1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В процессах горячей обработки металлов значительное влияние оказывают изменения температуры, и здесь экспериментальные данные могут заметно отличаться от теоретических. В большинстве технологических задач установившегося пластического течения встречаются контактные граничные условия. Угадать распределение давления на линиях контакта, как правило, трудно.
Это возможно сделать лишь в простейших случаях (в частности, когда линии контакта с инструментом — прямые). Вообще же необходимо совместное рассмотрение уравнений для напряжений и скоростей (см. З 51). Ниже рассматривается задача о волочении полосы через гладкую ко ну сную матрицу; полуобр атный метод здесь оказывается эффективным.
2. Волочение полосы. Полоса (начальная толщина Н) протаскивается со скоростью Сг сквозь жесткую гладкую суживающуюся щель (матрицу); при этом полоса испытывает пластические деформации в области, примыкающей к матрице, и толщина полосы уменьшается до значения Ь. Угол между плоскостями щели равен 2Т (рис. 142). В некотором отдалении от щели части полосы движутся, подобно твердому телу, со скоростями 0 и ]г. Вследствие несжиа маемости материала скорость 1г= — Сг.
Н 914 (гл. ч плоская дввовмацнн Трением для простоты (учесть постоянную силу трения нетрудно) пренебрегаем, поэтому контактное напряжение нормально к АВ. Примем, что вдоль АВ действует равномерное давление р, и покажем, что при этом удовлетворяются все условия.
Тогда в г'), АВС вЂ равномерн напряженное состояние; вдоль АС и ВС присоединяем центрнрованные поля АСО и ВСЕ, причем углы ~р и 4Р пока неизвестны. Напряженное состояние в этих областях зависит от искомого давления р. Для четырехугольника СООЕ имеем начальную характеристическую задачу по данным на линиях скольжения СО, СЕ, По симметрии точка О лежит на осевой линни полосы, а линии скольжения пересекают ось под углом 45'.
Эти условия определяют значения углов ~р, 4р. В частности, нз второго условия вытекает, что (49.1) Действительно, в,С, АВС 0 = — 4 — у, величину же среднего дави ления обозначим через а'; параметры $, 4)постоянны и соответственно а' м а' м равны й' = — + — + Т т)' = — — — — ч. Далее, в области АОС 2З 4 ' 2З 4 и т) = сопя1 = т)'1 вдоль АО 0 = — — — Т вЂ” <р, а среднее давление по- 4 стоянно; обозначим его через а". Приравнивая соответству|ощее а' а' значение т) выписанному выше значению т)', находим — = — — ~р. 2а 2к а' к В точке О будет $р .= — +~р + †+~р.
Аналогично для области ВСЕ й = сопз1= $', на ВЕ среднее а"' а' давление — = — +4Р и значение параметра т) в точке Е будет 2З 2к а' м к 4)л — — — + 4Р— — — Ч+4Р. Наконец, в точке О 0:= — — а неизвестное 2З 4 4 давление обозначим через а . Соответствующие значения парамет- Ров ь, т) в точке О бУдУт ьа —— 2 + 4, т)а =~— — — . Неаполь АБО аа п аа к $ = сопз1, вдоль ВЕО т) = сопз1, следовательно, й =- ~р, т)а = т)в, откуда сразу вытекает соотношение (49.1), По любому сечению полосы справа от ВОВ' сумма горизонтальных составляющих напряжения равна неизвестному усилию волочения Р, слева от АОА' та же сумма равна нулю, ибо левая часть полосы не испытывает действия внешних снл.
Легко видеть, что Р=р(0 — л). Искомое давление р и один из углов (например, ~р) находятся по условиям, что сумма горизонтальных составляющих напряжений по сечению АОА' равна нулю, а точка О лежит на осевой линии. $49) УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ 215 Это требует численных расчетов, так как решение длн четырехугольника ОЮСЕ достигается численным интегрированием.
В работе Хилла и Таппера приведены результаты вычислений для разных в углов Т и отношений —. Одна из построенных зависимостей (для Н Т = 15') нанесена на рис. 144! усилие волочения возрастает по мере перехода к ббльшим обжатиям полосы. Покажем теперь, что поле скоростей согласуется с рассмотренным полем напряжений. Вдоль АЕ!О и ВЕО нормальные составляющие скорости непрерывны и, следовательно, известны, ибо заданы скорости лвижения жестких частей; по этим данным на ВО, ЕО определяется поле скоростей в четырехугольнике ОВСЕ. Далее находим скорости в центрированных полях и, наконец, в С, АВС, Вдоль прямых АО, ВЕ нормальные составляющие скорости, очевидно, «~а постоянны; тогда согласно (38.7) «22 компоненты скорости и, т« постоянны вдоль каждой прямой линии скольжения в центрированных полях, следовательно, и, о постоянны «в на АС, ВС, но тогда в силу (38.6) у скорости и, о постоянны всюду в х7 «4«' «тй гну «24« ,Л, АВС.
Уравнения поля скоростей осно- Рис. 144. наны на условии несжимаемости; благодаря соотношению 1«Н= с«Ь между скоростями правой и левой частей полосы поток массы через АОО раасн потоку ее через ВЕО, поэтому поток через АВ должен равняться нулю. Так как в С,АВС скорость постоянна, то она направлена вдоль линии контакта АВ х), что является необходимым условием правильности поля скоростей. Заметим, что касательная составляющая скорости вдоль линий скольжения АОО, ВЕО разрывна. Найденное решение справедливо, если лля каждого Т относи- в тельное сжатие — нс превосходит некоторого значения.
Максимум Н достигается, как это ясно из геометрической картины, при !р = О, когда четырехугольник ОВСЕ вырождается в точку О (рис. 145). В этом случае решение элементарно и Р 2(1+2) а!п Т 2аь 1+2 а!п Т ') Можно не предполагать давление равномерным; легко видеть, что условие для скорости на АВ выполняется лишь при прямолинейных линиях АС, ВС, но тогда на АВ давление постоянно. 216 [ГЛ.
Р ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ На рис. 146 показано искажение первоначально квадратной сетки, подсчитанное для <р = О, Т = 15, й. = 0,66 по вычисленному Ь [Н = полю скоростей. Величина 2ЬЬ равна предельной нагрузке при Рис. 145. Рис. 146. одноосном растяжении гладкой полосы шириной Ь. Волочение осуществимо, если Р ( 2ЬЬ (иначе произойдет разрыв правой части полосы), откуда т в)п Т ( †, т. е. Т ( 42 27' = — Т,. ! о Заметим, что для поля, изображенного на рис.
145, Ь 1 Н 1+2 з!и т Ь Если т ( Ты но — пРевышает пРиведеннУю величинУ, то постРое ние, рассмотренное в этом параграфе, невозможно; в этом случае решение имеет другой вид. й 50. Неустановявшееся пластическое течение с геометрическим подобием. Внедрение клина 1. Неустановившееся пластическое теченяе с геометрическим подобием. Рассмотрим, следуя работам Хилла, Ли и Таннера [ы], один класс задач неустановившегося пластического течения, поддающийся относительно простому анализу. Речь идет о задачах, в которых пластическая область изменяется так, что ее конфигурация все время сохраняет геометрическое подобие некоторому исходному положению, Простейшими примерами являются задачи о расширении цилиндрической и сферической полостей в неограниченном пространстве при начальных нулевых размерах отверстий; ниже излагается решение задачи о внедрении клина.
% 50) НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ 217 В задачах этого типа деформация начинается с точки или с линии, а среда не ограничена хотя бы в одном направлении. 2. Внедрение твердого клина. Рассмотрим задачу о внедрении симметричного твердого (недеформируемого) клина с углом раствора 27 в жестко-пластическую среду, ограниченную плоскостью.
Трение по поверхности контакта отсутствует (поверхность смазана). ~рис. 147. При внедрении клина среда выдавливается по обе стороны его, при этом картина деформации имеет вид, схематически показанный на Рис. 148. рис. 147. Заштрихованная область АВС находится в пластическом состоянии. Граничная линия АС удовлетворительно аппроксимируется примой. Тогда поле скольжения может быть построено следующим образом (рис. 148). Примем, что вдоль АВ контактное давление р постоянно; при этом, как будет ясно из дальнейшего анализа, все 218 (гл. ч ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ условия задачи будут удовлетворены. Тогда а треугольниках АВР и АЕС вЂ равномерн напряженное состояние. Обозначим глубину внедрения ОВ через Ь, длину образующей АС (которая равна АВ из равенства треугольников АВР и АСЕ) †чер У; давление р и длина У неизвестны.
Области равномерного напряженного состояния соединены центрированным полем АРЕ с углом раствора ф. В У~АВР 0 = — — у, а среднее давление обозначим через о'; о,' [и параметр $ здесь постоянен и равен $'= — ' — ' — -)-у. В Л,АСЕ 2а 4 0 = — у+ ф, о= — Ь и параметр й постоянен и равен 4 1 и = — — — — -е у — ф.
Во всей пластической области $ = сопя!, сле- 2 4 довательно, $' = $", откуда получаем: о' = — Ь (1+ 2ф). (50.1) Линия АС образует угол у — ф с горизонтальной осью; согласно чертежу Усову — Ь=Уьйп(у — ф). (50.2) Здесь у, Ь вЂ заданн величины, по- 1 этому последнее соотношение устана- вливает связь между У и ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
