1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Очевидно, что линии скольжения АА' и ВВ' имеют одну и ту же зволюту Э. Как известно, Рис. 69. исходная кривая может быть построена путем разматывания нити с эволюты. Но тогда при вычерчивании кривой ВВ' нить будет короче на отрезок АВ, чем при вычерчивании кривой АА'. 7) Будем передвигаться вдоль некоторой линии скольжения; тогда радиусы кривизны линий скольжения другого семейства в точкак пересечения изменяются на пройденные расстояния (вторая теорема Генки). Радиусы кривизны П„ П линий ы, Р определяются соотношениями [гл. т 142 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ Вычислим производную от Лв, вдоль линии )): (й„— аеа) аΠ— н„аО (77„ЛЕ") - " „" = — Ла", угол ЛО" между двумя линиями (1 постоянен, сле- д да~ По доказанному довательно, (32.9) деа = ' де„ = Второе соотношение выводится подобно первому.
Точки пересечения О', О" нормалей О'А, О'А' и О"А, О"А' являются центрами кривизны соответственно линий р, сс в точке А. 10 „)1 вд" ьа Рис. 70. Рис. 71. Радиус кривизны АР ()-линии в точке 'А равен сумме радиуса кривизны ВО ))-линии в точке В и длины дуги АВ (рис. 71). Теорема Генки может быть представлена также и в другой форме (Прандтль): центры кривизны р-линий в точках пересечения с линией сс образуют эвольвенту РО линии сс. 8) Теорема Генки показывает, что радиус кривизны линий скольжения р при движении в сторону их вогнутости уменьшается.
Если пластическое состояние простирается достаточно далеко, то радиус кривизны линий )) должен обратиться в нуль, что отвечает пересечению эвольвенты ОР с линией скольжения АО. При этом линия семейства р имеет в точке О острие. Кроме того, из построения (рис. 71) ясно, что в точке О бесконечно близкие линии скольжения АО, А'О сходятся. Точка О принадлежит огибающей линий скольжения семейства и.
Таким образом, огибающая линий скольжения одного семейства есть геометрическое место точек возврата линий скольжения второго семейства. $32) линии скольжения, нх свойствл 143 Имея в О точку возврата, линии скольжения р не могут пересечь огибающую. Другими словами, огибающая является границей аналитического решения. Пусть А — огибающая а-линяй.
Проведем в некоторой ее точке Р локальную систему координат з„з (рнс. 72). Из соотношений (32.8) вытекает, что в точке Р производная дй дд Р— ограничена, а — обращается в дз„ дза бесконечность, так как для линий () на огибающей радиус кривизны )с =О. Но тогда нз днфференцнальнйх уравнениЯ равновесня (32.4) А до заключаем, что — ограничена а дз до р — со. Итак, вдоль огибающей дзр нормальная производная среднего Юа давления о обращается в бесконеч- В ность. 9) Если производные компонент Рис.
72. напряжения испытывают разрывы при переходе через линию скольжения (например, через некоторую линию ))), то кривизна линий скольжения второго семейства (а) разрывна вдоль линии р. В локальной системе з„ з нормальные напряжения равны среднему давлению о (рнс. 65), а касательные напряжения постоянны. до до Производная — непрерывна, производная же — по условию раз- де~ дзд рывна вдоль р-линни. д На сс-аннин имеем — (о — 2нО) =О, следовательно, прн переходе дз„ через линию )) разрывна производная дй ! дз, й„' т. е.
кривизна также изменяется скачком. Таким образом, ортогональная сетка линий скольжения может быть скомпонована нз кусков различных аналитических кривых; в местах склейки касательная непрерывно поворачивается, кривизна же испытывает, вообще говоря, разрывы. В заключение заметим, что поля скольжения обладают рядом других интересных свойств (см., напрнмер, [ы ы1), на которых мы не останавливаемся, так как обычно они не используются в решениях задач теории пластичности. 144 [гл.
ч ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ й 33. Лииеяризиция. Простые напряженные состояния 1. Линеярниация. Исходная система дифференциальных уравнений (32.2) может быть, следуя М. Леви, линеаризована. Прежде всего отметим, что за неизвестные функции удобно взять параметры $, т). Внося в (32.2) умножая затем второе нз полученных уравнений последовательно на (39,— с(39 и складывая с первым, получаем после упрощения д$ д$ дЧ дэ) дх ду ' дх ду — + — 139=0, — — — с(39=0. (33.1) Это — однородные нелинейные уравнения, коэффициенты которых явля- ются функциями только $, т).
Такая система является приводимой, так как путем перемены ролей зависимых н независимых переменных приводится к линейной системе г). В самом деле, пусть (й, ч), у =у (й, ч), причем в рассматриваемой области якобиан преобразования отличен от нуля: Л($, т)) = — ' = — — — — — МО. 12(3, т() д3 дч %дг( О (х, у) дхду дудх Внося значения частных производных д$ ду д3 дх дт( ду дт) дх — =Л--, — = — Л вЂ”, —.— — — Л вЂ”, — =Л— дх дэ)' ду дт(' дх д3 ' ду д$ в дифференциальные уравнения (32.1) и сокращая на множитель ЛФО, находим: — + — с(3 9 =- О, — — — 13 9 = 0 (33.2) С помощью цолстановхн, предложенной С. Г.
Михлнным, х=х соя 8 — у ып 8, где х, у †нов переменные, система пений с лостояннымя коэффициентами ду х — — — =О, дэ) 2 у = х 51п 8+ у со5 8, (33.2) преобразуется в систему урав- дх у — — — =О. д3 2 (33.3) г) См. Добавление. Это — линейная система с переменными коэффициентами; она называется канонической, так как в каждом из уравнений участвуют производные лишь по одной из переменных.
0 33) линяагизация. пгостыа нлпгяжанныя состояния 145 Легко видеть, что каждая новая переменная (х н у) удовлетворяет телеграфному уравнению, например двх дед«1 4 — — — х=-о. Рис. 73. Рассмотрим их, следуя работе С. А. Христиановича(твт~. С помощью уравнений (ЗЗ.!) получаем, что условие А($,т))=0 может быть записано в виде 2 д$ дЧ 2 д~дн А (ь, т)) = — -- — = — —— гдп20 дхдх ил 20 дуду Отсюда вытекают три случая, для которых решения уравнений (32.1) обращают якобиан А Я, т)) в нуль в некоторой области: 1) $=сопя1=$в, т)=сопя(=-т); 2) т) — = сопя(= т)в; 3) $= — сопя(= — $ . Первый случай относится к равномерному напряженному состоянию в некоторой области.
Линиями скольжения здесь будут два ортогональных семейства параллельных прямых (рис, 73, а). Во втором случае одно из уравнений (33.1) удовлетворено. Так как $ = — 20 + т)в, то другое уравнение переписывается в форме д0 дΠ†. я 0+ — я(п а = О. дх ' ду (33.4) 2. Интегралы плоской задачи. Полученная система (33.2) не эквивалентна, вообще говоря, исходным уравнениям (32.2), так как) при обращении теряются решения, для которых якобиан А ($, т)) тож-, дественно равен нулю.
Однако эти решения («интегралы плоской задачи»), часто встречающиеся в приложениях и обнаруженные ранее (0 32) другим путем, легко определяются непосредственно. 146 плоская дваогмлция [гл. ч Это — квазилинейное дифференциальное уравнение; его интегральная поверхность составляется из характеристик. Уравнения последних имеют вид: йя Ну с~в со»8 8!ПО О ' Решения этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений очевидны; О = сопя1 = С„у — х 1к О = сопя( = С», Таким образом, одно семейство линий скольжения является семейством прямых линий, зависящих от двух параметров Сы С .
Так как и= 27г(т)р — О), то вдоль каждой такой прямой напряжения постоянны а/ Рнс. 74. (но меняются от одной прямой к другой), т. е. имеет место простое напряженное состояние ($ 32). Общее решение уравнения (33.4) можно представить в форме у — х 1п О = Ф (О), где Ф (О) †произвольн функция. Второе семейство линий скольжения строится по обычным методам как семейство ортогональных кривых (рис. 73, б); дифференциальное уравнение этого семейства интегрируется в замкнутой форме[тат[. Третий случай интегрируемости подобен второму и рассмотрение его связано с повторением предыдущих выкладок.
3. Отображение. Решение $=$(х,у), т)=т)(х,у) можно интерпретировать как отображение с<физической» плоскости х, у на плоскость параметров $, т). При этом область в плоскости х, у, в которой якобиан преобразования отличен от нуля, отображается также на некоторую область (вообще говоря, многолистную, см. 1»»1) в плоскости $, т). Иное отображение производят интегралы плоской задачи. Так, в пеРвом слУчае Я $е, т)=т)е (РаеномеРное налРЯженное состоЯние) некоторая область 1л в плоскости х, у отображается в точку на плоскости $, ~) (рнс.
74,са). Й ЗЗ) линеАРизАцня. пРОстые нАпРяженные сОстОяния 147 Во втором случае т) = т)ь (простое напряженное состояние) область О отображается на отрезок прямой т) = т)ь (рис. 74,б). Аналогичный характер (рис. 74, в) носит отображение и в третьем случае $=$ь (простое напряженное состояние). 4. Простые напряженные состояния. Рассмотрим несколько подробнее решении, относящиеся к простым напряженным состояниям. Частным случаем этих решений является равномерное напряженное состояние; в таких областях сетка линий скольжения образуется двумя ортогональными семействами параллельных прямых (рис. 73,а), а параметры $, т) постоянны ($ = $ь,т) = т)ь,рис. 74,а).
В общем случае простого напряженного состояния одно семейство линий скольжения (например, а) состоит из прямых линий; ортогональные к последним кривые образуют второе семейство Р (рис. 73, б). При этом параметр )3 постоянен (рис. 74, б); аналогичная картина будет, если семейство р — се- Рнс. 75. мейство прямых линий (рис. 74, в). Для простого напряженного состоянии прямые линии скольжения (например, линии (), рис. 75) являются касательными к огибающей семейства (см. 3 32, рис, 69); эта огибающая называется предельной кривой, В рассматриваемом случае семейст ство сс образовано эквидистантными линиями, являющимися эвольвентами по отношению к предельной кривой. Важным случаем простого напряженного состояния является центрированное поле линий скольжения, образованное пучком прямых и концентрическими окружностями (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
