1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Заключительные замечания. Если построена сетка линий скольжения, то в узлах ее известны значения и, О, следовательно, И компоненты напряжения о„, о, т . При достаточно густой сетке у~ 180 [гл. ч ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ линий скольжения можно с любой точиостшо определить пластическое состояние. Заметим, что предложены также удобные и наглядные графические способы решения ['а»~; применение их требует выполнения чертежей большого размера и связано с ббльшими погрешностями.
8 38. Определение поля скоростей 1. Общие соотношения. Выше подробно рассматривалось поле напряжений. Обратимся теперь к оставшимся уравнениям плоской деформации (31.10), (31.11), содержащим компоненты вектора скорости; учитывая подстановку (32.1), перепишем эти уравиеиия в форме ~ —" + — ") (я 20+ ~ —" — — '") = О, (38.1) двх д"у — + — =о. дх ду (38.2) ди дп дг — =0 — =0 я в (38.3) ди а производная — неопределенна. дгь Таким образом, скорости относительных удлинений вдоль линий скольжения равны нулю; подобно тому как уравнения (32.4) выражают условия равновесия элемента скольжения, соотношения (38.3) характеризуют особенности деформации элемента скольжения.
Представим эти соотношения в другой, несколько более удобной форме. Если напряжения найдены, известен угол 0 и задача для скоростей является линейной. Эта система уравнений относится к гиперболическому типу, и ее характеристики совпадают с линиями скольжения. В самом деле, пусть скорости о„, о непрерывны и значения их заданы иа некоторой линии А. Вид этйх уравнений ие изменится, если иерей~и (как в $ 32) к локальной системе координат х, у, образоваииой касательной и нормалью к линии А. Поскольку скорости зада» даны иа ь можио вычислить производные по касательной —" дх' дх Тогда из системы (38.1), (38.2) можно всегда найти и производные дп» дая и по нормали — — если 8 ~ 0 — т.
е. линия ь ие совпадает с линией ду ' ду' скольжения. В последнем же случае (как и ранее, обозначаем соответствующие «характеристические» координаты через г„, гь, а составляющие вектора скорости по этим направлениям — через и, о) ноРмальные напРЯжениЯ Равны сРеднемУ давлению О„=па=о, а касательное напряжение т„ь — — й. При этом из системы (38.1), (38.2) вытекает, что )6( 8 38) ОпРеделение пОля скОРОстей Рассмотрим бесконечно малый отрезок дг„ линии и (рис. 97). Скорость удлинения в направлении сг по отбр порядка равна (и + да †о) — и. В силу (38.3) вдоль оь.линии должно быть ди — е д0 = О.
(38.4) асывании малых второго Аналогично получим для ()-линии до+ и д0 = О. (38.5) Эти соотношения, найденные Гейрннгер, называются уравнениями для скоростей вдоль линий скольжения. Рнс. 97 ь л. м, Квчввов 2. Условие положительности рассеяния. Поле скорости определяется по приведенным дифференциальным уравнениям и надлежа- щим грзничным условиям. При атом е пластических зонах рассеяние должно быть положительным (о; СВ ) О). Это условие согласованности полей напряжения и скорости, налагающее ограничения на выбор конструкции решения, проверяется по найденным полям.
3. Поля скоростей для простых напряженных состояний. Поле скоростей, соответствующее простомму напряженному состоянию, ха- рактеризуется рядом простых свойств. Так, если в некоторой обла- сти напряженное состоянйе равномерное, то всюду 0 = сопят, следо- вательно, из (38.4), (38.5) находим: и = и (р), о = о (сг), (38.6) где и (р), о(сс) — произвольные функции. Случай и=и(р), О=О определяет течение сдвига в сг-направле- нии; в другом случае и = О, о= о(ог) течение сдвига развивается в р-направлении.
Общий случай (38.6) получается наложением двух произвольных течений сдвига в названных направлениях. В случае иенгрироеанного поля угол 0 постоянен вдоль радиаль- ных прямых, например 0 = сопят вдоль а-линий (рис. 76). Тогда вдоль а-линии и = сопя(, т. е. и= и(0). Из (38.4), (38.5) следует, что = ф (О) + ф (р), и = — ср' (О), (38.7) где ф (О), ф (р) — произвольные функции (р — расстояние от центра О, рис. 76; штрих означает производную). Если ф(0) =О, то формулы (38.7) описывают вращательное дви- жение (течение сдвига с линиями тока в виде концентрических окруж- ностей).
В общем случае простого напряженного состояния вдоль прямо- линейных линий скольжении О=сопя(, следовательно, составляющая скорости вдоль каждой из прямых линий постоянна. (гл. ч 162 плоская дееогмация Из (38.1), (38.2) вытекает, что в пластической области возможно равномерное лоле скоростей пл .== сопя(, о„ = сопя(, т, е. пластическая область перемещается как твердое тело. Эти области можно интерпретировать как области ничтожных плзстических деформаций.
Такие поля встречаютси, например, в задаче о вдавливании плоского штампа (8 45). 4. Численное построение поля скоростей. Рассмотрим общий случай, когда ни одно из семейств линий скольжения не состоит из примых линий. Тогда поле скоростей не определяется элементарными средствами. Как и для поля напряжений (8 37), наиболее простым является использование конечно-разност.ного метода. Рассмотрим здесь кратко решение нескольких краевых задач. Мы не останавливаемся на подробном изложении приемов построения поля скоростей и рассмотрении других вариантов краевых зздач, поскольку эти приемы незначительно отличаются от приемов, применяющихся при построении поля напряжений (8 37). Начальная характеристическая задача, Обратимся к рис, 91. Пусть на отрезках линий скольжения ОА, ОВ заданы нормальные составляющие скорости (о на ОА и и на ОВ, тогда касательные составляющие определятся из уравнений (38.4), (38.5)), или †о составляющие, если они удовлетворяют уравнениям (38,4), (38.5).
Касательные составляющие из уравнений (38.4), (Зз.ь) получаем з вид и= ~ ьдО+С1 вдоль и-линни, ь= — ~ и де+ Сз вдоль ()-липин. Постоянные находятся нз условий непрерывности в точке О. Обозначим через и 1 „, о 1 „, и „,, оа л, значения скоростей и, о в узлах сетки скольжения (лт — 1, и), (т, и — 1). Заменяя в соотношениях (38.4), (38.5) бесконечно малые приращения конечными, получим формулы дли вычислении и, о в узле (т, и): 1 иа, » а — 1, л 2 (~а, л+ Оа-1 л) (Ва, л Ва-1, л) (38.8) ., „— „„,, = — —,' (.„л+.а л,) (Еа л В. л,) .
С целью повышения точности для функций и, о взято арифметическое среднее значений и, о в соседних точках. Построение начинается с узла (1, 1). Задача Копти. Пусть и, о заданы на некоторой дуге АВ (рис. 94), не нвляющейся линией скольжения. Построение полн скоростей осуществляетси при помощи тех же соотношений (38.8). Смеитанная задача.
Вдоль отрезка сз-линии ОА (рис. 90) задана нормальная составляющая скорости о, а на кривой ОВ известна связь 163 ф 38) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ между компонентами вектора скорости; аи-'- О=О, где а — постоянная. Ограничимся рассмотрением поля скольжения, соответствующего случаю, показанному на рис. 96, когда угол 6, заданный на ОВ в точке О, равен углу наклона линии скольжения сд в той же точке. Сетка линий скольжения известна (рнс. 96); значения и, д, о, д в узле (1, 1) вычисляем по формулам: 1 д, д — д, а = — —, (ид, д -) ид, а) (Од, д — Од, «), аи, — Од д —— -О.
В последующих узлах (2, 1), (3, 1), ... значения скоростей и, О определяются соотношениями (38.8). Для точки (2, 2) нужно вновь исходить из уравнений, подобных (38.9) и т, д. 5. Ливия раздела пластической и жесткой областей является линией скольжения или огибающей линий скольжения. Будем полагать жесткую область находящейся в покое; этого всегда можно добиться наложением поля скоростей, /7 соответствующего жесткому перемещению тела. В пластической же зоне тдс имеется некоторое отличное от нуля поле. Предположим сначала, что на линии раздела А скорости непрерывны, тогда на В и =- О,о=- О. Если рассматриваемая граница нигде не имеет характеристического направлении (т. е. нигде не совпадает с линией скольжения), то для определения скоростей и, о в пла- Рис.
98. стической зоне имеем задачу Коши; так как начальяые данные в нулевые, а уравнения для скоростей— однородные, то и в пластической зоне скорости равны пулю, что противоречит исходному положению, Если же граница А совпадает с какой-либо линией скольжения, то обращение на ней в нуль и, О не влечет за собой нулевого поля скоростей в пластической зоне. Причем теперь, что на линии раздела непрерывности нет; разрыв может быть лишь в касательной к Л составляющей скорости оо ибо разрыв в нормальной составляющей О„связан с появлением «трещины». Границу Х. можно при этом мыслить как предельное положение тонкого пластического слоя (рис. 98; здесь и — нормаль, У вЂ” касательная), в котороч касательная скорость Од изменяется быстро по толщине, а нормальная о„ почти постоянна.
Очевидно, что с уменьшением толщины слоя скорость сдвига т)д„будет неограниченно возрастать, 164 (гл. и плоская дввогмлция в то время как остальные компоненты скорости деформации будут почти неизменными. Но при этом из соотношений Сен-Венана †Мизеса (13.12) О Ьх тх1 ЧЫ 2х Н''''' В Н записанных в координатах 1, и, вытекает, что 'а„- а, а,— а, (тг) - Ф, поскольку интенсивность гт'- )Ч„г) — со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
