1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 26
Текст из файла (страница 26)
При этом приходится в той или иной мере задавать контуры пластической зоны и дополнять граничные условия для напряжения. Подобные приемы, несмотря на нх очевидную ограниченность, позволили найти много важных решений. В связи с этим, в частности, имеет большое значение анализ системы урзвненнй (31.8), (31.9) для напряжений. Обратимся к подробному изучению свойств решений этой системы уравнений. Более сложный метод совместного решения уравнений для напряжений и скоростей будет рассмотрен позднее (8 51). й 32.
Линии скольжения, нх свойства 1. Характеристические линии. Итак, рассмотрим уравнения в напряжениях (31.8), (31.9). Возьмем известные формулы теории напряжений: — — соз 2 (1, «), о,+о, о,— о, тху = 2 ' з(п 2 (1, х), 13У линии скольжении, их свойства е 32) заменим в них полусумму главных напряжений через о, полуразность — через а (согласно условию текучести) и перейдем к углу 0=(1, х) — —. Тогда будет и 4 ' о„=о — й з1п 2Е, о =о+аз)п20, т„= и соз 20. (32. 1) Очевидно, что при этом условие текучести (31.8) удовлетворяется. Внося эти значения в уравнения равновесия, получаем систему двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно неизвестных функций о(х, у), 0(х, у): дх ~ дх — — 2а~соз20 — +з1п26 — ) =О, ду) до У .
де д61 ду ~ дх ду1 — — 2А (з!п26 — — соя 20 — ) =О. (32. 2) х=х(з), у=у(з) известны значения искомых функций е=е(), Рис. 66. Будем разыскивать решение о(х, у), 6 (х, у), принимающее вдоль линии Л заданное значение о(з), 0(з). Задача построения такого решения называется задачей Коши.
На геометрическом языке эта задача состоит в проведении интегральной поверхности через заданную кривую. Если т.— характеристическая линия, решение задачи Коши невозможно, ибо тогда невозможно вдоль 1. однозначно определить из Методы построения и свойства решения полученной системы дифференциальных уравнений прежде всего определяются ее типом (см. Добавление). Покажем, что эта система гиперболического типа. Для установления гиперболичности системы нужно показать, что существуют два различных вещественных семейства характеристических линий. Это можно сделать различными способами. Применение обычного «детерминантного» вывода (см. Добавление) связано с большими вычислениями и недостаточно наглядно.
Воспользуемся поэтому следующим, более простым приемом. Пусть вдоль некоторой линии Ь в плоскости х, у (рис. 66) 138 (гл. ч плоская дввогмлция дифференцииленых уравнений первые производные от решения (на геометрическом языке — тогда невозможно однозначно определить вдоль | касательную плоскость к интегральной поверхности). На линии Т. известны а и О.
Значит, если оии дифференцируемые, то известдо дО ны и производные — —, —. При этом е, и э, отсчитываются 1' 1 в локальной системе координат, образованной касательной и нормалью к Е в некоторой точке Р (рис. 66), Заметим, что уравнения равновесия и условие пластичности не изменяются при переходе от системы координат х, у к системе эм г . Дифференциальные уравнения (32.2) также сохраняют прежний вид: — — 2й ( соз 20 — + з!и 20 — ) = О, до / дВ , .
дО 1 дэт (, дэт ' дэт ) — — 2/г ~з!п20 — — соз20 — ) =О, до l . дВ дОт дэ ( дэт дэ ) (32. 3) причем угол 6, определяющий направление площадки скольжения в и точке Р, здесь отсчитывается от оси э,. Если 6 отлично от О,— 2 д — (а — 2йо) = О, дэ, — (и+ 2й0) = О, дэа д д где †, †производн вдоль линий сс, р.
дэ„ ' дэв Эти уравнения имеют простой механический смысл; они являются дифференциальными уравнениями равновесия бесконечно малого элемента пластической среды, образованного сеткой линий скольжения (элемента скольжения„ рнс. 65), которая является как бы естественной координатной сеткой данной задачи. до дО то, зная на Е производные — , — , можно найти из (32.3) произдэт' дэ,' да дО водные —, — и решить задачу Коши. дэт ' дэ, Л Если же Е совпадает с линией скольжения, то 9 = О, —, и упомянутые производные нельзя определить из дифференциальных уравнений (32.3).
В атом случае линия Е будет характеристической линией. ч Таким образом, характеристические линии совпадают с линиями ( скольжения; очевидно, что существуют два различных вещественных семейства характеристических линий, следовательно, исходная система — гиперболического типа. Если координатные оси э„ э, совпадают с направлениями касательных к линиям скольжения, то дифференциальные уравнения (32.3) принимают простую форму $32) линии скОльжения, их сВОйстВА 139 Так как Р— прокзвольная точка на линии скольжения, то вдоль линий скольжения семейств сс, 'р имеем соответственно йу йх — = 1я 9, йу — = — с(й О, (32.5) — +О=со 1=Ч.
2я — — 0 = сопз1 =— $, а 2я Эти соотношения для плоской задачи теории пластичности впервые были выведены Г. Генки (1923 г.). Для сыпучей среды несколько более общие соотношения были получены ранее (1993 г.) Каттером. При переходе от одной линии скольжения семейства сг к другой параметр $, вообще говоря, изменяется. Точно так же при переходе от одной линии семейства () к другой изменяется параметр Ч.
Таким образом, $ зависит только от параметра р, а Ч вЂ” только от ьх, т. е. $ .= $ (Р), т) = т) (а). — — 0=$, 2я а 2я — + О =- т) (32. 6) вытекает, что а =- 7г (в+ Ч), О = — (Ч вЂ” ь). 1 (32.7) Возьмем две какие-либо линии скольжения р = Р„ )) = ()т семействз сс и две линии скольжения сс =стт, а = ат семейства р (рис.
67). Вдоль зтих линий соответственно имеем: хь =вы~ еь =Хча Ч Чы Ч =Чт. Если известны поле линий скольжения и на них — знзчення параметров $, Ч, то в кзждой точке известны а, 9, т. е. известны компоненты напряжения а, а, т„ . Заметим, что в рассматриваемой проблеме в отличие от линейной задачи (например, задачи для волнового уравнения) характеристические линии зависят от искомого решения— поля напряжений. В частности, произвольная кривая у =у (х), если вдоль нее реализуется подходящее напряженное состояние (т. е.
определен соответствующий угол 0), может быть характеристикой. 2. Свойства линий скольжения. Линии скольжения обладают рядом замечательных свойств, изученных в основном Генки. Рассмотрим эти свойства. 1) Вдоль линии скольжения давление изменяется пропорционально углу линии скольжения с осью х. Это свойство очевидно, так как вдоль ьх-линии а = 27гО + сопз1, вдоль р-линии а= — 27гО + сопзй 2) Если переходить от одной линии скольжения семейства (1 к другой вдоль любой линии скольжения семейства а, то угол 9 и давление а будут изменяться на одну и ту же величину (первая теорема Генки). В самом деле, из соотношений 140 [гл.
ч ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ Внося зти значения в формулы (32.7) для точек пересечения Аы, ..., А „ легко находим: 1 1 ~Рт = Ол — Ол — — (Чь — Чт), Фх = Ол — Ол — 2 (Ч, — Ч,), т. е. <рд — — <рь. Точно так же получаем: ол„— ол„—— ол„— ол . Очевидно, что мы придем к аналогичным выводам, если будем переходить от одной линии скольжения семейства а к другой вдоль любой линии ~ л~~ у'г '~ Рис.
67. Рнс. 66. 3) Если известно значение о в какой-либо точке заданной сетки скольжения, то оно может быть вычислено всюду в поле. Пусть в точке А (рис. 68) известно ол1 в этой точке мы знаем $ Ол, следовательно, вычисляем сразу значение параметра Ч, для р-линии скольжения, проходящей через А. ов Далее, в точке В легко находим ов= — 2я(ЧЕ Ов) " ьт= 2 Ов 2й значение давления о в точке С получаем по формуле ос=-2й(я,+Ос). 4) Если некоторый отрезок линии скольжения — прямой, то вдоль него постоянны о, 9, параметры с, Ч и компонентсч напряжения о„„ от, т„ . Действительно, пусть, скажем, отрезок а-линии в прямой; вдоль него 9 = сопз1 я постоянен параметр $. НО тогда согласно (32.9) и о= сопз1. Стало быть, и параметр Ч вдоль рассматриваемого отрезка также постоянен.
Если в некоторой области прямолинейны оба семейства линий скольжения, то в втой области напряжения распределены равномерно, причем параметрсч $, Ч постоянны. 14 1. 9 32! ЛИНИИ СКОЛЬЖЕНИЯ, ИХ СВОЙСТВА 1 дз 1 дз й„дг, ' 1~~ дга ' (32. 8) Радиус кривизны П.(П ) положителен, если центр кривизны находится в направлении возрастания з (возрастания з„). Рассмотрим бесконечно близкие линии семейств сс, Р, ограничивающие злемент скольжения Лз„Лз (рис. 70). Очевидно, что П„,ЛЕ"=Лз„, — П„ЛВ =Л..
5) Если некоторый отрезок линии скольжения семейства р (или а) — прямой, то все соответствующие отрезки линий р (или а), отсекаемые линиями семейства сс (или Р) (рис. 69),— прямые. Этот вывод следует из второго свойства, поскольку угол между соответствующими касательными к любым двум линиям скольжения остается постоянным при движении по избранным линиям (). В такой области напряжения о„, и, т„постоянны вдоль каждого прямого отрезка, но изменяются при переходе от одного отрезка (1 к другому.
Будем называть подобное напряженное состояние простым. По доказанному вдоль каждого нз прямолинейных отрезков оба параметра 9, т) постоянны; так как параметр $ принимает постоянное значение вдоль каждой а-линии, то й = сопя( во всей области АВВ'А'. у 6) Прямые отрезки, отсекаемые линиями скольжения другого семейства, имеют одинаковую длину. В самом деле, рассмотрим линии скольжения АА', ВВ'. Эволюта (геометрическое я' . мес~о центров кривизны) какой-либо кривой является огибающей семейства й нормалей к кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
