1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 29
Текст из файла (страница 29)
У прямолинейной границы теперь будет равномерное напряженное состояние (при прежнем выборе системы осей): о = — р, о„=+-2я — р, т„=О. 7 У круговой границы будет осесимметричное поле напряжений, определяемое формулами (34.2). На это поле не влияют начальные Действительно, так как касательное напряжение т„ на границе равно нулю, то направление нормали к контуру является одним из главных направлений и линии скольжения подходят к контуру под углом 45'. Следовательно, контур нигде не совпадает с характеристическим направлением, и мы имеем задачу Коши, решение которой единственно. В частности, у прямолинейной свободной границы всегда будет поле равномерного одноосного растяжения или сжатия величиной 2й, параллельного линии границы (рис.
85, а). Например, если ось м параллельна границе АВ, то в области АВР о, = -ь 2я, о = т„ = О. 6 36) ОСНОВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ данные вне дуги АВ. Точно так же это решение ие зависит от формы границы вне круговой дуги АВ. Например, если граница состоит из круговой дуги АВ и прямолинейного отрезка ВС (рис, 86), то поле скольжения вблизи АВ будет образовано логарифмическими спиралями, а вблизи ВС будет прямоугольная сетка. А Рнс.
86. Рис. 87. 2. Начальная характеристическая задача (задача Римана). Пусть известны значения функций и, 0 иа отрезках линий скольжения ОА, ОВ (рис. 87). Так как а, 0 удовлетворяют на ОА, ОВ дифференциальным уравнениям равновесия элемента скольжения (31.4), то эти значения не могут быть вполне произвольсг ными; они связаны соотношениями: — — О=сонэ(=$ вдоль ОА, (36.2) 2А 2х — +О=сонэ(- т) вдоль ОВ.
(36.3) Тогда решение определено в четырехугольнике ОАСВ. Заметим„что функции и, 0 на отрезках ОА, ОВ обычно ста- д новятся известными из построении решеРяс. 88. ний в соседних областях, а потому приведенные соотношения заведомо выполняются. Так, в примере, показанном на рис. 86, в области ВОЕГ решается начальная характеристическая задача. При этом значения О, 9 на характеристиках ВО, ВЕ известны из решения задач Коши соответственно для областей ВСО и АВР'.
Важное значение имеет вырождеккый случай начальной характеристической'задачи, когда отрезок линии скольжения ОВ (или ОА) стягивается в точку О, причем радиус его кривизны неограниченно уменьшается, изменение же угла 0 остается постоянным (рис. 88). В точке О сходятся все сс-линии скольжения и напряжения разрывны. 156 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ (гл. ч Решение определено в треугольнике ОАС при задании угла раствора в узле О и значений и, 0 на дуге ОА. 3. Смешанная задача. На отрезке линии скольжения ОА (рис.
89) 8 известны функции а, 9, удовлетворяющие условию равновесия (36,2). К отрезку ОА примыкает нехарактеристическая кривая ОВ, вдоль которой задан угол 9. Подобная задача возникает, например, если О — свободная от трения гра- А ница среды; тогда липин скольжения подходят под углом -- к кривой ОВ, следовательно, 4 0 известно. Предполагается, что угол АОВ— острый (т. е. лежит внутри характеристического угла). Рис. 89. Решение смешанной задачи определено в треугольнике ОАВ.
Само построение раалично в зависимости от величины угла О, определенного на кривой ОВ в точке О. Если этот угол равен углу 9 на ОА в точке О, то поле линий скольжения имеет вид, показанный на рис. 89. В частности, если О — 6 З свободно от трения, то угол между кривыми ОА, ОВ в вершине О должен равниться —. 4 ' А' Если же а линия, исходящая из точки О, при приближении к ней вдоль ОВ, лежит внутри области ВОА (рис.
90), то последняя А разбивается на две части: ВОА' и А'ОА. Первая из них будет находиться в условиях предыдущего случая, если удастся найти значения и, 0"на линии скольжения ОА'. Но эти Р значения можно определить, решая для обла- Рис. 90. сти АОА' начальную характеристическую задачу (в вырожденном случае), поскольку угол раствора пучка характеристик АОА' известен. 9 37.
Численные методы решения Решение рассмотренных выше краевых задач может быть достигнуто различными способами. В частности, для линеаризованных уравнений (33.2) решения задач Коши и начальной характеристической могу~ быть представлены в замкнутом виде посредством функции Римана ("(. Использование этих решений связано с большим объемом вычислений.
С помощью аппарата так называемых метацилиндрическнх функций, рассмотренного Л. С. Агамирзяном (аа]> можно построить аналитическое решение различных краевых задач> встреча>ощихся в пло- 157. й 37) численные методы Решения ской задаче теории пластичности. При наличии таблиц указанных функций объем вычислений значительно сокращается. Однако более простыми являются приближенные методы построения полей скольжения, основанные на переходе к конечно-разностным соотношениям и использовании тех или иных свойств линий скольжения (заметим, что в общей форме этот метод развил Массо (1899 г.), см. [4Я)).
Различные варианты таких построений изложены в работах В. В. Соколовского [44), Хилла [44~, Прагера и Ходжа [14] и дру- р 3 гих авторов. ! Ниже дано описание некоторых 41ЕУ! приемов численного решения ос- -- †Ф--- новных краевых задач. р)л 1 1. Начальная характеристическая задача. Отрезки линий „470 а скольжения ОА, ОВ (рис. 91) де- й6 й(7; щаУ лим на малые части точками йй (1,0),(2,0), ...,(т,О), (О, 1), (О, 2), ..., (О, л), Рнс. 91.
Пересечения линий скольжения, проходящих через эти точки, условимся называть узлами сетки и обозначать через (т, и). Функции и, О на сторонах ОА, ОВ известны; по первой теореме Генки находим значения этих функций в узле (т, и): (37.1) (37.2) Координаты узловых точек вычисляются шаг за шагом. Пусть известны координаты узлов (т — 1, л), (т, и — 1) и угол О в них. Положение точки (т, л) определяется пересечением малых дуг; заменим последние хордами, наклон которых равен среднему значению наклонов в исходной и конечной точках 4), Дифференциальные уравнения линий скольжения Не «у — — 1ИО, — = — с1КО Нх' ' Нх заменим разностными у у - (х " х — ") 1И 2 (Ож' "+0~ 4, „), (37.3) 1 у „— у „= (х, «хж «-х) с18 2 (0«4 «+0«4, «- ) (37А) и определим из них х „, уы „.
Начинать нужно всегда с точки (1.1), 4) Часто наклон хорды принимают равным наклону в Исходной точке; это приводит к яесколько худшим результатам. 158 (гл. у ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ Для вычисления х „, у, „ можно получить из последних соотношений простые формулы. Результатй вычисленнй удобно вписывать в таблицу (рис. 92). Здесь в клетки заштрихованных полос вносятся известные значения х, у; о, О в выбранных точках линий скольжения ОА, ОВ. Затем последоватеаьио вычисляются значения к, у; о, О в узлах и вносятся в соответствующие клетки таблицы. Нанесем, далее, иа чер- теж найденные координаты узлов х„„„; ум.
л. Соединяя одной линией точкй, соответствующие одной строке таблицы, получим а-линию; точки, соответствующие столбцу, принадлежат ()-линии. В вырожденном случае известны о, 0 на отрезке ОА (рис. 93) и изменение угла 0 в вершине О (т. е..ГАОС). Делим этот угол на некоторое число малых частей сечениями 0 , Ое „ ..., 0 при этом Ое,„ будет углом между линиями скольжения Оп и ОА в вершине О. Значение 0 „ в узле (и, п) нзходим по формуле(37.1). Давление о в точке О разрывно и его нельзя непосредственно вычислять согласно Рис.
9 (37.2). Определим сначала о „в точках (1, и); для точки (1, О) значения о, е, О, е заданы, следооц о вательно, известен параметр Ч = — '+О, е, постояинь|й вдоль 2й Рис. 94. Рис. 93. Р-линии, проходящей через (1, О); тогда о, „=2й(т),— О, „). В дальнейшем можно использовать (37.2), замейяя ое е значениями о, „. Координаты узловых точек вычисляются по прежним формулам. 2.
Задача Коши. Разделим дугу АВ на малые части точками (О, О), (1, 1), ..., (т, тп), ... Значения о, 0 в узлах, ближайших к дуге (рис. 94), находим по условиям постоянства параметров $, т) на 159 9 37) численные методы Решения линиях а, а п,-(-2й0 „,.=и „„,-)-2йО„„,„,, Координаты узлов определяются по прежним формулам. В дальнейшем сетка скольжения вычисляется по схеме для начальной характеристической задачи. Результаты вычислений вписываются в клетки квадратной таблицы (рис. 95). Известные значения х, у; и, 9 на дуге АВ вносятся в заштрихованные клетки главной диагонали.
Найденные значения х, у; и, 6 для узлов сетки заполняют таблицу пп одну сторону диагонали. 3. Смешанная задача. Рассмотрим общий случай смешанной задачи, показанный на рис. 90. В области ОАА' решение строится, как в вырожденном случае начальной характеристи- Рнс. 95. ческой задачи. Далее, переходим к области ОА'В. Разделим ОА' на малые части точками (1, О), (2, О),... рис. 96). На ОА' известны значения о, О. Начинаем построение с точки (1, О), проводя из нее прямую в направлении Р-линии (т. е.
по нормали к а-линии); найдем на ОВ Ю точку Р'; значение 0 в Р' задано по условию на ОВ (9 36). Вычисляем среднее значение угла 0 по точкам ьйр (1, О), Р' и по нему вновь проводим прямую из точки (1, О); найдем на ОВ точку Р" и т, д., пока разность гуФ- между последовательными положе- н~у Я~у А' сг пнями точек Р не станет малой. У Это определит точку (1, 1). Точки т (2, 1), (3, 1), ... вычисляются, как в начальной характеристической заРнс. 96.) даче. Для определения же точки (2, 2) необходимо вновь воспользоваться только что изложенным приемом последовательного приближения и т. д. йа 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
