1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Цнлиндрнческая труба (сосуд), испытывающая внутреннее давление, является важным элементом многих машин и сооружений; естественно, чтовопросу о расчете пластической деформации трубы посвящено большое число теоретических и экспериментальных исследований. Строгий анализ пластических деформаций трубы представляет значительные трудности н реализуется численными способами нли методом последовательных приближений. Однако можно получить простое приближенное решение, если воспользоваться некоторыми упроще. пнями, подтверждаемыми результатами численного интегрирования. Ниже подробно рассматривается длинная труба с донышками; тогда по осн трубы действует усилие, равное ртса', где а — внутренний радиус трубы. Другие случаи кратко обсуждаются з конце параграфа.
2. Начальное упругое состояние. Распределение напряжений в упругой трубе описывается известным решением Ламе: (26.1) 1 о, =-р= — (о,+о„), где Графики напряжений показаны на рнс. 44 пунктиром. й 26] цилиндеичвскля тгхвл под двйствивм длвлвния 111 Вычисляя с помощью формул (26.1) интенсивность касательных напряжений, легко находим по условию текучести, что пластическое «ргааг гжта Рис. 44. состояние достигается на внутренней поверхности трубы прн давлении "=-"~' — й) 3.
Случай тонкостенной трубы. Чисто пластическое состояние для тонкостенной трубы характеризуется напряжениями: о,жО, о —, о,ж — (о+о), ра ра 1 Ь вЂ” а' ' 2(Ь вЂ” а) 2 причем р=2т,( — — 1). 4. Упруго-пластическое состояние толстостенной трубы. Как уже указывалось, точное решение этой задачи связано со значительными трудностями. Приближенное решение основывается на следующих соображениях, которые подтверждаются решениями, найденными численным интегрированием. В упругом состоянии о, есть половина суммы о, + о; это верно также и для чисто пластического состояния тонкостейной трубы.
Можно принять, что и в других случаях 2о = о, + о . Тогда параметр р, постоянен (р,= 0), следовательно, нагружение является простым, и можно непосредственно исходить из уравнений деформационной теории пластичности. Заметим, что среднее давление о=о,. 112 гелвнвния япггго-пластического глвновесия (гл. ш Пластическаи деформация развивается в кольце а ( г ( с. В упругой зоне с(г(б справедливы формулы (26.1), если вместо р внести — вся Ч=— Ь' — с' ' где а есть ралиальное напряжение на линии раздела г = с.
В пластической зоне имеем дифференциальное уравнение равновесия ао„+о„-ое О аг г Условие текучести Мизеса в нашем случае принимает вид о„— о, = 2т,. (26.2) Но тогда дифференциальное уравнение сразу интегрируется; исполь- зуя граничное условие о, =- — р при г =. а, получаем: о„= — р+ 2т,1п —, о, = о„+ 2т,. (26.3) Распределение напряжений показано на рис. 44 сплошными линиями (слева в в предельном состоянии, справа — о в упруго-пластическом состоянии). На линии раздела г= с напряжения о„ о должны быть непрерывны; эти условия будут выполнены, если с удовлетворяет уравнению (26.4) Отсюда находится радиус с пластической зоны; далее, согласно (26.3) вычисляется д и становятся известными напряжения в упругой области.
Из закона Гука е = — = — (о — т (о, + сг„)) и 1 получаем смещения в упругой области. По соотношениям Генки компоненты деформации в пластической зоне равны е„== бо — т,ф, е„= — ба+ т,ф Внося эти значения в условие сплошности ае е„— е„ вЂ” и+ — =О дг 2 26( цилиндгическАЯ ТРУБА под действием ДАВлении 116 и вычисляя среднее давление с помощью формул (26.3), получаем для функции ф дифференциальное уравнение — + — ф+ — = О. Дф 2 2л иг г г Отсюда находим, что с ф =- — й +— где С в произвольная постоянная. Необходимо еще удовлетворить условию непрерывного перехода 1 пластического состояния в упругое ф = — при г = с и условию не- 20 прерывности смещения и при г=с.
Так как среднее давление и непрерывно, то при г = с из второго условия следует, что 1 т,1р = — (и — и,). 46 Но на линии раздела выполняется условие текучести; отсюда 1 вытекает, что при г = с ф = †, т. е. первое условие. Стало быть, 20 ' оба условии будут выполнены, если С=с ( — 2',-+й). Относительное осевое удлинение равно е, = лп и для длинной трубы должно быть постоянным.
В полученном приближенном решении это условие не выполняется в пластической зоне. Для несжимаемого материала (И=О) решение является точным, так как Б,=О. 5. Предельное состояние. Предельное состояние достигается при с =Ь; из (26 4) получаем предельное давление р. = 2т,)п —. Ь а ' Эта формула широко применяется в расчетах прочности толстостенных цилиндрических труб и сосудов.
Распределение напряжений и„ и, в предельном состоянии показано в левой части рис. 44. 6. Другие случаи. Кратко остановимся на других случаях пластической деформации трубы. Если труба испытывает плоскую деформацию, то нужно исходить из условия е, = О. Тогда для несжимаемого материала справедливо решение, изложенное выше (для трубы с доньями).
Относительное удлннение будет малым при учете сжимаемости; это обстоятельство позволяет рекомендовать предыдущее решение для и„ и„ как приближенное и для случая плоской деформации. 114 УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. И! Если концы трубы свободны, то осевое усилие равно нулю. В этом случае хорошие результаты дает приближенное решение, основанное на предположении о, = О.
Заметим, что во всех случаях точные расчеты по теории пластического течения и деформационной теории дают близкие результаты. 7. Заключительные замечания. Как уже указывалось, рассматриваемая задача изучена многими исследователями. Учет упрочнения не связан сс сколько-нибудь значительными дополнктельными трудностями. Численные способы расчета трубы по теории пластического течения рассматривали Хилл, Ли, Тапер [за[ и Томас ['зз[; в деформациониой теории численные методы указаяы В. В. Соколовским [ы[, Аленом и Сзпвичем Р"[ и др. Большие деформации трубы рассмотрены в работе [ы[. Влияние температурных напряжений также изучено.
Различным вопросам упруго-пластической деформации полых цилиндров посвящена книга А. А. Ильюшина и П. М. Огибалова ["). ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ П! 1. Рассмотреть изгиб консоли прямоугольного поперечного сечения силой, приложенной на конце. Найти области пластической деформации, предельное значение силы, прогибы консоли в упруго-пластическом 'состоянии. 2. Найти предельную нагрузку для опертой по концам и равномерно нагруженной балки круглого поперечного сечении. 3.
Вывести дифференциальное уравнение прогиба балки !) —,=ж[м[ыв озо дх' (!) — окесткостьз) при условии, что напряжение о„связано с деформацией е„ зависямостью и„ = В [ е„ ~ -'е„ (О < Р ( !), где В, р — постоянные. 4. Сплошной неравномерно нагретый шар (температура 0 — функция радиуса) испытывает упруго-пластическую деформацию. Найти распределение напряжений, если в пластической зоне выполняется условие текучести Ми/ г АВ1 веса, а 0=0з ! 1 — ( — ) ~, где [) > О, Оз > Π— постоянные.
(,ь) 1' б. Найти распределение напряжений в длинной (ех=о) вращающейся трубе при упруго-пластической деформации (принять условие несжимаемости; в пластической зоне выполняется условие текучести Мизеса). Определить угловую скорость вращения, при которой достигается предельное состояние. 6. Показать (аналогично случаю в 4 15), что задача о деформации тонкостенной трубы под действием внутреннего давления и осевой силы приводится по теории пластического течения к интегрированию уравнения Риккати. Глава 7)г КРУЧЕНИЕ 2 21.
Кручение призматических стержней Основные уравнения 1. Исходные положения. Рассмотрим кручение призмы произвольного поперечного сечения. Пусть нижний конец стержня закреплен, а ось я параллельна оси стержня (рис. 45); стержень скручивается под действием момента Л4. Следуя предположениям Сен-Венана в теории упругого кручения, примем, что поперечные сечения испытывают жесткий поворот в своей плоскости, но искривляются в направлении оси и„= — мху, и =юях, (,у; ), где 㻠— кручение на единицу длины стержня, а че(х, у; ге) †неизвестн функция. Тогда компоненты деформации будут е,=-е =е,=у„г== О, функция чв(х, у; ге) характеризует искривление (депланацию) поперечного сечения.
Нетрудно показать, исходя из Рнс. 45. уравнений теории течения (13.7), что нормальные напряжения и касательное напряжение т„равны нулю о,=- и =-.о;=т„=О. (27.2) В сечениях е = сопз1 действует, следовательно, вектор касательного напряжения (рис. 46) т, = т„,г'+ т /. Интенсивности Т и Г соответственно равны =ткг+ туг~ Г =Тчг+уйг (27.3) 116 (гл. ш КРУЧЕНИЕ Нетрудно видеть, что третий инвариант девиатора напряжений равен нулю, поэтому из (1.17) вытекает, что св, = сопз$ = †, т. е.
все время сохраняется форма девиатора напряжений. По формулам (1.16) получаем: а=Т, а,=О, а= — Т, т. е. имеем состояние чистого сдвига. Разыскивая главные направления, находим, что соз(г', «), 1 = 1, 2, 3, постоянны, а остальные направляющие косинусы пропорцио- У" н тле туг нальны одному из отношений— Т ' Т Максимальное касательное напряжение равно ГБ ' т',„=(т,(= Т.
(27.4) Из (27.1) вытекает условие сплошности дтял дтее — — = — 2с». ду дя (27.6) Уравнение равновесия (27.5) означает, что выражение т„,йу — т„,с(х = йР есть полный дифференциал функции напряжения Р(х, у), т. е. ду ду т = —, т ду' Уе дя ' (27.7) При этом — с(Р есть поток касательного напряжения т, через элемент дуги с(е. Линии уровня поверхности напряжений (поверхности « =Р (х, у)) называются линиями напряжений. Вдоль линии напрятяг с(у жений Р=сопз( или аР=О, следовательно, — = —, т. е.
вектор ' тяе а»' т направлен по касательной к линии напряжений. Максимальные касательные напряжения действуют по плоскостям « = =сапа( и по цилиндрическим поверхностям с образующими, параллельными оси «и с направляющей кривой, перпендикулярной в каждой точке к вектору т,. Следы этих цилиндрических поверхностей (поверхностей скольжения) на плоскости « = О назовем линиями скольжения. 2.
Основные уравнения. Компоненты касательного напряжения должны удовлетворять дифференпнальному уравнению равновесия (27.6) И7 кРучение пРизмАтических стеРжней $27) Боковая поверхность стержня свободна от напряжений, поэтому вдоль контура С с,, сов (и, х) + т„, соз(л, у) = О. Так как ду = йа соз (л, х), дх = — да соз (л, у), то очевидно, что вектор т, направлен по касательной к контуру. Согласно (27.7) получаем: — =О, дг да т. е. на контуре Г=сопьй Иными словами, контур являегсл одной из линий напряжения. Для односвязного контура можно положить: Г= — О. Крутящий момент М уравновешивается моментом напряжений: М = ~ ( (хт, — ут„,) с(хду, где интегрирование распространяется на всю площадь поперечного— сечения. Внося сюда (27.7) и выполняя интегрирование по частям, получаем: М= — фс (х соз (л, х) —,— с +у сов (и, у)) да+2~~ Гдхс(у.
Для односвязного контура зта формула упрощается: Рнс. 47. М = 2 ) ) Рс(хду, (27,8) т. е, крутящяй момент численно равен удвоенному объему, заключенному под поверхностью напряжений х = Г(х, у). Если же контур многосвязный (рис. 47), то функция напряжений может принимать различные постоянные значения тчв, тчх, ..., Р' на контурах †внешн Са и внутренних С„ ..., С . Одна из постоянных может быть задана произвольно, так как аддитивная постоянная в функции напряжения не влияет на решение задачи кручения; пусть Р„=- О. Тогда получаем: М = 2~~' т".;Й; + 2 ) ~ пйхду, (27.9) где Йс †площа, ограниченная контуром Ср 9 28) 119 пллстичвское кгнчвнив причем на контуре Р' = сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
