1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

В заключение отметим, что вопросы общей теории разрывов з пластической среде изложены в книгах Томаса (ьь) и Л. Д. Ивлева Р'). й 40. Неедниствениость поля скоростей. Критерий выбора. Полное решение Построение поля скольжения связано с выделением пластических и жестких областей. Поскольку в жестких зонах напряжения не определены, такое выделение носит в известной мере произвольный характер. С этим обстоятельством связана характерная для схемы жестко- пластического тела неединственность полей напряжений и скоростей з). Для иллюстрации сказанного приведем простой пример. 1. Растяжение полосы с отверстием.

Рассмотрим задачу о растяжении полосы с достаточно большим з) круговым отверстием (рис. 102, а). ') Заметим, что предельная нагрузка единственна (см. 4 65). з) Это условие гарантирует возникновение пластяческой деформации в ослабленных перешейках. й 401 неединственность поля скогоствй Поскольку круговой контур свободен от нагрузки, к нему может примыкать осесимметричное поле логарифмических спиралей (2 34). С другой стороны, к свободным прямолинейным границаь' полосы может примыкать поле равномерного одноосного растяжения (Я 36). а) Рис. 102. Пусть зги поля смыкаются в некоторой ~очке С (рис.

102, а). Напряжения в области АВС определяются формулами, выведенными в 534: о,=2я1п —, о„=о,+21г. (40.1) В декартовой системе координат х, у напряжения в области Сс)Е имеют вид: о =2й. (40. 2) о„= с„=0, Предельная нагрузка равна га Р„= 2 ~ о гГг + 2 ~ а г(х. Внося сюда значения а , о, получаем; Рн= 4и(Й вЂ” а)+4л ~1п — г(г. а Второе слагаемое легко вычисляется, но сейчас в атом нет необходимости.

Отметим лишь, что интегральный член неотрицателен и является монотонно возрастающей функцией г,. Рассмотрим теперь поле скорости. В предельном состоянии жесткие части тела движутся со скоростью $~ соответственно вверх и вниз. Нормальные составляющие скорости на границах ВС, АС; Сй, 1У0 [гл. ч ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ СЕ непрерывны и легко вычисляются, поскольку этн границы известны. Касательные составляющие скорости вдоль указанных линий раздела разрывны. Поля скоростей в пластических областях АВС, СНЕ определяются единственным образом решением начальных характеристических задач.

Таким образом, поле нанряжсний и скоростей согласованы (можно показать, что в каждой точке поля рассеяние положительно). Итак, имеется сколько угодно решений в зависимости от выбора произвольной точки С; кзждому решению отвечает некоторая предельная нагрузка.

При г, = а (рис. 102, б) нагрузка РФ = 4й(й — а) является минимальной, при г,=й (рис. 102, в) нагрузка максимальна. 2. Критерий выбора. Возникает, естественно, вопрос: какое из этих решений следует предпочесть? Ответ можно дать на основании теорем об экстремальных свойствах предельной нагрузки, рассматриваемых позлнее (см.

2 65). Забегая несколько вперед, сформулируем без доказательства вытекающий из этих теорем критерий выбора. Решение, полученное в настоящем параграфе, определяет во всем теле (т. е, как в пластической, так и в жесткой зонах) поле скоростей, согласующееся с граничными условиями. Такое поле является кинематически возможным. Ниже (Э 65) будет доказано, что всякое кинематически возможное поле скорости приводит к верхней границе предельной нагрузки. Следовательно, наиболее подходяи(ее решение соответствует наименьшему значению нагрузки. Это положение условимся называть критерием выбора.

Допустим теперь, что во всем теле (т. е, как в пластических, так и в жестких зонах) построено поле напряжений он, о, т,, которое 1) удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия;, 2) удовлетворяет заданным граничным условиям лля напряжений при некотором значении параметра нагрузки; 3) лежи~ внутри или на круге текучести, т.

е. всюду (о„— и„)'+ 4т,'„' 4п'. Такое поле напряжений называется статически возможным пластическим полем. Согласно второй теореме (см. э" 65) всякое статически возможное пластическое поле напряжений приводит к нижней границе предельной нагрузки. Решение задачи, полученное выше, не дает такого поля, ибо в жестких зонах напряженное состояние неизвестно. Согласно критерию выбора наллежит остановиться на решении, показанном на рис. 102, б. Это решение соответствует минимальной нагрузке Р =4й(й — а) (40.З) 171 3 40) неединствхнность поля скагостей и хорошо подгверждается наба~плавнями. На рнс.

103 приведены фотографии 1"~ линий скольжения в начальной н более поздней стадиях пластического течения. Пластические зоны становятся наблюдаемыми после специальной обработки (шлифовки, травления) деформированных стальных образцов. 3 ам е ч а н и е. Критерий выбора не всегда достаточен для оценки конструкции поля скольжения. Могут быть случаи, когда различные поли скольжения приводят к одной и той гке предельной нагрузке.

ГГодобное положение имеет место, например, при решении задачи о давлении плоского штампа (3 45). В таких случаях необходимо привлекать дополнительные механические соображения. 3. Полное решение. В рассмотренном примере подходящее статически возможное пластическое поле напряжений строится легко; оно показано на рис. 104. Здесь в заштрихованной полоске напряхсения равны нулю, а в боковых полосках с'х = тху = О, пу — — 2)г. (40.4) Очевидно, что граничные условия на кон~уре кругового выреза и на боковых Рис. 103. краях выполняются. Соответствующая предельная нагрузка равна, очевидно, прежнему значению (40.3).

По- скольку верхняя и нижняя границы предельной Р нагрузки совпадают, полученное значение предельной нагрузки является точным. В рассмотренном примере подходящее статически возможное пластическое поле напряжений строится элементарно. Обычно же построение такого поля связано, как правило, с известными трудностями. Остановимся еще на одном замечании. Пусть построено кннематически возможное решение (например, решение, показанное на рис.

102, б). Гели бы удалось продолжи~ь напряженное состояние в пластических зонах в жесткие зоны, причем так, чтобы условие текучести Рис. 104. нигде не превышалось, то построенное во всем теле поле напряжений будет статически возможным пластическим состоянием. Очевидно, что при этом верхняя [гл.

ч 172 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ и нижняя границы предельной нагрузки будут совпадать. Подобные решения называются полными, ибо они приводят к точному значению предельной нагрузки. Решение задачи, приведенное в этом параграфе (рис. 102, б), является полным; оно легко продолжается на все тело так, как это показано на рис. 104.

3. Задачи о нахождении предельных нагрузок. Выше неоднократно подчеркивалось значение предельных нагрузок для установления реального запаса прочности. Для упруго-пластического тела деформации обычно постепенно развиваются с увеличением нагрузки; вначале упругие области сдерживают деформацию тела, по мере их уменьшения это сдерживающее влияние ослабляется и, наконец, наступает беспрепятственное пластическое течение, отвечающее предельному состоянию. На ряде примеров ранее было показано, чтз нагрузки, близкие к предельным, достигаются при сравнительно небольших деформациях.

При этом, как правило, пластические деформации локализуются и быстро нарастают, в то время как упругие деформации мало изменяются; последними, стало быть, можно пренебрегать. Это позволяет для вычисления предельных нагрузок использовать схему жестко-пластического тела. Условия, которым должны удовлетворять решения по схеме жестко-пластического тела, обсуждались ранее (3 23). В частности, необходимо, чтобы условие текучести не превышалось в жестких зонах. Как уже отмечалось, это не поддается проверке, однако построение во всем теле статически возможного пластического поля позволяет получить оценку предельной нагрузки снизу. Другое требование †положительнос рассеяния всюду в поле скольжения. Это условие согласованности полей напряжения и скорости проверить можно, хотя и не всегда просто.

Момен~ достижения предельной нагрузки характеризуется мгновенным движением, соответствующим переходу тела из жесткого состояния в кпластический механизм». Очевидно, что при этом всеми изменениями во внешних размерах тела можно пренебречь; мгновенному движению соответствуе~ данная (кмгновеиная») комбинация нагрузок. Для реального упруго-пластического тела конечная комбинация нагрузок может быть достигнута различными путями и возникает вопрос о зависимости предельного состояния от пути нагруження, В дальнейшем принимается, что предельное состояние ~е зависит ог пути погружения.

Характеристики

Список файлов книги