1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

При кручении круглого стержня переменного диаметра отлично от нуля лишь тангенциальное смещение и„=а,(г, а). Вывестн, исходя из соотношений деформационной теории, дифференциальное уравнение для и„ в случае упрочнения. 4. Рассмотреть предельное состояние круглого (радиус а) цилиндрического стержня при одновременном кручении и растяжении (исходить из уравнений теории пластичности Сен-Венана — Мизеса (13.12); поперечные сечения остаются плоскими и поворачиваются целиком, отличны от нуля лишь компоненты напряжения а„т ); найти распределение напряжений и значения осевой силы и хрутящего момента. Глава ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ 3 31.

Основные уравнения 1. Общие положения. При плоской деформзции перемещения частиц тела параллельны плоскости х, у и ие зависят от ао и„=их(х, у), и =и (х, у), и,=О. (31.1) Подобное состояние возникает в длинных призматических телах при нагрузках, нормальных к боковой поверхности и не зависящих от х. Как обычно, считаем тело изотропным и однородным.

В любом сечении з = сопя( будет одна и та же картина напряженного и деформированного состояний; компоненты напряжения зависят только от х, у, причем т„„ т, равны нулю из-за отсутствия соответствующих сдвигов. Таким образом, о, является одним из главных напряжений. В теории упругости приведенные условия достаточны, как известно, для формулировки проблемы. плоской деформации. В теории пластичности необходимы лополнительные упрощения, так как иначе невозможно получить приемлемую математическую формулировку вопроса.

В дальнейшем используется схема жестко-пластического тела. Эта концепция, как уже подчеркивзлось (3 23), вносит погрешность, которую трудно оценить. Однако сколько-нибудь последовательный анализ плоской задачи затруднителен, если отказаться от схемы жестко-пластического тела. В рассматриваемой задаче предельное состояние обычно достигается тогда, когла некоторые области тела еще пребывают в упругом состоянии (как в примере изгиба балки силой, 3 24).

Иная картина имеет место в задаче кручения (гл. 1Ч) и в задаче о полом шаре (3 25), где в предельном состоянии все сечение стержня (шара) охвачено пластическими деформациями. Таким образом, следует рассматривать, по сути дела, упруго- пластическую задачу, однако ее решение связано с огромными трудностями. Полное же игнорирование упругих областей лишает постановку задач определенности и затрулняет физическое осмысливание решений. Гораздо целесообразнее исходить нз схемы жестко-пластического тела, которая позволяет одНовременно рассматривать поле напряже- $ 31) 133 ОСНОВНЫЕ УРЛВНЕННЯ Как уже отмечалось, о, является одним из главных напряжений.

Остальные главные напряжения а; являются корнями квалратного уравнения ~ Ох П~ тху тм о„— о, Отсюда оу — —,,' й( .—;)'+ и:,. мы (31. 4) ') Можно показать, что лля вывода (31.2) достаточно принять условие несжнмаемостн. ний и поле смещений, связывая последнее со смещениями жестких областей. Тем самым строится в известном смысле и приближенное решение упруго-пластических задач.

Погрешность зависит, разумеется, от типа рассматриваемых задач. В технологических задачах, где происходят большие пластические деформации в определенных частях тела, использование концепции жестко-пластического тела вряд ли может оспариваться. На рис.

146 показана деформация квадратной сетки при протяжке полосы сквозь твердую конусную матрицу. Очевидно, что части полосы слева и справа от матрицы можно рассматривать как жесткие и что пластическая деформация локализована вблизи контактных плоскостей. Технологические задачи этого типа относятся к задачам установившегося пластического течения с большими деформациями Я 49). Задачи другого типа, характеризуемые малыми деформациями,— это задачи о предельных нагрузках, тесно связанные с решением вопросов прочности. Здесь области пластической деформации для жестко-пластического и упруго-пластического тел могут, конечно, заметно различаться.

Однако для нахождения предельных нагрузок схема жестко-пластического тела вполне пригодна; обоснование этого утверждения будет дано в гл. ЧШ, посвященной экстремальным принципам теории пластичности. Для оценки погрешности желательно накопление экспериментальных данных. Опыты, выполненные в последнее время, как мы увидим ниже, хорошо подтверждают многие выводы, сделанные на основе схемы жестко-пластического тела. 2. Основные уравнения. Из (31.1) вытекает, что Е,=О. Используя это условие, получаем как по уравнениям деформационной теории (14.3), так и по уравнениям теории течения (13.5), что вследствие пренебрежения упругими деформациямит) и,— Н=,О, (31.

2) откуда о'= — (о'х+ о ). (31.3) 134 [гл. и плоская двеогмация Очевидно, что б, — среднее главное напряжение, тогда максимальное касательное напряжение будет 1 1.с Интенсивность касательных напряжений, как легко вычислить, также равна т,„ Т=т. (31.5) Таким образом, главные напряжения равны о,=-о+т, п,=о, и =о — т, т.

е. напряженное состояние в каждой точке характеризуется наложением гидростатического давления и на напряжение чистого сдвига т (рис. 63). Значения косинусов, определяющих пеРвое (пУсть од~ бь) главное напРав- ~ 1ч ление, находятся из системы 'ъ ~~ч (б„— б ) соз(1, х)+т„соз(1, у) =О, ~ т„сох(1, х)+(б„— ог) соя(1, у) =О. 1 Исключая бд, получаем: 132(1, х)=- — ". (31.6) Рис. 63, Направления площадок, на которых действуют максимальные касательные и напряжения, составляют угол ~ — с главныи направлением.

В дальнейшем важное значение имеют ликии скольжения. Линия скольжения — линия, в каждой точке своей касающаяся плод б ! щадки максимального касательного напряжения. Очевидно, что бг а имеются два ортогональных семейства линий скольжения, характеризуемые уравнениями: х=х(а, ()), у=у(а, р), в гле а, р — некоторые параметры, Линии первого семейства(сс-линии) Рис. 64.

соответствуют фиксированным значениям параметра р (р = сопя)); вдоль ))-линии постоянен параметр а. Линия сс отклоняется вправо от первого главного направления на 45' (рис. 64); линия )) отклоняется влево от первого главного направления на тот же угол. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ Условимся фиксировать направления линий а, 'р так, чтобы они образовывали правую систему координат; при этом касательное напряжение т положительно ') (рис. 64). Угол наклона касательной к линии а, отсчитываемый в положительном направлении от оси х, обозначим через 6. Дифференциальные уравнения семейств а, р соответственно будут Линии скольжения покрывают область ортогонзльной сеткой. Бесконечно малый элемент, выделенный линиями скольжения, испытывает одинаковое растяжение Рис.

65. в направлениях линий скольжения (рис. 65). 3. Состояние текучестк. Пусть среда находится в состоянии идеальной пластичности. Тогда должно выполняться условие теку- чести т = сопз( = т, или ппааа ппип 2тх. Обозначая т, через аа, получаем: (пх — п„)а + 4тае — — аз. (31.8) Сюда следует присоединить два дифференциальных уравнения равновесия (объемные силы отсутствуют): дах дтхп — х+ — =О дх ду дтхк дае — + — = О. дх ду (31.9) ') Заметим, что этим условиям удовлетворяет н система направлений, повернутая иа угол и отиосвтельио системы, изображенной иа рис. 64.

Если на границе тела заданы напряжения, то мы располагаем полной системой уравнений для определения напряженного состояния (притом независимо от деформации). Задачи этого типа называются статически определимыми. К приведенным уравнениям следует присоединить соотношения, связывающие компоненты напряжения с приращениями компонент деформации; это будут соотношения (13.7), в которых нужно отбросить слагаемые, относящиеся к упругой деформации, т, е. соотношения теории пластичности Сен-Венана — Мизеса (13.12). В случае плоской деформации остаются лишь три соотношения 138 (гл, ч плоская дееогмлция (для $ю я, г)х ), нз которых вытекает уравнение дях ~~у (31ЛО) 2т„„дах доя ' — +— ду дх утверждающее, что направление площадки максимального касательного напряжения совпадает с направлением площадки, испытывающей максимальную скорость деформации сдвига. Кроме того, должно выполняться условие несжимаемости дах дах д +д — — О. (31.11) Для пяти неизвестных а„, о, т„, о„, о имеем пять уравнений (31.8) — (31.11).

' 4. Полуобратный метод. Если задача статически определима, то напряжения о„, о, т находятся независимо от скоростей о„, о; для нахождения скоростей имеем тогда линеиную (прн найденнйх напряжениях) систему уравнений (31.10), (31.11). Решая ее для заданных граничных условий, можно вычислить поле скоростей. Если задача статически неопределима, то необходимо совместное решение уравнений для напряжений и скоростей, что связано с известными трудностями. В таких задачах часто используют полу- обратный метод: пытаются подобрать такое поле линий скольжения, для которого распределение скоростей было бы в согласии с граничными условиями.

Характеристики

Список файлов книги