1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 36
Текст из файла (страница 36)
2 Так как АЯОКТ — непрерывная р-линия скольжения, то на ней и 1 Ч.=. сопя!, т, е. Ч,=-Ч„откуда получаем у= — — —. Из гсометри- 8 4 ' и 1 ческих соображений ясно, что ~ ЯМО= — + — . 8 4 Неизвестные величины Й, а, Ь определяются из следуюп!их условий. Прежде всего вертикальная проекция линии АЛО равна 2 -- (Ь вЂ” Ь), Далее, жесткая облас! ь ВСЗОК'Т'Е'Г' должна находиться в равновесии; ее граница Г'х) свободна, вдоль участка ВБОК' Т'Г' действует касательное напряжение, по величине равное м; нормальное напряжение равно нулю на ОК', равно м на Е)С и — м на Г'Е'; на дуге СЗ оно растет от значения 14 до 74(1 -,'- 27) как линейизя функпия угла наклона линии скольжения, на дуге ВО— убывзет от последнего значения к нулю; аналогичные изменения претерпевает нормальное напряжение вдоль линии Е'Т'К'.
По симметрии сумма проекций напряжений на ось х равна нулю (ч~~Х=..О), и остаются лишь два условия: ~~~~1'=-0 и ~шов=0. Опуская несложные, но несколько громоздкие вычисления, приводим значения параметров, найденные из указанных трех условий: — = 0,052, — = 1,076, — = 0,739. Ширина участка ОК зависит при этом только от отношения — и, л кзк легко убедиться, обращается в нуль при — = 0,68. Поэтому и рассмотренное поле скольжения реализуется при условии — ) 0,68.
а 191 $ 44) СРЕЗ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПЕРЕН!Рйка Вычисляя сумму горизонтальных проекций напряжений, действующих по линии скольжения А$0КТВ, получаем предельное срезывающее усилие (44. 1) (1а =Я'. (1 — О 249 — ) где Я',= И вЂ срезывающ усилие по элементарной схеме сопротивления материалов. Очевидно, Ь что ~,') — 0$ при — — О.
Обратимся теперь к кинематичсской картине. Обозначим через 0 равные по величине разрывы в тангенциальной составляющей скорости вдоль верхней АОКВ и нижней (А'0'К'В') ()-линий. 11ентральная зона испытывает однородный сдвиг; точки на ляпин 00' неподвижны, а скорость 2 сдвига равна — ()У вЂ” О). Ь Жесткие области поворачиваются относительно точек О (О ) в положи тел ьном н а- правлении с угловой скоростью ю. С другой стороны, зти области испытывают вращение относительно нижней и верхней частей вокруг Рис. 126. центров соответствующих круговых дуг (В0, КТ, ...) с некоторой угловой скоростью ю'.
Нетрудно получить из условия непрерывности нормальной составляющей скорости, что (У вЂ” и= —,, Л '=и, (В+ — 2) ь, Г ь т га = — -, ~' = ~1 + — ) О. На рис, 126 приведена фотография полей пластической деформации, наблюдаемых в перешейке после травления; хорошо видна область равномерного сдвига в средней части перешейка. В заключение заметим, что аналогичные решения('аа1 можно построить для симметричных перешейков другйх очертаний (например, с круговыми сторонами).
192 (гл. ч плоская даеогмлция 5 4Б. Вдавливание плоского штампа Рассмотрим задачу о наступлении пластического течения при вдавливании твердого штампа с плоским основанием (рис. 127); пластическая среда ограничена плоскостью, трение по поверхности контакта отсутствует. В предельном состоянии штамп движется вниз со скоростью Р. Деформации предполагаются малыми, так что изменениями очертаний свободной поверхности можно пренебречь. Рис.
127. 1. Решение Прандтля. Решение Прандтля относится к ранним работам по плоской задаче. Пусть в предельном состоянии распределение давления под штамЧом равномерное. Тогда поле скольжения (рис. 127) может быть построено так: под штампом и по сторонам от него будут треугольные области равномерного напряженного состояния; в частности, треугольники ВОЕ и АРО будут испытывать простое сжатие, параллельное границе. В г~ АВС давление а неизвестно, а а и $ = сопя(= — + — =— $, 2л 4 в Д,ВЮЕ 1 $я= — —— 2 4 Треугольные области соединены центрирован и полями Вдоль а-линии параметр $ постоянен, следовательно, $, = $м откуда а =- — л(1.+ и).
По формулам (32.1) находим напряжения в ~ АВС: а„= — лп, о' = — л(2+и). Предельная нагрузка равна Р =2ай(2+и). (45. 1) 8 45) 193 вдлвливлнне плоского штампа Найдем распределение скоростей; ~ АВС движешься вниз как твердое тело со скоростью штампа г'. Вдоль ВС разрывна касательная составляющая скорости, нормальная аке составляю- 1 щая равна = 1'.
Вдоль СО касательная составляющая скорости У2 разрывна, а нормальная составляющая равна нул!о. Тогда со- ! гласно (38,7) в центрированном поле та=О, а и —.== Г. Наконец, Угя область,ВОЕ скользит как твердое тело в направлении ЙЕ 1 со скоростью = н'. Анало- У" 2 гичное поле строится в левой части рис. 127. 2. Решение Хилла. Другое решение, предложенное ат сравнительно недавно Хиллом, а7 показано на рис. 128. Здесь Р,г ~~С Ю также принимается, что по линии контакта АВ действует Рис.
128. равномерное давление. Тогда в области ОСОЕВ будет такое же поле напряжений, как в области АСОЕВ решения Прандтля (рис. 127). В области же ОЕОгтА (рис. 128) поле напряжений такое же, как и в области ВСЕОА (рис. 127). Очевидно, что по линии АОВ будет действовать то же равномерное давление о = — и (2+ и). Предельная нагрузка Р» имеет прежнее значение (45.1). Однако поле скольжения и кинематическая картина будут иными (рнс.
128). Здесь ,Л, ОСВ скользит как твердое тело вдоль ОС со скоростью к' 2 г'; скорость на ВС непрерывна, в центрированном поле ВСО и = О, и =- )' 2й', треугольная область ВОЕ движется в направлении ОЕ со скоростью Р 2 т'. В отличие от решения Прандтля поле скоростей в пластических зонах непрерывно. Как заметил Прагер, можно построить решение, являющееся комбинацией решений Прандтля и Хилла, и содержащее произвольный параметр, характеризующий налеганне областей ОВС и ОАЕ друг на друга. Рассмотренная задача иллюстрирует неоднозначность решений по схеме жестко-пластического тела.
Поэтому при построении возможных полей скольжения и скоростей необходимо привлекать различные дополнительные соображения и использовать экспериментальные наблюдения. а В частности, полезно попытаться представить на основании решений теории упругости или каких-либо иных соображений характер Л. М, Качанов (гл.
ч 194 плоскля двеогмлцня 9 46. Клмн нод действием одностороннего давления Рассмотрим задачу о нахождении предельной нагрузки для клина при действии равномерного давления р, приложенного к правой грани (рис. 129). 1. Случай тупого клина. Остановимся вначале на случае тупого клина 2у) †. В треугольной области ОСЕ>, образованной линиями скольжения, исходящими из концов отрезка ОВ, осуществляется равномерное напряженное состояние.
Очевидно, что в ~ОАВ, примыкающем к свободной границе ОА, также равномерное напряженное состояние. Согласно (35 А) а, = = — р-~2л; знак выбирается з каких-либо ополни- Жисялллобп р+И Рис. 12д -йг и д тельных соображений (или испытанием всех вариантов). Полагаем„что вследствие действия односторонней нагрузки клин сизгибается»;* тогда следует ожидать растягивающего напряжения и, на стороне ОР и сжимающего — на стороне ОА. На этом основании принимаем, что в,Л,ОСО ог —— — р + 2/г, а в,Л,ОАВ и,= — 2я (рис. 129). Эти две области соединим центрированным полем (й 33) ОВС; в нем напряжения постоянны вдоль каждого из лучей и меняются (как линейные функции угла наклона луча) от значений на линии скольжения ОС к значениям на линии скольжения ОВ. Вдоль линни раздела АВС0, являющейся линией скольжения, действует касательное напряжение т = Й; нормальное напряжение равно о= — р -)- )г на участке Сй и и.
— — л на участке АВ; на участке ВС оно изменяется по линейному закону. Р ~ б у б ь»м,уа ределенном значении давления р = р, называемом предельным; для возникновения и развития пластических зон. С этой точки зрения решение Хилла дает более правильную картину, ибо пластические зоны, если исходить из решения соответствующей задачи о давлении жесткого штампа на упругую полуплоскость, возникают в окрестности углов А, В и в дальнейшем распространяются к середине. С другой точки зрения вопрос о выборе решения обсуждается в работе Я.
Рыхлевского(ть'~. й 46) клин под действием ОднОстОРОннеГО дАВления 195 вычисления его можно воспользоваться условием постоянства пара- метра т) на Р-линиях: Е,Л,ОСО В=у — — и, т)= -)-у — — гг, 3 -р+й 3 п1 ! и Е,~~ОАВ 6 =- — (у+ — ), т) .= — — — у —— 4)' 2 4 Приравнивая вти значении т) друг другу, получаем формулу Прандтля Рн — — 2л (1+ 2у — 2 ) (46.1) На плоскости С, т) решение отображается в виде отрезка прямой т) = сопз1, При у =- и (прямоугольный клин) пентрированное поле 4 вырождается в прямую линию, и решение имеет простой вид — всюлу равномерное одноосное сжатие (рис. 130).
Пусть вдоль ОО задана нормальная составляющая скорости; основание клина неподвижно, Рнс. 130. Рис. 131. т» следовательно, нормальная составляющая скорости на линии АВСО равна нулю. Нетрудно видеть, что поле скоростей определяется последовательным решением краевых задач для областей ОСЮ, ВСО, ВАО. 2.
Случай острого клина. Прн у( — построение теряет смысл, 4 ибо треугольники ОАВ и ОСО перекрывают друг друга, что приводит к неоднозначности напряженного состояния. В атом случае непрерывное поле напряясений невозможно, и решение характеризуется разрывным полем, показанным на рис. 131. Справа и слева от линии 196 (гл. ч ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИИ разрыва имеем по-прежнему равномерные напряженные состояния: 9+ = ° — 3 4 в ЛООП в ~~,00'А М 8 = — (у+ — ) о = — л. 4)' Согласно условию (39. 3) иа линии разрыва получаем: р = 2)г(1 — соз 2у) (46.2) (при ~р=-О). Отметим, что разрывное поле напряжений можно построить и для тупого клина, но оно, как будет показано ниже, приводит к противоречию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
