1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В пользу этого предположения можно привести опытные данные, хорошо подтверждающие решения по схеме жестко- пластического тела. Известное значение имеет также установленное ранее (ф 15) асимптотическое стремление напряжений (с развитием деформации в определенном направлении) к значениям, не зависящим от пути деформирования.
Приближение к предельному состоянию Ю 411 РАСТЯЖЕНИЕ ПОЛОСЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ВЫРЕЗАМИ 1тз тела сопровождается, как правило, быстрым развитием деформаций в направлении действия заданных внешних нагрузок; можно полагать, что при этом устанавливается напряженное состояние, практически не зависящее от пути нагружения. Полная оценка сделанного предположения требует дальнейших исследований. й 41. Растяжение полосы, ослабленной вырезами Рассмотрим задачу о растяжении полосы, ослабленной снмметричнымн глубокими вырезами различной формы.
Предполагается, что полоса достаточно длинная, так что характер закрепления копцов не влияет на пластическое течение в ослабленном сечении. Очертания сторон полосы, как будет видно из Р дальнейшего, не имеют значения при глубокях вырезах. 1. Полоса с идеальными и (бесконенно тонкими) разрезами. Растяжение полосы Р с идеальными разрезами Б' (рис. 105) является простейшей задачей рассматриваемого типа. В предельном Ю .и состоянии полоса растяги- ! вается в направлении у со л 4 1 скоростью У по обе стороны от среднего сечения.
Поле скольжения, показанное на рис. 105, состоит из четырех эквивалентных областей. Вдоль свободной от Р напряжений границы разреза ОА в,/~ ОАВ имеем про- Рнс. 105. стое равномерное сжатие или растяжение ~- 2л; примем, что в ~ ОА †растяжен (относительно другой возможности выбора см. ниже). К области ОАВ присоединяются центрированное поле ОВС и далее †треугольн же область равномерного напряженного состояния ОСО. Границей пластической области является р-линия ОСВА; во всей области параметр и 1 и ".,=Сопз1. Но в,/~ОАВ п=й, 0= — — и т(= — —; в ЛООС 4 2 4 ' 3 и 3 а неизвестно, 0 = — — тс и т( = — — — ий сравнивая значения т(, 2Б 4 174 (гл.
ч ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ находим среднее давление в 7~ ООС а =- Й(1 (-л). Согласно основным формулам (32.1) компоненты напря~кеиия Я,Л, ООС будут а„= йл, а .=. й (2+ л), следовательно, предельная нагрузка Р, л ро 2 (41.1) где Р„'=4йй — предельное растягивающее усилие для гладкой полосы шириной 2Й. Обра~имся теперь к определению скозостей. По симметрии скорость, нормальная к ОО, равна нулю; на границе СО нормальная сос~авляющая скорости непрерывна, позтоиу вдоль СО она постоянна и равна = И. Так как в сх ООС и=и((1), о=а(а) (см. 2 38), 1 Р' 2 1 то и = — — = )г.
Проектируя на вертикальную ось скорость частиц )Г 2 на ОО, имеем = ( ==О, следовательно, а=сопя!= — И. )/2 уг2 ' ' )Г2 Итак, 7'~ ООС при достижении предельной нагрузки начинае~ двигаться со скоростью )г в направлении ОО как твердое тело. В области ОВС и постоянно вдоль каждой из прямых сс-линий; так как нормальная составляющая скорости на границе ВС непрерывна, то па ВС и всюду в рассматриваемой области и =- 'Р' з(п О, Интегрируя теперь соотношение (38.5) с(а + 'Р'яп 0 с(0 =- О вдоль 3 ))-линий, получаем а = Ь' соз 0+ сопя(, но вдоль ОС 0 =- — — л, 1 1 о== (г, поэтому а=-)Г(соз О+)~ 2).
Наконец, ЛтОАВ движется )Г2 как твердое тело со скоростями а„ вЂ . )l, а = 2Г Касательная составляющая скорости вдоль линии АВСО претерпевает разрыв. Для полос с неглубокими разрезами рассмотренное построение не может быть реализовано. 7!егко видеть, что нагрузка Р„' =- 4ЙЙ является нижней границей. Дейс~вительно, полагая, что в средней части полосы шириной 2Й имеется одноосное растяжение (а„ = тк = О, а = 2й), а в боковых зонах ~х( ) Й напряжения равны нулю, получаем статически возможное пластическое поле напряжений; ему отвечает нагрузка Р„'.
В заключение заме~им, что выбор решения — 2й в области ОАВ соответствует, как легко теперь убедиться, сжатию полосы с разрезами. 2. Полоса с угловыми вырезами (рнс. 106). В етом случае решение строится аналогично решению только что рассмотренной задачи. Не останавливаясь на легко выполнимых вычислениях, 5 41] глстяжение полосы, ославленной выгвзлми приводим значение предельной нагрузки — '- = 1 + — — у. Р, и (41.2) 3.
Полоса с вырезами с круглым основанием (рис. 107), Здесь построение поля скольжения зависит от отношения длины пере- И шейка 2л к радиусу закругления а. При — 3,81 поле скольжения Рис. !Оа. Ряс. 107.) примыкает лишь к круглому основанию и полностью определяется формой последнего; это поле образовано логарифмическими спиралями'(8 36). Угол у связан с расстоянием и соотношением у =1и (1 -'г —,), Распределение напряжения о по сечению АВ дано формулой а,, = 27г (1+1п — ), (41.3) где г †расстоян, отсчитываемое от пентра О. Предельная нагрузка определяется формулой (41.
4) (гл, ч 176 плоская двеогмлция ж л Так как Т( —, то это решение пригодно лишь при — (е' — 1= "2' 2 = 3,81. Поле скоростей определяется из решения характеристической задачи для области СС'В по известным нормальным составляющим скорости, непрерывным при переходе через ВС. л Для ббльших значений — построение несколько сложнее. Здесь а и логарифмическое поле ограничено значением Т = †; при этом отре- 2' зок АВ (рис.
108) равен 3,81а. Справа от этой области в треугольник равномерного напряженного состояния ВОЕ; к нему примыкает четырехугольник ВЕТС. В последнем т) = сопя! и и-линии скольжения — равные отрезки прямых, перпендикулярных к ВС, ()-линии параллельны ВС. Эта область соединяется вдоль ЕС с треугольником равномерного напряженного состояния Сг''О, равРис.
108. ным,Г~ ВОЕ. Вдоль АВ распре- деление напряжений дано формулой (41.3)." В ,~~ ВОЕ имеем и = 2й ! 1 -)- — ! . Нетрудно теперь най- 2!' ти предельную нагрузку: (41.5) — «= 1+ — — — ( е« вЂ” 1 — — ] + Распределение скоростей следующее. Как и прежде, находим, что ~ ВОЕ движется как твердое тело вправо со скоростью У. Тогда скорости и, и постоянны вдоль ВЕ, следовательно, и, и постоянны вдоль каждой а-линии в четырехугольнике ВЕСЕ и совместимы с движением г~ ГСс! как твердого тела; вычисления вполне аналогичны тем, которые выполнены в разделе 1. 4. Другие формы вырезов.
Нетрудно рассмотреть таким же образом и некоторые другие формы ослаблений (угловой вырез с круглым основанием, прямоугольный вырез, угловой вырез с тупым основанием и т. д.). Численным построением полей скольжения можно изучить распределение напряжений при ослаблениях более сложной формы. Для неглубоких вырезов изложенные решения неприменимы, Нижняя граница для ширины полосы определяется возможностью построения поля скольжения (например, расстоянием АО, рис. 108). $ 42) ИЗГИБ ПОЛОСЫ, ОСЛАВЛЕННОЙ ВЫРЕЗАМИ 177 Однако, по-видимому, ширина полосы должна быть заметно больше, Решения упруго-пластических задач методами численного интегрирования и экспериментальные наблюдения показывают, что при неглубоких вырезах пластические зоны с увеличением нагрузки прорываются к оси полосы не по ослабленному сечению, а выше и ниже его. На рис. 109 показана штриховкой пластическая область в растягиваемой полосе, ослабленной неглубокими полу- В круглыми вырезами.
Сначала образуются и растут с увеличением силы об- Ф А ласти А; при нагрузке, близкой к предельной, на оси полосы возникает Рис. 1ОО. новая пластическая область В, которая очень быстро увеличивается и сливается с областями А при достижении предельного состояния, показанного на рис. 109. 9 42. Иагиб полосы, ослабленной вырезами Рассмотрим, следуя Грину 1™1, задачу о чистом изгибе полосы (рис. 1 10), ослабленной вырезами различной формы. При построении излагаемых ниже решений принимается, что пластическая область захватывает наиболее ослаб- М ленное сечение. Это справедливо при достаточно глубоких вырезах; при неглубоких вырезах пластические области с Возрастанием нагрузки могут прорваться к оси полосы не в наиболее ослабленном сечеРяс. 11О. нии, как представляется на первый взгляд, а несколько и стороне от этого сечения.
О такой возможности свидетельствуют экспериментальные данные и некоторые решения упруго-пластических задач, найденные численными методами. 1. Односторонний глубокий вырез с круговым основанием. Характер выреза показан на рис. 111; способ продолжения круговой дуги (т. е. очертание отрезка ОВ), как мы увидим ниже, не имеет значения. Вдоль нижней грани, свободной от напряжений, в ~~, ААС реализуется равномерное напряженное состояние, именно напряжение сжатия — 2Й, параллельное основанию. Круговая дуга ВВ (радиус и) также свободна от напряжений, следовательно, краевые условия не зависат от полярного угла и вблизи дуги будет осесимметричное (гл.
ч ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ 178 поле скольжения (2 36), причем г 1 и =а2й11+1п — ), а)' и =2и1п —, г Г а (42.1) где г — радиус-вектор, исходящий из центра 0; знак выбран так, чтобы а было растягивающим. Рис. 111. В предельном состоянии области ААС и ВВС соединиютси в точке С, положение которой определяетси условием равенства нулю главного вектора напряжений по сечению 00': а+А ~ и дг=О, а (42.
2) Внося сюда напряжение !' 2а (1+!и — ) — 27Е при а(г(а+А„ при а(-а, (г~(а+А, получаем уравнение р, (1+!пр )=р, где М = — )О,Мг, а (42.3) находим: —;, =- — 1(р + рг)е+ (1 — 2р)е — 7рв+ 8рг1 (р — 1)е р,=-1+ — ', р =!+ —. а а Распределение наприжений в сечении 00' показано на рис. 1!1; в точке С напряжение и, разрывно. Вычисляя предельный момент М„ (на единицу ширины полосы) по условию равновесия а+а з 42) изгиВ полосы, Ославленной ВыгезАмн 179 где Мь=- — — предельный изгибающий момент для гладкой полосы И11 высотой /г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
