1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Последовательно находим точки (1, ш) (т. е. заполняем вторую строку таблицы), точки (2, ш) и т. д. Соединяя узлы прямыми линиями (нли кривыми по лекалу), получаем сетку линий скольжения (рис. 135). В области ВСР поле определяется по схеме решения смешанной задачи (5 37), так как иа ВС в узлах (т, 10) нам теперь известны и, 6, а на линии у=1 6=0. На рнс.
134 сплошной линией нанесено вычисленное распределя ние давления на поверхности контакта. Пунктиром показано даваеем по решению Прандтля. Очевидно, что решение Прандтчвг является хорошим приближением при 1)) й. Построенное поле скольжения должно быть согласовано с соответствующим ему полем скоростей.
Обратимся к этому вопросу, В силу симметрии и=-о на АО; на От" имеем краевое условие о = — с (рис. 134). Поскольку жесткая зона в средней части смещается в вертикальном направлении со скоростью с, а нормальная составляющая скорости о непрерывна на границе ВО, то на последней о = — с соз6.
Интегрируя теперь уравнение (38.4) и определяя произвольную постоянную по условию и = о в точке О, для которой 6= — и/4, находим на границе гб вторую составляюшую скорости и = — с (')Г2 + зш 6). При переходе через линию раздела тчО тангенциальиая составляющая скорости и испытывает, таким образом, скачок величиной с к' 2, что влечет за собой бесконечную скорость сдвига.
По вычисленным значениям и, о строим поле скоростей, продвигаясь последовательно справа налево, пока ие достигнем линии АВ; при этом скорости на АВ определяются единственным образом. Далее, в секторе ОАВ находим скорости по данным на отрезках АВ и ОВ. Вдомв каждого нз лучей скорость и постоянна, т. е. и= и(6); тогда вдоль ))-линий (см.
ф 38) о= — ~ и(6) 06+ф(р). Так как на ОВ скорость о постоянна, то ф(р) = сопла и, стало быть, о о (6). Итак, вдоль линни раздела ОА скорости и, о постоянны. Условие постоянства нормальной составлйющей скорости о на АО соответствует требуемому движению жесткой части слоя ОАО'. Для реального упруго-пластического слоя картина деформации схематически показана на рис.
136. Заштрихованные зоны 1гл. И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЙ характеризуются тем, что в нпх упругие и пластнчсскнс деформ мании — одного порядка. Рис. 136. Заметим, что в полученном решении Л можно рассматривать как толщину в данный момент времени, следовательно, решение справедливо и для конечных деформаций. Прн этом форму выдавливаемой части слоя легко определить по условию несжнмаемости. В самом деле, пусть плита сместилась на вели. чину ой, тогда Лдх+«1Ь=О, где лх— смещение вЫдавленной части слоя (рис.
137); отсюда где Л« — начальная толщина слоя, а х отсчитывается от конца слоя. Рис. 137 Подсчеты 1«а~ показали, что скорости претерпеваю~ существенные изменениа лишь в узкой полоске вблизи контактной линии, а в остальной части слоя изменяются мало. Эти результаты подтверждаются наблюденяями над искривлением первоначально квадратной Рнс. 138. сетки слоя, сжатого между шероховатыми плнтамн. На рис. 138 хорошо видны «жесткиел зоны. 9 47) СЖАТИЕ СЛОЯ МЕЖДУ ЖЕСТКИМИ ПЛНТАМН 205 3. Короткий слой.
Для короткого слоя [ — < 3,64) нзломзенное [,л 1 решение непригодно. Здесь прн 1( — „3,64 поле скольжения имеет Рис. 139. внд, показанный на рнс. 139. Прямые линии скольжения ОА пересекают горизонтальную ось под углом — . Угол у раствора пентрн- 4 рованного поля определяется условием прихода линии скольжения ОВС в центр полосы. Темные области остаются жесткими; распределение давления по линии контакта неопределенно, н можно лишь л указать его среднюю величину. При — =1 точки А, С совпадают; для — < 1 поле скольжения строится иначе (см. [зз)).
4. Заключительные замечания. Выше предполагалось, что по поверхности контакта развивается максимальное касательное напряжение т„=й. Случай, хогда касательное напряжение постоянно, но меньше й, изучен В. В. Соколовским [ы) Па основе рассмотренных решений развиты приближенные методы расчета сжатия слоя. Так, в работе Мейергофа н Чаплина['з') дано приближенное решение задачи о сжатии слоев, имеющих различную форму в плане (круглые, прямоугольные и т.
д.), н приведено его экспериментальное подтверждение. А. А. Ильюшин [м'] рассмотрел вопрос о течении пластического слоя между двумя недеформнруемыми поверхностями. Напряженное состояние тонкой пластичной прослойки, скрепленной с жесткими частями, представляет значительный практический интерес. Такие задачи возникают, например, при рассмотрении работы сная (склейки), работы сварных соединений и т. д. Изложенные решения для тонкого слоя относятся х калечной стадии пластического течения, когда на поверхностн хонтакта развиваются касательные напряжения, равные пределу текучести. Однако напряженное состояние в таких слоях изменяется в зависимости от нагрузки от простого одноосного сжатия (растяжения) к изученному выше конечному сложному напряженному состоянию.
Приближенный анализ процесса развития напряженного состояния в тонкой прослойке дан в работе["'); см. также $60. Заметим, наконец, что наличие силы, сдвнгающей плиты, существенно снижает предельное сжимающее усилие 2Р. Этот вопрос кратко рассматрява ется ниже (4 66). )гл. ч плоская деьогмхция й 48. Упруго-пластическая задача о растяжении плоскости с круговым отверстием Рнс. !40 (48.3) В упругой зоне функция напряжений Г, удовлетворяет бигармоиическому уравнению. Всякую же бигармоническую функцию можно представить формулой Гурса г".
Йе1аФ, (а) + чг, (а)1, (48.4) 1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о растяжении плоскости с круговым вырезом радиуса а, испытывающей на бесконечности различные растяжения в направлениях осей х, у (рис. 140), т. е. при г оо ах р, а д, У тхг -О, причем «р) р; отверстие 1111111 свободно от напряжений. У1 Прн достаточной величине нагрузок р и «р возникают пла- Р стнческне области. Не вникая в историю постепенного разви- — — тия этих областей (которая мо(г жет сопровождаться разгрузкой ,а = в отдельных частях пластических зон), примем, что пластическая зона целиком охватывает отверстне.
Пусть, далее, материал т" несжимаем, тогда справедливо условие пластичности (31.8). При этом решение в пластической зоне определяется одной лишь формой контура, н в полярных координатах г, «р компоненты напряжения будут («4 34) а,=2л!п —, а„=2«е(1 з-1п — ).
(48.1) а/' Для построения решения в упругой зоне используем функцию напряжений Е=г (х, у): двр двЕ двр а= —, а=- —., т х дув г дхв хг = дхду ' В полярных координатах компоненты напряжения выражаются через функцию напряжений г"=Р(г, «р) формулами: !ар, ! двр двр 1 др 1 д»Р а = — — + — —, а = — т =- — — — — —. (48.2) г дг г' йрв' в дг' ' гч г' д«р г дгд«р' Легко видеть, что решению (48.1) соответствует «пластическая» функция напряженнйрР' ! ! в в г — Р = — — г+г1п —.
а г 2 а ' 8 48) задача о гастяжянии плоскости с отвегстиям 207 где Ф,(х), Чг,(х) — аналитические функции комплексного переменного х = х + еу. Чертой, как всегда, обозначается сопряженная комплексная величина. Компоненты напряжения вычисляются по формулам Колосова — Мусхелишвили а„+о =4)сеФ (х), о — а„+ 2(т„= 2)"аф' (х)+Чг (я)") (48,5) где положено " ="[-('"-'--')1 Очевидно, что (48.6) 7. (Р) = С (Р„) — 7. (Р,), М (Р) = М (Р,) — М (Р,). Сформулируем граничные условия для функции Р.
Прежде всего отметим, что на бесконечное~и Е(Ре)=д+р, М(Р,)=п — р, 7. (Р ) = ( —, + — „— ) Р' = 2А (1 + 21п — ), М(Р ) = 27е — = 2йе Следовательно, Е (Р) и М(Р) стремятся на бесконечности к выражениям Е (Р) = д+ р — 2в (1 + 2 1п — ), М (Р) = 7 — р — 27ее х". Ф (х) =Ф„'(а), Ч' (х) =Ч"„(х), Для упрощения письма ниже используются операторы Е и М, соответствующие выражениям (48.5), именно: д'Р д'Р 7-(Р) = — +— дхе ду' ' д'Р деР ., д'Р М(Р) = — — — — — 2Р— . дхе дуе 'дхду ' Для определения аналитических функций Ф, и Ч' нужно исполь- зовать граничные условия. В частности, на неизвестной границе С упругой и пластической зон напряжения должны быть непрерывными.
2. Решение Л. А. Галина (ет). Легко убедиться в том, что вы- писанная выше пластическая функция напряжений Р для осесиммет- ричного поля удовлетворяет бнгармоническому уравнению. Это свойство позволяет построить изящное замкнутое решение рассмат- риваемой задачи с помощью комплексного представления (48 4). Введем новую бигармоническую функцию Р= Р, — Р' . Здесь Рр задано формулой (48.3) и может быть (напомним, что х = ге'") пред- ставлено также в виде 208 [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
