1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 24
Текст из файла (страница 24)
гт 126 кРучение Т= й на Е, элементарно: т„,= — й —, у Ь ' х т =.й— ух а' причем угол кручения равен Ь а+Ь (О = — —. 26 аЬ Пусть х = — а 5(п ф, у = Ь соз ф — параметрические уравнения эллипса Е; на нем касательные напряжения равны т = — й соз ф, тух = — а зш ф Направление касательного напряжения т, на эллипсе определяется соотношением ах — =-1я ф. тхх где с †произвольн постоянная. Полученные уравнения определяют овал с двумя осями симметрии 1 1 и полуосями — (а+ с) и — (Ь+ с). Очертания овала незначительно 2 2 отличаются от очертаний эллипса с соответствующими полуосями.
Решение имеет смысл, если эллипс Е целиком лежит внутри овала С, что выполняется при достаточно больших углах кручения ю. С возрастанием угла ш упругое ядро (эллипс Е) сплющивается и в пределе вырождается в линию разрыва. а. Заключительные замечания. Другой обратный метод предложен Л. А. Галиным (ю); по этому методу можно указать уравнения контуров Е и С, если задано распределение касательных напряжений вдоль Е, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. Используя этот результат, Л. А.
Галин решил несколько упруго-пластических задач для стержней уравнение прямой, нормальной к вектору т, и проходящей через точки Е, имеет вид у= — хс1д,ф+(Ь вЂ” а) созф. При фиксированных а, Ь это есть уравнение однопараметрического семейства прямых линий скольжения.
Теперь необходимо построить ортогональные траектории этого семейства. Дифференциальное урав- нение искомых траекторий таково: ау х+ажпф ах э ф у — Ьсозф Нетрудно найти, что ортогональные траектории имеют парамет- рические уравнения 2х = — 5(п ф(а+ с+ (а — Ь) созе ф), 2у = соз ф (Ь+ с — (а — Ь) Рйпз ф|, б ЗО[ кРучение упРочняющихся стРРжней 127 с сечением, близким к полнгональному. Им же дан метод решения пряьюй задачи для стержня палигонального сечения [аз[.
Результаты Л. А. Галина находятся в хорошем согласии с опытами Надаи. Заметим в заключение, что ряд упруго-пластических задач (кручение углового профиля, кручение стержней квадратного н треугольного сечения) решен численными («релаксацианными») методами [«а). Вопрос о существовании решения упруго-пластической задачи рассмотрен Л.
А, Галиным и другими авторами. Остановимся, наконец, на одном замечании. При анализе упруго-пластического кручения молчаливо предполагалось, что при возрастающем крутящем моменте (илн при увеличивающемся угле кручения ш) во всех точках пластической зоны происходит нагружение. Но граница пластической зоны изменяется и, вообще говоря, в некоторых частях указанной зоны может наступить разгрузка. Этот вопрос изучен в работе Ходжа ["з[, который показал, что при возрастании крутящего момента в стержнях с односвязным поперечным сечением разгрузка не происходит.
Наоборот, в стержнях с многосвязным поперечным сечением (например, в полом цилиндре) разгрузка может наступить. Это сильно усложняет задачу упруго. пластического кручения многосвязных стержней, ибо в областях разгрузки следует применять иные уравнения. Обобщением задачи кручения прямого стержня является задача кручения кругового кольца неизменного поперечного сечения, рассмотренная Фрейбергером, а также Вангом и Прагером (см. ['«[). Напряженное состояние в пластических зонах скручиваемого круглого стержня переменного диаметра изучил В. В. Соколовский [««); предельная нагрузка для такого стержня определяется ниже (гл. т'П1). Изучено также кручение аннзотропных н неоднородных стержней (см.
[та тт[). К задаче упруго-пластического кручения математически близка задача об упруго. пластической антнплоской деформации. Здесь также реализуется состояние чистого сдвига, ио заданы напряжения на контуре тела (см. работы Г. П. Черепанова ['тз[). вй 30. Кручение упрочняющнхся стержней 1. Общее вамечиние.
При кручении стержня из упрочняющегося материала простое нагружение не имеет места; сохраняется форма девиатора напряжения, но изменя«отея направления главных осей. Можно, однако, полагать, что эти отклонения невелики, так как имеет место сравнительно простое напряженное состояние (чистый сдвиг), а направления главных осей изменяются прн кручении незначительно. В самом деле, контур является одной из линий напряжений (З 27) и вдоль него, очевидно, главные направления сохраняются.
Остальные линии напряжений как бы «повторяют» очертания контура, поэтому изменения этих линий при кручении сравнительно невелики, и изменения направлений главных осей, связанные с поворотом вектора (касательного к линии напряжений), можно считать незначительными.
Итак, приближенно можно исходить из уравнений деформационной теории (см. Ц 15, разделы 1 и 4). Анализ кручения упрочняющихся стержней на основе теории течения связан с большими трудностями и здесь не рассматривается. 128 )гл. ш кгучзннв 2. Дифференциальное уравнение. Внося компоненты деформации по уравнениям (14.23) деформационной теории у„,= а (Т) т„„т„= у(Т) тхх (30.1) в условие сплошности (27.6) и вводя функцию напряжений Г, находим дифференциальное уравнение — (К(Т) — ( + — ( а( ) — -1 + 2а = О, д Г дУ1 д Г дЕЧ дх 1 дх ~ ду 1 ду ) (30.2) где На контуре по-прежнему Г=сопз1.
Дифференциальное уравнение (30.2) относится к уравнениям типа Монжа — Ампера; оно линейно относительно вторых производных и в силу свойств д(Т) (см. й 12) 1 эллиптического типа. При у(T) =сопз1= — (упругая среда Тука) приходим к уравнению Пуассона (27.10). 3. Решение для круглого сечения. Для круглого сечения решение элементарно, так как поперечные сечения остаются плоскими, т. е. у, ах 'р„, = Г = аг, ъ„= Т = й (аг) аг Угол закручивания а определяется нз условия статической эквивалентности а М= 2па ') м(аг) гас)г. а 4. Кручение тонкостенных стержней. Рассмотрим сначала кручение открытых тонких профилей.
Исходной является задача о кручении вытянутого прямоугольника (рис. 54, а). Здесь допустимо полагать, что функция напрнжений г" не зависит от х; тогда из (30.2) получаем: — )у( — ) — ~ +2а=О, откуда — /а(г 1 вг" д'( — ~ — = — 2ау -(- сопз1.
~ду7' ну= вг Вследствие четности функции напряжений при у = 0 — = 0 и ду произвольная постоянная равна нулю; теперь дг" — = — д( — 2ау) 2ау, ву 129 6 30) кРучение упРочняющихся стеРжней и так как Р=О на контуре, то Р = Р (Ь, в, у) = — 2в ~ «( — 2ву) уйу. Для открытых профилей произвольного очертания (рис. 64, в) 1 ( 1 — ь (и М=2$ ~ РР((з), в,у1йуйа, О 1 ь (5) Э где ьае — площадь, ограниченная контуром Сч (рис.
61). С другой стороны, внесем в (30.3) компоненты деформации согласно (30.1), причем компоненты напряжения выразим через функцию напряжения (27.7); так как дг" дг дŠ— йх — — йу = — — йг, ду дх ' да то находим: Тв= — У «(Т) — йе. дг" с. да Таким образом, «( Т) — йа = — 2вйе. фду с, дп (30.4) При «(Т) = сопя(= — получаем теорему Бредта о циркулнции каса- 1 0 тельного напряжения. 5 л, и.
Качаиов где а отсчитывается вдоль срединной линии профиля. Кручение замкнутых тонкостенных профилей рассматривается на основе теоремы о циркуляции сдвига Рассмотрим интеграл 7в = ф Т„, йх+ Т, йу (30.3) с, Р, по замкнутому контуру С„, целиком лехсащему внутри сечения. Внося сюда компоненты аг леформации по (27.1) и используя условие и однозначности смещения и = в (х, у, в), получаем: Рис. 6!.
7 2в(1 (гл. Рн )30 КРУЧЕНИЕ Рассмотрим теперь тонкостенную трубу, сечение которой ограничено кривыми С„ С„ (рис. 62); здесь Се†срединная линия. На контурах Се, С, функции напряжений принимает некоторые постоянные значениЯ г".о, то;, одно из них можно положить Равным нУлю (9 27), пусть г".е — — О. Рис. 62. Благодаря малости толщины трубы А(з) можно считать, что г". меняется линейно от Г= Г на внутреннем контуре до Р= г"е †. 0 на внешнем. Согласно (27.9) находим: М ж 2г.тйе, где ьзе — площадь, ограниченная кривой С., Далее, дР Рт Ри — ж — — ' тж — и По теореме (30.4) фй( — т) — „' г)з = 2шьзе, (30.5) ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1'тг !. Вычислить предельный скручивающий момент для стержня равно. стороннего треугольного сечения. 2. Вычислить предельный скручивающий момент для уголкового сечения. 3.
Вычислить предельный скручивающий момент для тонкостенной (А= сапа() квадратной трубы. откуда определяется угол скручивания ш. 6. Заключительные замечания. В частных задачах интегрирование дифференциального уравнения (29,2) может быть достигнуто тем или иным способом последовательных приближений. Имеется решение задачи о концеитрацчи напряжений, вызванной мелким пазом на поверхности скручиваемого стержня рм). В ряде случаев приближенное решение можно построить при помощи вариационного метода (см. й 68). Изучены вопросы существования решении дифференциального уравнения (30.2) и нх свойства.
131 ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ !И о 1 т рр аю $~ 1+ р'р' та )' 1+рзрз рг 3 $, 5. Рассмотреть кручение и растяжение круглого цилиндрического стержня по теории пластического течения для следующего пути нагруження: стержень растягивается до достижения предела текучести, затем закручивается при фиксированном осевом удлинении. Ответ. т~ — =1йар г, о, 0аш — '=зсй ер, о т, 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
