2к+ —, С, гв (25. 10) где С, †произвольн постоянная. Для решения смешанной упруго-пластической задачи необходимо написать решение упругой задачи для области (с г ( Ь), где граница с подлежит определению. Это решение мы получим из формул (25.5), если подставим в них вместо — р и а значения д и с, где д— напряжение а„ на границе областей упругости и текучести. Для определения неизвестных постоянных с, д, С, имеем условие непрерывности состояния ! ф — 20 при г=-с, условие непрерывности радиального напряжения Пг(г=с-0 Пг(с=с+О н условие непрерывности смещения и =и г=с-О (с=с+О Согласно первому из этих условий находим: "чч= — 2д+(20+2И) ( — ) .
Остальные условия приводят к уравнениям с ~у = — 2О,!п — — р, (25. 11) Максимум этого отношения при у = 0,5 достигается при г = Ь и равен 1,615; таким образом, в данной упруго-пластической задаче смещения заметно зависят от величины коэффициента Пуассона. На рис. 41 показано распределение напряжения и в упруго-пластическом состоянии. 4. Влияние сжимаемости.
Полученное решение позволяет оценить влияние сжимаемости материала. Прежде всего отметим, что напряжения в упругой и пластической зонах, так же как и радиус распространения последней, не зависят от коэффициента объемного сжатия л. Далее, из (25.5) находим для упругой зоны отношение смещения и к смещению и' для несжимаемого шара (и = О) полый шхв под действиям длвлвния !07 $ 25) Мохсно, по-видимому, считать, что и в других задачах пренебрежение изменениями объема вносит несущественные погрешности в определение основных составляющих напряженного состояния, если на поверхности тела заданы нагрузки. 5.
Остаточные напряжения и деформации. Пусть давление р снято, тогда в шаре возникнут остаточные деформации и напряжения. Для их определения надлежит найти напряжения о', о' в упругом о шаре, испытывающем растяжение р. Эти напряжения определяются формулами (25.5), если в них заменить знак перед р на обратный. На основании (22.1) остаточные напряжении имеют вид: г г азх о'=2п 1п — р — р (! — — ), а з) Г Ьз х о,'=- — (р+а) ( ! — —,), при а(г с, (25.!2) при г~) с, где положено сз у=у Ьз — сз ' Эти формулы справедливы до тех пор, пока интенсивность остаточных касательных напряжений не превысит предела текучести (согласно условию то < т,).
Так как шах~о' — а',~ достигается при г =. — а, то полученные формулы, как нетрудно видеть, справедливы при р ( 2ро. (25. ! 3) Распределение остаточных напряжений и' дано в левой части рис. 41; вблизи полости остаточные напряжения — сжимающие. Если теперь вновь сообщить давление, не превышающее первоначального, то новые пластические деформации в шаре не произойдут.
В самом деле, при новом нагружении вначале будут возникать дополнительные напряжения и деформации согласно уравнениям теории упругости, независимо от наличия собственных напряжений. Однако достижение предела упругости будет определяться также величиной собственных (в данном случае остаточных) напряжений, которые должны быть прибавлены к напряжениям, вызванным новым нагруженнем.
Шар как бы упрочнился по сравнению с первым его нагружением. Это явление называется уплотнением конструкиии, или автофретажем. Оно широко используется в технике для повышения выносливости конструкций путем предварительного пластического деформировання. Часто говорят также о приспособляемости. Конструкция 108 уРАВнения упРуГО.
плАстическОГО РАВБОВесия (Гл. и[ приспосабливается к переменной нагрузке за счет возникновения благоприятного поля остаточных напряжений. Условие (25.13) вданной задаче определяет область приспособляемости. Общие теоремы приспособляемости излагаются в гл. )Х. 6. Предельная нагрузка. Будем увеличивать давление р, при этом пластическая зона будет возрастать (с- Ь), пока не достигнет наружной поверхности шара (с=б), Тогда решение (25.8) будет справедливо вплоть до г =Ь; в силу граничного условия (25.4) имеем: Ь 2О 1п — Р=.О. а Это уравнение определяет предельное давление, при котором шар будет полностью в состоянии текучести; Ь р, = 2О,!п — . Подчеркнем, что предельное давление находится очень просто — не требуется рассмотрения упругих решений, а в нашей задаче не нужно даже рассматривать деформаций. Если мы обратимся к Р» смещениям наружной по- верхности шара, то вначале, ! когда шар находится в Р» упругом состоянии, смещение пропорционально давлению, затем имеется переходи„а ной участок, соответствую- ~» щий упруго-пластическому Рес.
42. состоянию (рис. 42). При достижении предельного значения р, смещение равно и, (рис. 42); в дальнейшем смещение становится неопределенным, так как содержит функцию ф с постоянной интегрирования С,; для нахождения последней в чисто пластическом состоянии мы не располагаем никакими условиями (нужно дополнительно задать смещение, например, при г = а). Таким образом, по достижении предельной нагрузки'р, шар теряет способность сопротивляться возрастающим внешним силам; он «расползается», его несущая способность исчерпана. Прн рассмотрении прочности шара под действием статического давления естественно ориентироваться на предельную нагрузку р, введя некоторый коэффициент запаса.
Заметим, что схема жестко-пластического тела приводит к такой же величине предельной нагрузки. 3 25! полый шаг под действиям давления 109 7. Решение задачи в смещениях. Решение рассматриваемой задачи нетрудно получить и в смещениях. Согласно (14.20) 1 2 3а(е +2ве)~ 3 а 1, 1 о =за(е,+2ее)~ 3 о,.
Внося сюда значения компонент деформации и подставляя затем о„, ач в уравнение равновесия (25.1), получаем дифференциальное уравнение аьи аи г' — + 2г = 2и =Р 6йо,г = 0; агь аг его решение и =- Сг + С; — ч- 2мо,г 1и г, , 1 где С„С,— произвольные постоянные. Дальнейшие выкладки сводятся к определению произвольных постоянных из условий непрерывности при г= с и граничного условия при г = а и приводят к прежним результатам. 8. Пластическая деформация вокруг сферической полости в неограниченном теле. Наложим на предыдущие решения в упругой н пластической областях равномерное всестороннее растяжение +р.
Условие пластичности при зтом не изменится, н в зоне текучести будет а =-2о!ив г г=- с а о„= а„+ о,. Внутренняя поверхность сферы свободна от напряжений, к наружной же поверхности приложены растягнвающие напряжения р. Устремляя Ь вЂ” со, получим соответственно выписанному ранее решению, что в упругой части пространства сз Ог =Р+ (Ч вЂ” Р) —,ь 1 сь 2 (~ Соотношения (25.11) принимают внд: 2 у р 11 ~у =р — — о, с = а ехр ( — — — ) . 3 и (2а 3)' Так как с ) а, то условие возникновения зоны текучести будет 2 р= — о.
3 116 УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. Н! Распределение напряжений показано на рис. 43 сплошными линиями. Пунктиром изображены напряжения в идеально упругом теле. Таким образом, коэффициент концентрации напряжений вследствие пластической деформации снижается. В нижней части рис.
43 показана эпюра остаточного напряжения о'. Заметим, что для шара задача решается в квадратурах при наличии упрочнения, температурного перепада и объемо; ных сил [Та). Рассмотрен также случай больших деформаций полого шара (см., например, книгу Хилла ['А)). 1 г 5 26. Цнляндрическая труба иод действием давления 1 1. Постановка эадзчн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
