1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Последовательная интерпретация схемы жестко-пластического тела связана с рядом затруднений. Прежде всего отметим, что решение, построенное по этой схеме, вообще говоря, может не совпадать с решением такой же упруго-пластической задачи при Š— со.
В риде случаев (например, при чистом изгибе стержня) упругие области исчезают лишь при бесконечно большой кривизне, т. е. указанный предельный переход требует анализа больших деформаций (или же формулировки особых условий одновременного возрастания Е). Отсутствуют теоремы, которые позволили бы судить о близости решений упруго-пластических задач к решениям жестко-пластических. Далее, требуется, чтобы напряжения в жестких частях имели приемлемый характер при прололжении их из пластической зоны и не достигалн условия текучести, т. е. чтобы было Т ( т,. Это условие трудно проверить, так как в жестких частях распределение напряжений неопределенное, С этим обстоятельством связано характерное для жестко-пластической схемы отсутствие единственности поля скоростей.
Тем не менее концепция жестко-пластического тела уже позволила построить ряд новых решений (не только статических задач, но и динамических; см., например, 8 78), хорошо подтвержденных опытами, и более правильно сформулировать многие задачи теории пластичности. В заключение заметим, что, подобно схеме жестко-пластического тела (характеризуемого площадкой текучести), иногда вводится схема жестко-упрочняющегося тела, показанная на рис. 36, г, для случая линейного упрочнения. Здесь также полностью пренебрегают упругими деформациями. й 24) упууго-пластический изгив валок ив 24. упруго-пластический изгиб балок Рассмотрим задачу упруго-пластического изгиба балок; для простоты примем, что сечение балки обладает двумя осями симметрии (рис, 37).
1. Чистый изгиб. Рассмотрим чистый изгиб балки постоянного сечения. Пусть все компоненты напряжении, кроме а„, равны нулю, причем о„является функцией лишь координаты у. Для упругой балки М о„=- — у, гле М вЂ” изгибающий момент, а l — момент инерции сечения УЮ~т Ууцгу-плпоч. Рис. 37. В пластических зонах при отсутствии упрочнения имеем согласно условию текучести ) о„) = о,. Пте е = — —,у, 1 а еу е 2 в +2о Уху Уух Тх где о=о(х) — смещение оси балки (прогиб).
Так как компоненты деформации являются линейными функциями координаты у, то тождества Сен-Венана удовлетворяются. Точно так же удовлетворяются Очевидно, что при возрастающем М нагружение каждого элемента является простым, в следовательно, можно исходить из уравнений деформационной теории.
Нетрудно видеть, что по гипотезе плоских сечений и уравнениям этой теории компоненты деформации будут 100 УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ (ГЛ. П! условия непрерывности на поверхности раздела. Таким образом !)„ а,— при )у)(~, аа.з!Ппу при (у()~, (24.1) где (, †расстоян в данном сечении от нейтральной плоскости балки до зоны текучести. Изгибающий момент М предполагается положительным; при отрицательном моменте следует поставить знак минус перед а,. Момент напряжений равен изгибающему моменту М= — — ау', + а,8~, (24.
2) ! где у — момент инерции упругого ядра, а — Π— статический моа 2 Р мент одной из пластических зон относительно оси я: А /,=-2 ~ в(у)уз!(у, О =2 ) !)(у)ун!у. а Здесь Ь(у) — ширина сечения, а 2Ь вЂ” полная высота профиля. Итак, сечению заданной формы отвечает определенная зависимость М=М((",) или, обратно, ~=Г(М). По закону Гука для упругого ядра имеем: нзв а„= — Еу —, . На границе упругого ядра у= Е, а„ = а„ поэтому кривизна оси балки определяется уравнением а (24 8) дх~ Е ь(м) ' Рис.
38. ') Функция з!Еп у определена равенствами: з!Ип у=+! при у > О, з)яп у — ! при у < О, з!Ип 0=0. Полученное решение удовлетворяет всем уравнениям упруго-пластического равновесия. При отрицательном моменте следует изменить знак перед а,. При снятии изгибающего момента в балке возникают остаточные деформации и напряжения, определяемые по схеме, изложенной в й 22. Пусть данному изгибающему моменту М отвечает упруго- пластическое распределение напряжений а„ (сплошная линия на рис.
38, а), На этом же графике пунктиром показано распределение напряжений — а," в упругой балке при том же изгибающем моменте, 3 24) УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК 191 Вычитая эти эпюры, находим график остаточных напряжений б' (рис. 38, б). Остаточная кривизна балки получится вычитанием кривизны упругой балки из кривизны упруго-пластической балки. С возрастанием изгибающего момента зона пластических деформаций расширяется (т. е. 9 уменьшается); в пределе ~=0 и изгибающий момент равен (24 4) М. =-П„7р. Это знзчение изгибающего момента называется предельным; оно соответствует вполне пластическому состоянию балки, когда эпюра напряжений в сечениях балки имеет вид; показанный на рис. 39.
При этом нейтральная плоскость является плоскостью разрыва напряжения, а кривизна для предельного состояния обращается в бесконечность. Следует, однако, подчеркнуть, что уже при сравнительно небольших пластических деформациях изгибающий момент близок к предельному, стало быть, понятие предельного момента сохраняет практическое значебт ние.
Рассмотрим пример прямоугольного сечения; здесь М.=И б„ж- =1 — 3 ~ — ) (245) м, 3(,л,) 1 -б~ Отсюда видно, что уже при — =-- изгибающий Ь 3 Рнс. 39. момент отличается от предельного менее чем на 4%. 2. Поперечный изгиб. Изгиб при действии поперечных нагрузок более сложен и сопровождается, в частности, касательными напряжениями т„; однако дли обычных приложений (т. е. для достаточно длинных балок) ими можно пренебречь так же, как это проводится в сопротивлении материалов.
Это объясняется тем, что гипотезы теории тонких стержней носят в основном геометрический характер. Изгибающий момент изменяется по длине балки и 1, также переменно. Расположение пластических зон по длине балки заданного сечения легко вычисляется, если в зависимость ~ = ~ (М) внести изгибающий момент в функции к. Необходимо различать отрезки балки, деформируемые упруго, и отрезки балки, испытывающие упруго-пластическую деформацию (рис. 37). На первых справедливо дифференциальное уравнение прогиба упругой балки, на упруго-пластических отрезках балки следует исходить из дифференциального уравнения (24.3).
При этом дли статически определимых задач правая часть уравнения будет известной функцией к; в статически неопределимых задачах необходимо ввести лишние неизвестные. В обоих случаях дифференциальное уравнение (24.3) легко интегрируется. В точках 102 УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. !П сопряжения упругих и упруго-пластических отрезков должны быть непрерывны прогиб и угол наклона касательной к упругой линни.
Предельный момент находится по прежней формуле (24.2); в отличие от чистого изгиба здесь характерно появление «пластического шарнира», образующегося в сечении, испытывающем действие макси- мального,'изгибающего момента. ч В качестве примера рассмотрим изгиб балки прямоугольного сечения сосредоточенной силой 2Р (рис. 40). а Здесь Таким образом, границей раздела является парабола; в предельном состоянии вершина параболы проходит через начало координат.
Значение предельной нагрузки находится по условию образования пластического шарнира (!, = О) Р„1 =Л4,. Рис. 40. В этот момент несущая способность балки исчерпывается, балка превращается в «механизм» с пластическим шарниром (рис. 40, б). При этом длина упруго-пластического отрезка 21 достигает максимального значения 2 0,31. Естественно принимать, что предельная нагрузка является разрушающей для балки и что при подборе прочных размеров последней следует исходить из некоторого коэффициента запаса к предельной нагрузке. Метод расчета по предельным нагрузкам обладает существенным преимуществом перед методом расчета по предельным (максимальным) напряжениям. Последние носят локальный характер и не характеризуют прочности всей конструкции, если она изготовлена из пластичного металла и работает при спокойной нагрузке; в этих условиях местные перенаприжения не опасны, и учет их по упругой схеме дает неправильное представление о запасе прочности конструкции.
Экспериментальные данные хорошо подтверждают как расположение пла стических зон, так и величины прогибов и предельных моментов. Приведенные выше результаты легко обобшаются на сечения с одной осью симметрии. Нетрудно также приближенно учесть касательные напряжения при изгибе. й 25) пОлый ШАР под дейстВием дАВления 1О3 Расчет балок н рам по предельным нагрузкам получил широкое распросгрзненне и излагается в ряде монографий.
Укажем здесь, зчастностн, на книги А. А. Гвоздева ['), Б. Нила [м), Ф. Ходжа [ы); там же можно найти н обшярные литературные ссылки. См. также работу Г. С. Шапиро [ыз). Интересно проследить поведение балки, если исходить из модели жестко-плзстического тела (й 23). По этой схеме балка остается жесткой (недеформируемой), пока изгибающий момент не достигнет предельного значения М„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
