1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 28
Текст из файла (страница 28)
76). Здесь огибающая вырождается в точку †цен О. В рассматриваемом приРнс. 76. мере, когда линии сс — прямые„параметр т) = сопа( = т)ь. Нормальные напряжения по радиальным и окружным площадкам равны, очевидно, среднему давлению о = 2й ( — 0 — , 'т)ь), т. е. являются линейными функциями угла наклона прямой, В центре О напряжения разрывны, это †особ точка данного поля напряжений. Из предыдущего вытекает важная теорема. В области, соседней с областью равномерного напряженного состояния, всегда осуществляется простое напряженное состояние, Пусть в области А (рис. 77) — равномерное напряженное состояние, т.
е. $=$ь, т) =т)ь, Отрезок линии скольжения 7., являющийся 148 [гл. т ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ границей области А и принадлежащий, скажем, к семейству линий скольжения р, — прямой и на нем также $ = $а, ц = т)а. По ранее доказанному в соседней области В одно семейство линий скольжения (р) будет состоять из прямых отрезков равной длины, а параметр $ = сопя( = $а, поскольку каждая из а-линий скольжения, пересекающих Е, несет на себе одно и то же постоянное значение $р. Рис. 77.
В плоскости 5, ~) имеем следующую картину: область А отображается в точку яе, т)е, а область  — в отрезок прямой 5 = яе, исходящий из упомянутой точки. К данному решению вдоль прямолинейной границы области можно присоединять только простые напряженные состояния (в частности, равномерное напряженное состояние). Рис.
78, Области равномерного напряженного состояния можно различными способами соединять посредством областей простого напряженного состояния. Приведем простейшие примеры. На рис. 78, а изображено поле скольжения, состоящее из двух различных областей равномерного напряженного состояния, соединенных центрированным полем В. Поле напряжений во всей области А+В+ С непрерывно (исключая центр 0); параметр я постоянен (Я=$е). (В правой части рис. 78,б показано отображение в плоскости $, Несколько более сложный случай изображен на рис.
79. Здесь области равномерного напряженного состояния А, С, Е соединены 149 $ 34) ОСЕСИММЕТГНЧНОЕ ПОЛЕ двумя центрированными полями В, сг; напряжения непрерывны (исключая центр О). Отображение в плоскости $, т) состоит из двухтпересекающихся прямых отрезков. Рнс. 79. Подобные конструкции полей скольжения широко используются при решении частных задач. й' 34.
Осесимметричное поле Нак будет показано в 9 36, вблизи круговой часты контура (свободной или равномерно нагруженной) реализуется осесимметричное поле напряжений. В связи с этим такие поля часто встречаются при решении разнообразных задач. 1. Случай т, =О.
Рассмотрим поле скольжения вокруг кругового отверстия радиуса а, нагруженного равномерным давлением р. Пусть г, <р— полярные координаты. Поскольку на контуре отверстия касательное напряжение отсутствует, то по условию равновесия т = О. Тогда в каждой точке гт поля главные площадки имеют радиальное и окружное направления. Линия скольжения будет Рнс. 80.
кривой, пересекающей в каждой своей точке луч, выходящий из центра под углом ~- †. Но таким свойством обла- 1' дают лишь логарифмические спирали <р — 1п — = р, <р+1п —.=сс, (34.1) 150 (гл. у плоская дееогмлция которые и образуют два ортогональных семейства (рис. 80). Эти линии хорошо наблюдаются в опытах (рис. 81). Если вблизи контура о > О, о, ( О, то условие текучести имеет вид о — ог =2гг и напряженное состояние определяется прежними формулами (26.3): о,= — р+2й1п —, о =о,+2й.
(34.2) Легко убедиться в выполнении соотношений (32.6) вдоль логарифмических спиралей (34.1). Рис. 31. (о,— о,)з-(-4т, =-4йз. Выпишем дифференциальные уравнении равновесия ог о.— о. Дт«ч 2тгь — „"+ "=О, — '+ — "=О. г ' Ыг г (34.3) Пусть на контуре отверстия заданы нормальная и касательная составляющие напряжения: при г=а и,= — р, тгт=ч (34.4) Есчи условие текучести имеет вид о — и = — 2гс, в формулах (34.2) следует поставить минус перед 2г). 2. Общий случай. Общий случай осесимметричного поля при т„ ~ 0 рассмотрен С. Г.
Михлиным. Условие текучести теперь имеет вид $35) ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ 151 причем (д ) ( л. Из второго уравнения равновесия и граничного условия находим; (34.5) Из условия текучести теперь имеем: о.— сг,=~ )/ йз — уз ~')'. (34.6) Внося эту разность в дифференциальное уравнение равновесия, интегрируя его и определяя произвольную постоянную из первого граничного условия, получаем: )У ге — А+ Р' ух+А /Р"т~ — АЯ 1У ах — А'~1 — Л' )У ах — А+)У ах+А ах )~' где А=.а —.
а ' При д чь 0 линии скольжения уже не будут логарифмическими спиралями. р 35. Граничные условии для напряжений Пусть на контуре С заданы нормальная и касательная составля- юцгие напряжения о„, тх, причем ) т„) л. Согласно (1.3), (1.4) и„, т„ связаны с компонентами о„, и, т„ формулами п„=ох созт~р+и Я1пз<р+т„у в!и 2<р, 1 1 (35.1) т»- — — — (Оу — ох) я!и 2ф+тху соз 2(р. Здесь через <р обозначен угол между нормалью к контуру С и осью х (рис. 82). Среда находится в пластическом состоянии, поэтому, вноси в (35.1) формулы (32,1), получаем: о„=о — л з1п 2 (Π— ф, т„= л соз 2 (Π— <р). (35.2) тх О = — <р -+ — агссоз — "+ глп, 2 х а = о„+ Й з(п 2 (Π— р), (35.3) Если х=х(г), у=у(г) — уравнения контура, о„(г), т„(г) — заданные напряжения, то на контуре можно считать известными о = о (г), 0=0(г), а стало быть, и параметры $, т).
В частности, если отрезок границы — прямой (<р = сопз1) и на нем напряжения и„, т„постоянны, то на нем и, О, а следовательно, и $, т) также постоянны. Заметим, что и, О (а следовательно, н напряжения ох, о, т„) определяются из (35.2) неоднозначно: (гл. и 152 плоская дввогмлция где под агссоа понимается его главное значение, а т — произвольное целое число. Наличие двух решений для а, О, удовлетворяющих условию текучести, объясняется квадратичным характером последнего. Для выбора знака необходимы дополнительные условия, которые следует заимствовать всякий раз из механической постановки самой задачи. Известную помощь оказывает следующее соображение.
Будем рассматривать нормальное напряжение ат у контура С (рис. 82): о =2а — о. 1— я Иногда возможно судить о знаке ам что позволяет сделать правиль- ный выбор решения. Рис. 83. Рис. 82. В важном частном случае, когда на контуре С касательное напряжение отсутствует (т„=О), формулы (35.3) упрощаются: О =ф ~ — +тита, 4 а=а„~й, (35.4) и соответственно а,= а„~ 2й. Рассмотрим простейший пример свободной прямолинейной границы х=О (рис. 83); на ней <р=О, о„=О, т„= О и, следовательно, 20= =~-~+2пмт, о=~й, он=О, а,=а,=~2й, т.
е. вблизи границы может быть либо растяжение в направлении у, либо сжатие. й 36. Основные краевые задачи При рассмотрении конкретных задач необходимо построить решения полученных гиперболических уравнений (32.2), удовлетворяющие тем или иным граничным условиям. При этом обычно приходится решать ряд краевых задач. Краткое описание основных из них приводится ниже. Более подробные сведения можно найти в руководствах по уравнениям математической физики. 153 % ОВ) ОСНОВНЫЕ КРАЕЗЫЕ ЗАДАЧИ 1.
Задача Коши. Задача Коши (задача о начальных значениях) является наиболее важной. В плоскости х, у задана гладкая дуга АВ (рис. 84), х = х (в), у =у (г), где г — некоторый параметр, нигде не совпадающая с характеристическими направлениями и пересекаемая каждой характеристикой только один раз г). На дуге АВ известны функции о = о(г), О = О (г), непрерывные вместе с первыми и вторыми произвоеными. Требуется построить решение уравнений (32.2), принимающее на дуге АВ заданные значения. Искомое решение существует н единственно в треугольной области АРВ, ограни- р чениой дугой АВ и линиями скольжения (ха- р! сг рактеристиками) а, р, исходящими из ее концов.
В частности, функции и (х, у), О (х, у) определяются также и на сторонах АР, ВР. « Решение непрерывно вместе с производными до второго порядка включительно. Аналогичное построение может быть вы- В полнено и по другую сторону дуги АВ. Рис. 84. Решение в точке Р зависит только от данных на дуге АВ, Эта дуга называется областюо зависимости для точки Р. Если менять данные вне дуги АВ, то решение будет изменятьсл лишь вне треугольника АВР. Следовательно, к решению, фиксированному внутри этого треугольника, можно присоединять вдоль линии скольжения, вообще говоря, различные решения.
Другими словами, решения могут иметь различные аналитические выражения в соседних областях. Далее, значения о (г), О (г), задаваемые в какой-либо точке дуги 1;1, влияют на решение лишь в точках, лежащих внутри «характеристического углаь, образованного линиями скольжения, исходящими из точки Я. Существование и единственность указанного выше решения имеют место при выполнении условий гладкости дуги АВ и непрерывности начальных данных. Если же производные начальных данных разрывны в некоторой точке С, то упомянутые результаты будут справедливы лишь в треугольных областях АСР', ВСР".
Решение можно строить и в остальной части области СР'РР", но вдоль характеристик СР', СР" будут разрывны производные решения. Разрывы производных распространяются только вдоль характеристик, причем не могут исчезнуть вдоль последних. Остановимся на простых следствиях, широко используемых в приложениях. Поле напряжений у границы, свободной от усилий, определяется только формой границы. ') Если последнее условие не выполнено, задача Коши, вообще говоря, не.
разрешима. 154 [гл. ч ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ 1 ! 1 гт1 а Р ф Рнс. 85. У круговой свободной границы ВА (рис. 85., б) поле скольжения образовано логарифмическими спиралями, а напряжения даны формулами (34.2) при р=О. Уравнения линий скольжения ВР, АР в силу (34.1) соответственно (в точке Р ~р=О) имеют вид: <р — 1п — = — 1п —, <р+1п — =+1и —, т Г, т тт а а ' а а ' где т, †расстоян точки Р от центра.
В точке В ~р=у, следовательно, 1и †" = у и напряжения в Р будут а о,=2йу, о =2й(1+у). (36. 1) Заметим, что, если условие текучести имеет внд о, — о, = — 2й, в предыдущих формулах перед 2й следует поставить минус. Приведенные результаты сохраняются почти полностью, если вдоль рассматриваемой части контура приложено равномерное нормальное давление р; геометрия линий скольжения остается прежней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
