1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 35
Текст из файла (страница 35)
ч ПЛОСКАЯ ДВФОРМАЦИЯ показанз на рис. 116 сплошной линией. При малых углах у предельный момент практически не зависит от 7; при этом предельная нагрузка будет такой же, как и для вырезов с круговым основанием при исчезающе малом радиусе закругления. 4. Двусторонние глубокие угловые вырезы, симметрично расиолоисеиные. Этот случай рассматривается подобным же образом. Зависимость предельного момента от угла надреза нанесена на рис. 116. Рнс. 117. Б. Опытные данные. При помощи специальной обработки (шлифовки, травления) деформированных стальных образцов пластические зоны становятся наблюдаемыми.
На рис. 117 приведены фото- графин, полученные Ханди на' для случаев 27= 60' и 27= 140'. Опытные данные хорошо подтверждают теоретические выводы о двух различных типах полей скольжения (последние показаны в левой части рис. 117). $ 43. Изгиб короткой консоли силой 1.
Постановка задачи. В $24 рассматривалась задача о пластическом изгибе балки парами. Однако, как и в случае упругого материала, полученные соотношения можно применять и при изгибе поперечными нагрузками, если балка достаточно длинная; тогда влияние касательных напряжений незначительно. 185 $ 43) изгив коготкой консоли силой Для коротких балок игнорирование касательных напряжений может привести к большой погрешности. Пусть консольная балка постоянного прямоугольного поперечного сечения изгибается силой Р (на единицу ширины), приложенной на конце (рис. 118); левый конец балки прочно заделан. Ширина Ь в горизонтальном направлении постоянна и значительно (по меньшей мере в шесть раз'дам) превышает Ъ высоту балки 2Ь. В этих условиях деформацию можно считать плоской. Как обычно, исходим из схемы жестко-пластического материала. дт 2.
Первый тип поля скольжения. В данной задаче возможно поле скольжения, показанное на рис. 119. Здесь в треугольниках АВС, А'В'С' напряжения опреде- Рнс. 118. лены свободными границами АВ, А'В', причем в д~ АВС вЂ” одноосное растяжение + 2Ь, а в г~ А'В'С'— сжатие — 2Ь. В гдАВС 0= — 4, а=Ь ьд= — +, Чд —" 1 и 1 и 2 4" д 2 4 К этому треугольнику примыкает центрированное поле АСд), в котором т) =-сопя( = т)д. Обозначим длину АО через Н (точка О лежит на оси балки), угол дуАС— А через в.
Очевидно, что ~»,', д д(соз ( — — в) =Ь. Ь/' Вдоль АО 8= — — — в, сле- 4 А' 8' довательно, среднее давление, равное на линии скольжения А).д нормальному напряжению, будет Рнс. 119. (так как т) = т)д) равно пд = =Ь (1+ 2в); касательное напряжение на Аду равно, очевидно, Ь. Вдоль А'О среднее давление и', = — Ь(1+2в). В точке О напряжения разрывны. Рассмотрим теперь равновесие части консоли справа от линии АдУА'. Условие равенства нулю суммы проекций сил на ось у приводит к уравнению /и соз ( — — в) — (1+ 2в) гйп ~ — — в) = — „, 1,4 ) 'д4 ) 2Ы' а определяющему угол е. Длина консоли 1 не может быть произвольной (гл. ч 186 плоская дзеоемьция и находится из условия равснства нулю суммы моментов относительно точки В; й(1+2в) г)з=-Р ~1 — Ыа(п ( — — в)~ Р 1 Эти уравнения устанзвливзют зависимость между — н —, 2йй 2й ' В предельном состоянии происходит вращение жесткой части консоли (справа от ВВВ') о~носительно точки В.
Поле скоростей в пластических зонах совместимо, как нетрудно видеть, со скоростями Я на границах. и 3. Второй тип поля скольжед с иия (рис. 120). Здесь в треуголь- ~~К,т ных областях АВС и А'В'С' также Ы соответственно будут растяжение и д е' сжатие. Прилегающие к этим облад~ стям центрированные поля АВС, Я' У А'В'С' соединяются изолированной круговой линией скольжения РВ' радиуса )с'. По этой дуге в предельРнс. 120. ном состоянии скользит правая часть консоли. Обозначим длину АВ через л', угол ВАС в через е, угол раствора дуги ВР' — через 26. В т~ АВС и = — й, 9 = — †, $, = — + 4 1 и т),= — — —, В секторе АСВ т).=т)ы и нетрудно видеть, что вдоль 1+2а, и АВ от=й(1 ',-2е), а ало.— — — '+ — Я-е, На А'В' соответственно имеем: о'„= — й(1 ,'-2е), яд д = — — +'— — з.
Из геометриче1+2а Зп 4 ских соображений ясно, что 6= — — е. Линия АВВ'А' — непрерыв- 4 ная а-линия скольжения, на ней $ = сопя(, следовательно, Цяо = 5я о, откуда 2е = — — — = 16'20', и 1 4 2 Тогда 26 = 73'40'. Длина 41 находится из геометрического соотнощения )с з1 и 6 + г) сов 6 =- й. Неизвестный радиус Й определяется из условия равенства нулю суммы проекций на вертикзль всех сил, действующих на часть балки справа от линии АВВ'А'. Вдоль дуги ',ВВ' касательное напряжение раВно й, а нормальное в вычисляется по условию 2 43) нагни «оеоткой консоли си~ой 187 В = сопя! =- ~ьлр, .так как $ == — — ()( — — ), то на сЮ' о .= 217, где 2Д 1 27' угол )( отсчитывается от горизонтали. Таким образом, а 6 М соя 6 — о!с! в!п 6+ !с(с ') соз у с()( — 2И7) )(з!и)( д(= —— Р 2 о или О,ОЗИ з- 0,4377 =— 2 Л Составляем, далее, уравнение моментов о~носительно точки 0 2 т + 2 где à — расстояние нагруженного торца от центра 0: ! = 7+!с соя б с( 51п б.
С увсличением силы (для все более коротких балок) радиус 77 возрастает, а области АВСТЗ быстро сокращаются; пластическая деформация при этом локализуется по существу вдоль изолированной круговой линии скольжения. Выписанные урзвнения устанзвлнвают зависимость Р между — и — . 2М 2Л' и 1 Для 2з ( - - — — справедли- 4 2 во только первое решение, для и ! 2в —.— — — второе решение при- 4 2 водит к меньшим, а потому и более приемлемым знзчениям предельной нагРУзки 2ла (ибо эти решения как кинематически возможные приводят к верхней Рнс.
121, границе для нагрузки). Первый 1 тип поля реализуется для длинных балок „- ) 13,73; при — =- 1 3,73 оба поля совпадают, так как 77 =- О. Наблютгения над деформированными балками (та) подтверждают наличие двух пшов полей скольжения. На рис. 12! показаны теоретическое поле и картина, полученная в опыте, при изгибе короткой консоли. [гл. у 188 ПЛОСКАЯ ДДФОРМАЦНЯ Элементарное решение, основанное на игнорировании касательных напряжений ($ 24), приводит к зависимости Р, й 2йй Т' Отношение предельных нагрузок — „в функции параметра по Р 2й казано на рис. 122. Нетрудно видеть, что в случае плоской дефор- мации при — = 1О прибли- Д 2й женная нагрузка Рз по элементарному расчету пример- 0 но на 5% ниже «точной» нагрузки Р .
И Дли коротких балок рас- 2 4 б Ю дг б/Л хождение увеличивается, ие лг превышая, однако, 13% при — „~ 1. С увеличением Рис. 122. длины Р„ — Р'. 4. Заключмтельные замечания. По такой же примерно схеме нетрудно рассмотреть изгиб клинообразной консоли и консоли, ограниченной дугамн окружностей. В последнем случае возможное поле скольжения (11 тип) показано в левой части рис. 123. Вследствие переменной высоты балки область Рис. 123. пластической деформации возникает на некотором расстоянии от заделки.
Экспериментальные наблюдения (см. фотографию в правой части рис. 123) хорошо подтверждают теоретические предсказания. Рассмотрен также изгиб консоли равномерно распределенной нагрузкой [гза), Заметим, наконец, что на картину пластической деформации сильно влияег способ осуществления заделки [таз[. Нижняя граница предельной нагрузка указана в работе ["'[. 189 й 44) СРЕЗ ПРЯМОУГОЛЪНОГО ПЕРЕШЕЙКА й 44. Срез прямоугольного перешейка Выше рассматривались пластические деформации в ослабленном сечении полосы при ее растяжении и изгибе, А.
П. Грин('ае] изучил цикл задач о прелельном состоянии ослаблений, работающих в условиях сдвига и давления. Задачи этого типа возникают, в частности, при анализе механизма сухого трения металлов, связанного с пластической деформацией различных неровностей поверхностей контакта. Остановимся на одной из этих задач, представляющей более широкий интерес. Рнс.
125. Рнс. 124. Пусть массивные части ! и !! соединены шейкой высотой л и длиной ! (рис. 124); верхняя часть ! движется влево со скоростью )г, нижняя П вЂ” вправо с той же скоростью. Необходимо найти предельную нагрузку и пластические зоны. На рис.
125 показана возможная конструкция поля скольжения, симметричного (по геометрическому построению) относительно осей х, у. В углах А, А', В, В' имеются пластические зоны, содержащие треугольники АС!), А'С'О' равномерного одноосного растяжения -)-2)е н треугольники ВЕГ, В'Е'Г' одноосного сжатия — 2)е, примыкающие к свободным границам АВ' и ВА'. К упомянутым треугольникам присоединены центрированные поли САЯ, ЕВТ,... с углом раствора у. Центральная зона ОКО'К" является областью равномерного сдвига с нулевым давлением о, она соединяется с пла- Ф стическими зонами в углах круговыми линиями скольжения 80, КТ, 8'О', К'Т' радиуса Я.
Обозначим длины отрезков АС и ОК' соответственно через а, )). Области ОСАДОК'Т'Е'Е' и КТЕЕ!У'С'В'О' остаются жесткими (т. е. не получают пластических деформаций). 190 (гл. ч ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ В нижней части рис. 125 лано в более крупном масштабе изобра- жение поля скольжения вблизи одного из углов. Б ,~~ АСА) 0 == —, и=-(е и $=сопз1= — — — =~т, Я 1 и в ~~,ВЕГ 3 1 Зп Π— — а, о —.— 14 и я=.сопя!.= — — — — = — 3. 4 2 4 и 3 Вдоль АЯ 0=.—, :у, вдоль ТВ 0= — и — у. Очевидно что в каж- 4 4 дой из областей ЛЯСА), ВТЕГ параметр й постоинен и соответственно равен ~ы зз, из этих условий находим среднее давление на сторонах АВ и ТВ: от=в(1+2у), о.= — )з(1+27). Теперь вычисляем знзчения параметра Ч на сторонах АЯ, ТВ: 1 и 1 3 Ч, = 3 + 4 + 2 т', Ч, = — — + 4 и — 2"т'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
