1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Таким образом, граница Е будет линией скольжения или огибающей линий скольжения. Заметим, что нередко линия раздела будет одновременно и линией разрыва скоростей (3 39). 6. Уравнения Гейриигер. Преобразуем уравнения ~(38.1), (38.2) )к новым независимым переменным †характеристическ параметрам $, Ч. Пусть х=х(5, ч), я=у(3, ч) прн условна, что в рассматриваемой области якобнан А ($, Ч) уа О. Тогда с помощью (33.1) нетрудно' получить систему дуу дух дуу дух — 18  — =О; — +с13 — =О. д3 д3 ' дЧ дЧ Переходя к составляющим вектора скорости по к, () — направлениям и, и у„=и соа  — у а|п В, уу — — у соа В+йа1п В, после несложных преобразований находам уравнения: ди 1 ду 1 дЧ 2 ' д$2 — — — у=О, — — — и=О.. (383 О) Отсюда вытекает, что каждая составляющая скорости удовлетворяет телеграфному уравнению.
9 39. Линии разрыва напряжений и скоростей !. Общие замечания. В предыдущих параграфах уже затрагивался вопрос о разрывах в производных напряжения (или скорости). Подобные разрывы, называемые слабыми„распространяются вдоль линий скольжения и являются следствием разрывов в производных начальных данных. При этом сами напряжения (или скорости) непрерывны.
В ряде случаев невозможно построить решения с непрерывными напряжениями нли скоростями. В то же время существуют решения с разрывными напряжениями (скоростями), удовлетворнющие граничным условиям (такие разрывы называются сильными). Рассмотрим несколько простых примеров. В задаче об изгибе балки ($ 24) напряжение а„ в предельном состоянии испытывает при переходе через нейтральную плоскость % 39) линии РазРНЕА нАпРяжений и скОРОстей 165 скачок от + а, к — а,.
Для задачи чисто пластического кручения также характерно наличие линий разрыва, вдоль которых касательное напряжение разрывно (по направлению). В обоих случаях линии (поверхности) разрыва являются предельным положением упругих областей. Естественно, что и в рассматриваемой задаче о плоской деформации возможны разрывные решении, однако значение разрывных решений в плоской задаче ускользало от внимания исследователей и лишь сравнительно недавно было подчеркнуто в работе Пратера (см.
(Ят)). Разрывные поля напряжений и скоростей представляют интерес ~ еще и потому, что с их помощью можно получать простые приближенные решения на основе экстремальных принципов. Этот вопрос рассмат- У риваетсн в гл. Ъ'Н!. 2. Соотношения иа линии разрыва бг напряжений.
Вдоль линии разрыва должны выполняться простые соотно.- л т Л .Р щения, вытекаючцие из уравнений равновесия и условия пластичности. Пусть С в линия разрыва (рис. 99); рассмотрим . ' ')(Р 2' бесконечно малый элемент, лежащий на .с. Толщину этого элемента считаем Рис. 99. исчезающе малой. На гранях элемента действуют нормальные напряжения а„, а, и касательное напряжение т„. Значения компонент напряжения с разных сторон линии разрыва будем отличать индексами +, †. В силу уравнений равновесия элемента должно быть (напомним, то толщина элемента стремится к нулю) Следовательно, разрыв возможен только для нормального напряжения аи Условие пластичности (31.8), справедливое по обе стороны У., разрешим относительно а,: а,=а„-Е 2)г йа — т„'.
(39. 1) По предположению Š— линия разрыва, поэтому в приведенной формуле для значений а~+, а, следует взять соответственно верхний и нижний знаки; тогда скачок в ас будет равен 4)/йа — т„'. Скачок в среднем давлении а= — (а„ + а,) равен 2 'Р й — т„. ! л/ На линии разрыва меняется скачком угол наклона О линий скольжения. В самом деле, нормальное и касательное напряжения а„и т„ по обе стороны линии с ьюжно представить с помощью формул (35.2). Тогда условия непрерывности а„, т„записываются в следующей форме: а+ — й вш 2 (О+ — ~р) = а — й а)и 2 (() — <р), й соа 2 (В+ — ~р) = й соа 2 ( — <р).
166 1гл. ч ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ Отесала О' — ср= ~ (Π— ф) -1-|пп, где пс — целое число. Если перед скобкой в правой части выбрать знак +, то рзспределенне напряжений, как легко видеть, будет в окрестности с' непрерывным. Возьмем поэтому знак †, тогда 0 = — ОФ -,' 2|р + псп, О == О+ — 2|г айп 2 (ОФ вЂ” ф). (39. 2) (39,3) Согласно первому из этих соотношений линия разрсчва Л в каждой своей точке является биссектрисой угла, образуемого одноименными линиями скольжения, которые подходят к с. с разных сторон.
Это легко обнаружить, если совмер стить ось к с касательной к линии Т.. На рис. 100 показаны элемент скольжения, пересекаемый лик нией разрыва, и четыре направле- + ния линий скольжения са~, )с+, ст —, встречающиеся в каждой точб ке А. Таким образом, картина линий б д б скольжения претерпевает зеркальнос отражение относительно линии разрыва Из приведенного анализа вытеРис. 100. кает, что разрьсвы напряжений на линии скольжения невозможны (ибо На ЛИНИИ СКОЛЬжеини те= — Сг; тОГДа НОРМаЛЬНЫЕ НаПРЯжЕНИЯ О,=-П„ непрерывны), Отметим еще одно свойство поля напряжений в окрестное~и линии разрыва Е.
Кривизна линий скольжения при переходе через линию разрв|ва напряжений меняется скачком [сс). 3. Непрерывность скорости вблизи линии разрыва папряжеиий. Так как возможность появления трещин исключается, то разрыв в нормальной к линии Е составляющей век~ора скорости отсутствует, и необходимо лишь обсудить вопрос о разрыве касательной составляющей Нетрудно убедиться в том, что и касательная составляющая непрерывна на с'.. Линия разрыва, явлюощаяся предельныч положением упругой области, может быть заменена тонкой упругой полоской.
В этой полоске напряжения о„, тя, как это вытекает из уранненнй равновесия элемента полоски, почти постоянны; тангенциа|сьное напряжение и, изменяется по толщине полоски очень быстро )от п~~ 16» линии РАЗРЫВА ИАИРяжений и скОРОстей % 39) к о», рис. 1О1), что, между прочим, подтверждает, что рассматриваемая узкая полоска должна быть упругой (ибо при почти постоянных и„, т„и быстро изменяющемся напрнжении и, условие текучести не может выполняться).
Скорость О„ непрерывна; предположим, что составляющая λ— де» разрызна. Тогда в пределе производная — не ограничена, следовадн тельно, такова же и скорость сдвига г)„»; остальные производные, а следовательно, и остальные компоненты скорости деформации ограничены. Повторяя рассуждения, приведенные в конце $ 38, устанавливаем, что о„ и, о, и, ( т„( - я. Это означает, что направления и, » сов падают с направлениями линий скольжения.
Но тогда из формулы (39.1) при т, = д вытекает непрерывность напря>кений вдоль », что противоречит исходному предположению. Итак, ризрью составляющей О» также Рнс. 101. невозможен. Вдоль». О»' =О», следовательно, $»+ =$,; отсюда в силу уравнений Мизеса (13.11) имеем: Х',(о»" — и ) =--) ' (и„- — о ). Используя формулу (31.3) для среднего давления, находим: и„— о = — (о, — о„), + + + + 1 и» вЂ” = — (О» — ) 2 н В силу (39.1) зти величины отличаются знаком, следовательно, ».'„= =- — Х'. Так как Х')О, то должно быть А'=0 в каждой точке линии разрыва У., т. е.
вдоль Е компоненты скорости деформации равны нулю: 8„=0, 8,=0, 9„»=0. Итак, линия разрыва напряжений не удлиняется, Этот результат представляется естественным, если учесть, что линия разрыва является следом упругой полоски; упругими же деформациями мы пренебрегаем. 4. Линии разрыва скорости. Пусть вдоль некоторой линни 1. напряжения непрерывны, а вектор скорости разрывеи; в произвольной точке ».
проведем систему координат и, », направив ось ! по касательной к линии Е. Разрыв в нормальной составляющей О„ скорости невозможен, и следует рассмотреть лишь рззрыв в тангенциальной составляющей Ои Повторим рассуждения, приведенные в конце предыдущего параграфа (рис. 98). Линни разрыва»'. является предельным 168 [гл. ч плоская давогмьция положением слоя, в котором скорость о„ почти постоянна, а скорость от быстро изменяется по толщине слоя (от о+, к ог).
С уменьшением толщины слоя скорость сдвига т(„, будет неограниченно возрастать, в то время как остальные компоненты скорости деформации изменятся мало. Это означает, что направление линии разрыва должно в пределе совпадать с направлением линии скольжения. Таким образом, линия разрыва вектора скорости †ли линия скольжения, либо огибающая линий скольжения. В дальнейшем вместо о„, о, будем писать и, о (составляющие вектора скорости в направлениях линий скольжения а, р; см. 3 38). Скорость и может бать раврывна на а-линии, о — на р-линии. Из (38 4), (38.5) получаем: и = ) одО+ сопя( вдоль а-линии, о= — ) идО+сопз1 вдоль [)-линии. Так как о непрерывна на сс-линии, и — на [)-линии, то легко видеть, что скачок в и (или о) постоянен вдоль линии разрыва сь (или [)).
Касательное напряжение вдоль линии разрыва равно по величине й . При переходе через такую линию элемент испытывает конечный сдвиг в направлении действия касательных напряжений и меняет направление движения. Поэтому скачок, например, в скорости и и направление касательного напряжения т связаны условием положительности рассеяния т (и+ — и ) ь О. Если скачок (и1.ь О, то я=+ й; если [и~(0, то т= — й. 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
