1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Для улрочт! няющегося материала работа будет равна нулю только прн чисто упругих изменениях. !( ! г(е!у Еще раз подчеркнем, что здесь имеется / 8 б11 , в виду не работа суммарных напряжений, ( бд а лишь работа добавочных напряжений на добавочных деформациях.
Возвращаясь к случаю б) на рис. 30, абра~им внимание на положительность работы напряжения и Е (т. е. ОЛН ) 0), хотя ЛО.ЛЕ < О. Согласно постулату Друкера продолжение пластической деформации упрочняющегося тела требует приложения дополнительных усилий. Постулат Друкера приводит к важным неравенствам. Пусть Х вЂ текущ положение поверхности нагружения (рис. 31). Рассмотрим некоторый путь нагружения А —  — С.
Начальной точке А соответствует исходное напряженное состояние отер лежащее внутри или на поверхности Х. Точка В (напряженное состояние и! ) находится на поверхности л'. Из точки В производится бесконечно малое догружение !1О!р вызывающее соответствующие упругую деформацию !(етт и пластическую деформацию иве!!. Через л' обозначено новое близкое положение поверхности нагружения.
Вернемся теперь в точку А каким-нибудь путем С вЂ” А. Согласно постулату Друкера работа добавочных напряжений за весь цикл положительна, т, е. ф (пп — пф г(вт! > О. Для замкнутого пути АВСА работа добавочных напряжений на упругих деформациях а!Нт равна нулю, следовательно, ф (и" — оу!) с1в"! ) О. 85 2 18) ПОСТУЛАТ ДРУКЕРА Так как пластическая деформация происходит только на бесконечно малом участке  — С, последнее неравенство принимает вид: (от, — оь,) с1егц ) б, (18.1) Это неравенство иногда называется локальным принципом максимума. Для упрочняющегося материала равенство нулю здесь может быть только при отсутствии пластических деформаций. Рассмотрим теперь другой цикл, когда исходное напряженное состояние будет состоянием ог, отвечающим точке В на поверхности нагружения Х. Тогда в силу постулата Друкера будет: Для процесса нагружгния  — С (18.2) с(ог с(ег ) О.
Для цикла нагружения и разгрузки В- С- В (18.3) Ыон Ьгп > О (поскольку работа на упругих деформациях для замкнутого цикла равна нулю). 2. Выпуклость поверхности нагружения и необходимость ассоциированного закона течения. Согласно неравенству (18.1) скалярное произведение вектора добавочных напряжений о;. — Пь; (вектор АВ на рнс. 32) и вектора приращений пластической деформации Рнс. 32. Иелц положительно.
Следовательно, в любом случае этн векторы образуют между собой острый угол. Отсюда вытекают выпуклость поверхности натруженна н ассоциированный закон течения (т. е. нормальность вектора с(егц к поверхности г). В самом деле, пусть поверхность нагружения Х выпукла (т. е. В лежит по одну сторону касательной плоскости (рис. 32, а) или опорной плоскости, как для шестигранной призмы Треска — Сен-Венана). Условие (18.1) будет выполнено, только если вектор с(епц нормален к Х; иначе всегда найдется вектор ог — аььр образующий бl (18.4) йо„ч(еяд = О, выражающим ортогональность входящих сюда векторое, Это условие справедливо для процесса нагружения  — С и всего цикла В- С- В.
86 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [гл. и ! тупой угол с йеяп. Заметим, что йеяп зависит от вида повер~(ности нагруження Е, но не от выбора точки А внутри Е. Если же поверхность Х невыпуклая (рнс. 32, б), то независг(мо от наклона вектора йвяп к поверхности Х всегда можно так под~брать точку А, что условие (1 8.1) будет нарушено. Условие (18.1) налагает также определенные ограничения на пластическое течение вдоль ребер поверхности нагружения и в ее кони- ческих точках.
Ранее было приезде нато (811), что течение па реб- ре является линейной комбина\ цией течений слева н справа от ребра, т. е. вектор йеьд перпендикулярен к ребру н лежит внутри угла, образованного нормалями к Х по обе стороны от ребра (рис. 33, а). ьу Эта картина теперь следует из условия (18.1). В случае кониРис. 33. ческой точки вектор течения де~, на том же основании должен лежать внутри конуса, образованного нормалями к поверхности нагружения вблизи острия (рис.
33, б). 3. Случай идеальной пластичности. В предыдущем параграфе уже отмечалось, что случай идеальной пластичности, когда поверхность нагружения (текучести) х' фиксирована, является предельным случаем упрочнения, если все последовательные поверхности нагружения стягиваютсн к начальному их положению. Если обратиться к кривой деформации о, в, символизирующей связь между напряжениями и деформациями, то для идеально пластического тела гап=- О, следовательно, Ло Ле = О. Теперь догружение дп; лежит в касательной плоскости к поверхности текучести. Требовайие положительности работы добавочных напряжений необходимо заменить требованием ее неотрицательности.
При таком расширении постулат Друкера остается верным и для идеально пластического материала. Неравенство (1 8.1) справедливо со знаком ), следовательно, поверхность текучести должна бить выпуклой. Точно так же вектор пластического течения йеяп нормален к поверхности текучести, т. е. Имеет место ассоциированный закан течения. Условие (1 8.3) в случае идеальной пластичности заменяется равенством 8 19) 87 ов уРАВнениях теРИОНЛАстичности 4.
Заключительные замечания. Постулат Друкера, обобщающий, в сущности, простые факты, приводит к важным выводам относительно выпуклости поверхности нагружения и необходимости ассоциированного закона пластического течения. Очевидно, что уравнения пластичности можно теперь строить иначе, чем это было сделано в предыдущих параграфах.
Именно, достаточно исходить из представления о поверхности нагружения и принять постулат Друкера и условие непрерывности (8 1 7). Из этих предположений уравнения пластического течения, рассмотренные в 8 !3, будут необходимо вытекать, Заметим, наконец, что неравенства (18.1), (18.2), следующие из постулата Друкера, позволяют также просто подойти к установлению теорем единственности и экстремальных принципов (гл. Ч1П). вй 19. Об уравнениях термопластнчности Элементы многих машин и установок находятся под нагрузкой в условиях высокой и часто нестационарной температуры. При этом нередко возникают пластические деформации.
При наличии температурного поля анализ пластического поведения металлов значительно усложняется, поскольку предел текучести зависит от температуры. В дальнейшем предполагается, что температура не слишком высока, так что можно пренебрегать деформацияни ползучести. Это условие может быть ослаблено, если деформация происходит в течение малого промежутка времени; тогда деформации ползучести не успевают развиться и их можно не учитывать. 1.
Уравнения теории пластического течения. При изменениях температуры относительное изменение объема определяется известным соотношением В = Зло+ Заб, (19. 1) где 7г — коэффициент объемного сжатия, а — коэффициент линейного теплового расширения, 0 — температура. Компоненты девиатора деформации е;. не содержат, очевидно, тепловых расширений, следовательно, прйращения этих компонент складываются из приращений упругих и пластических составляющих деформации: (19.2) с1е,у — — - г(~~+ АРАП.
Компоненты девиаторов напряжения и упругой деформации связаны законом Гука, т. е. дан = — Ыаг ь (19.3) где 0 в модуль сдвига. 88 (гл. и уРАВнения плАстического состоянин Рассмотрим теперь пластические составляющие йелр Как и в изотермическом случае, в основе теории лежит представление о поверхности нагруясения Х в пространстве напряжений, ограничивающей область упругих деформаций. В неизотермическом случае поверхность нагружения зависит еще и от температуры, т. е. определяется соотношением вида У"(ггь О, О, ...) =О. (19.4) Ограничимся обсуждением простого случая изотропного упрочнения, соответствующего условию (17.2). Тогда уравнение поверхности нагружения можно записать в форме Г=УНУН вЂ” ~р(н, 0) =О.
(19.5) При развивающейся пластической деформации изображающая точка находится на поверхности нагружения (19.5), поэтому йг" = — йад + — йО + — й7 = О. д( д~ ду (19.6) Рассмотрим критерий нагружения и разгрузки. Обозначим первые два слагаемых в (19,6) через й'у'. Разгрузка. В этом случае изображающая точка устремляется внутрь поверхности нагружения, т. е. ф'(О; пластические деформации при этом остаются неизменными, следовательно, йд= О и й'у=- — ду дан+ ду до < О. даН '7 дО Нейтральные изменения, Если изображающая точка перемещается по поверхности нагружения х', то йу'= О.
Прн этом пластические деформации не происходят, т. е. йод=О. Тогда имеот место нейтральные изменения. В этом случае Нагруакение, Если происходит пластическая деформация, изображающая точка все время лежит на смещающейся поверхности х', т, е. Ог" = О. Пластическому нагружению отвечает условие й'у'= — йа; + — йО ) О. ду ду даН '7 дО Перейдем теперь к формулировке зависимостей для приращений компонент пластической деформации, Как и в изотермическом случае (й 17), эти приращения должны быть пропорциональны величине й'у; характеризующей переход от нагружения к разгрузке.
Палее, и в неизотермическом случае предполагается справедливым ассоцииро- ов уРАВнениях теРмоплАстичноСти 8 19) 89 ванный закон течения. Следовательно, вектор приращений деРО должен быть направлен по нормали к поверхности нагружения х, в пространстве напряжений, т.
е. величины дерд должны быть пропорциональны направлнющим косинусам нормали к Х, т. е. производным —. Итак, ду дйу (19.8) деру=0 при гГ7" (О (разгрузка), дегд=х'д — п,7 при сГУ~~О, р ду (19.7) дй. где д ) 0 в функцин упрочненив, характеризующая уровень достиг- нутого упрочнения и зависящая от истории деформирования и нагре- вания. Функция й связана с уравнением поверхности нагружения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
