1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Для установления правильности решения необходимо выяснить, удовлетворяют ли построенные поля остальным условиям. Рис. 132, Рассмотрим кратко анализ поля скоростей лля случая острого клина. Линии раздела АО', 0'П (рис. 131) являются линиями скольакения и на них нормальная составляющая скорости О„ = О. Вдоль линии разрыва 00' О = сопзт (9 39); так как основание клина неподвижно, то в точке 0 О = О и, следовательно, О = 0 всюду на У У линии разрыва.
Пусть на грани ОП задана нормальная составляющая скорости. Разбиваем правую половину клина линиями скольжения на бесконечную последовательность убывающих треугольников (рис. 131); в каждом из них можно найти поле скоростей, если последовательно решать смешанную задачу (9 38), переходя от треугольника 1 к треугольнику 2 и т. д, При этом на линии разрыва 00' будет найдена составляющая скорости О„, Перейдем к построению поля скоростей з левой половине клина. В г~оо'Е скорости определяются решением задзчи Коши по известным значениям и„, О на прямой 00'. Для т~о'ЕА имеем характеристическую задачу. Аналогичное построение поля скоростей для разрывного решения в тупом клине приводит к противоречию.
Действительно, в ~ОПП' (рис. 132) имееем смешанную задачу (на линии ОР и характеристике 197 В 47[ сжлтие слоя мвжду жесткими плитами 7Ю' заданы нормальные составляющие скорости), определяющую поле скоростей в названном треугольнике. Теперь для ~ОО'0' лолжна быть решена характеристическая задача, при этом будут найдены скорости и на линии разрыва 00'.
Задание скорости о к В на ОО', вытекающее из прелположения о существовании у разрывного решения, недопустимо и, следовательно, рассматриваемое построение ошибочно. 9 47. Сжатие слоя между жесткими плитами Рассмотрим задачу о сжатии пластического слоя между параллельными жесткими и шероховатымн плитами (рис. 133). Пластический слой выдавливается в стороны и течет от середины к краям; на поверхностях контакта при этом возникают большие касательные напряжения. Для развитых пластических деформаций допустимо считать, жо эти касательные напряжения достигают максимального значения )г. — ЛФ вЂ” ь- 1.
Решение Прандтля для тонкого слоя. Пусть толщина к слоя 2л значительно меньше протяженности слон 2Е Тогда уравновешивающиеся нагрузки в конРнс. 133. цевых сечениях слоя не могут заметно влиять на состояние слоя в некотором отдалении от концов; в этих условиях интересны также решения, не удовлетворяющие точно граничным условиям на торцах слоя. Нетрудно убедиться в том, что напряжения и„= — р — л( — „— 2 [у 1 — Ц, 1 х о =--р — л— у Й (47.1) т =и —.
р ку а Ф удовлетворяю> дифференцизльным уравнениям равновесия (31.9) и условию пластичности (31.8) при любом значении произвольной В заключение заметим, что упруго-пластическую задачу для клина рассматривали также Г. С. Шапиро и Нахди; равновесие клина вз материала с упрочнением по степенному закону изучено В. В. Соколовским (ы), Укажем еще на недавнюю работу Е. Наяра, Я. Рыхлевского н Г. С. Шапиро [>'а[. 198 [гл, у плоская даеогмлцня постоянной р.
Компоненты вектора скорости „=»4- ( — „— 21 ! — „) ) о = — с— у У Ь (47. 2) удовлетворяют в свою очередь условию несжимаемости (31.11) и уравнению (31.10) при любых значениях постоянных с, И. Из (47.2) вытекает, что каждая из плит надвигается на слой со скоростью с, Найдем линии скольжения.
Сравнивая последнюю из формул (32.1) с формулой т„=Ь вЂ” „, получаем: у у = Ь соз 20. Отсюда ду . 30 д» вЂ” = — 2Ь з(п 20— д» Теперь с помощью (31.7) находим дифференциальные уравнения линий скольжения: 2Ьайп 20 — = — (80, дй д» Разделяя переменные и интегрируя, получаем параметрические уравнении семейств линий скольжения: х= — 'Ь(20+ейп20)+сопя(, у=Ьсоз20; (сс) х=Ь(20 — ейп 20)+сопя(, у=Ьсоз20.
(р) а„Ну = О. -и Внося сюда компоненты напряжения, получаем р=.Ь вЂ” -. Распредедр- 2 ' иие давления (а )„-ь — линейное. Предельное сжимающее усидйе у а= (обозначим его через 'ХР) легко вычисляется: ! /1 'ХР=2 ( о, Нх= — Ь( ~ — +и ) (47.3) Поле линий скольжения образовано двумя ортогональными семействами циклоид с радиусом производящего круга, равным Ь.
Прямые у = -ьЬ являются огибающими этих семейств циклоид, следовательно, и линиями разрыва; вдоль последних, как легко видеть, обращаются до» дс» в бесконечность производные †" и †" . Скорость сдвига ду ду ' »у также не ограничена на линиях у=-ч-Ь. Условиям на свободном краю х = О удовлетворим в смысле СенВенана, т. е. потребуем, чтобы при х = 0 ь з 4т) сжатие слоя мажлг жестки~и плитами 199 Далее, параметры с и Ъ' связаны условием несжимаемости материала: поток материала через сечение х = О должен быть равен количеству материала, выдавливаемого в единицу вземени на длине 1 при сближении плит: ь — п„ду = 1с.
Подставляя о„из (47.2) при х=О, получаем: 1г=с( — — — ) . Нормальное напряжение и постоянно по толщине слоя и является линейной функцией х. Вдалйот свободного края напряжение п„от- л личается от и лишь на малую величину порядка — по сравнению У с едииицсй; с той же точностью скорость течения в направлении х постоянна по толщине. Касательные напряжения малы по сравнению с нормальными.
Рис. 134. Решение Прандтля неудовлетворительно вблизи концов (при х= О краевое условие выполняется лишь в смысле Сен-Венана) и в средней части (вблизи х=1), так как на оси симметрии касательные напряжения должны обратиться в нуль. Следует полагать, что в средней части слоя имеется жесткая область и материал выдавливается по обе стороны от нее (рис. 134). Однако для тонкого слоя решение Прандтля является хорошим приближением. 2. Слой средней толщины. Для слоя конечной толщины нельзя пренебрегать влиянием условий на концах слоя и в его центральной части; решение должно удовлетворять всем краевым услояиям для напряжений и скоростей. Построение поля скольжения было намечено еще Прандтлем; в дальнейшем эта задача изучалась В, В.
Соколовским ("), Хиллом, Ли и Тапером (а'] и др, 200 [гл. ч ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ Примем, что и-линия скольжения, разделяющая пластическую и жесткую области,— прнмая ОА (рис, 134); в справедливости этого мы убедимся позднее. По симметрии на оси слоя касательные напряжения отсутствуют, поэтому линия ОА наклонена под углом — . 4 В точке О поле напряжений имеет особенность, и решение в области ОАВ представлено центрированным полем, которое, всоответствии с условием на поверхности контакта, ограничено сс-линией скольжения, совпадающей с границей. Рассмотрим силы, действующие на жесткую часть ОАО'.
На гранях ОА, О'А равномерно распределены касательные напряжения величины Й, направленные к вершине А; нормальное напряжение равно среднему давлению. Из условий равновесия жесткой части ОАО' легко находим, что среднее давление вдоль отрезка ОА сс-линии должно быть равно — й. По теореме Генки вдоль круговой ()-линии сг = — 2)г9 + сопз(; определяя зту постоянную по значениям и, 9 на„'ОА и переходя, далее, к контактной линии ОВ, для которой 9 = О, получаем, что вдоль ОВ давлеп 1 ние постоянно и равно — й(1 1- — -). Теперь на отрезках АВ, АВ 2,)' характеристик (), сх известны значения $, т(, и напряженное состояние в области АВСВ' определяется решением характеристической задачи.
В области ВСА) имеем смешанную задачу (вдоль ВО задан угол 9 =.О, так как на линии контакта та = й и площадки скольжения совпадают с границей). Построение продолжается до тех пор, пока не достигнет оси О"О". По симметрии на линии О"О" касательные напряжения равны нулю, следовательно, условие т„ = сопз(.= Й на линии контакта не может выполняться вблизи середины слоя. Здесь возникает жесткая зона, ограниченная линией контакта и линией скольжения ВО, приходящей в точку О. Распределение давления на участке ВО" остается неопределенным, и можно лишь вычислить среднее давление по напряжениям, действующим вдоль линии раздела ВО, Рассматриваемое построение нозможно, если точка С не попадает по другую сторону оси симметрии О"О". Как показывают вычисления, зто будет при 1 — ) 3,94.
Справа от АВ решение осуществляется численными мед толами. Пример численного построения сетки скольжения показан на рис. 135 (толщина слоя принята равной двум, т. е. Л 1). В секторе 0АВ решение известно; делим дугу АВ на 10 равных частей точками (О, 0), (0,1), ... ..., (О, 10); значение О а каждом нэ этих узлов равно углу наклона сеотп п аетствующего сс-пуча, например а точке (О, 0) О = — —, а точке (0,5) 0 =— 4 8 и н т. д. Среднее давление на дуге АВ равно а= — й(1+ — +20~. 2 $47) СЖАТИЕ СЛОЯ МЕЖДУ ЖЕСТКИМИ ПЛИТАМИ 203 Дугу АВ' делим также на 10 равных частей точками (О, 0), (1, 0),...
..., (10, 0). Давление о в симметричных точках принимает прежние значения; угол 6 легко находится. Вычисляем, далее, координаты узлов хмм ум» хмз, уам н т. д. н зсе данные на дугах АВ, АВ' записываем соответственно в верхней строке и левом сголбце таблицы. Координаты узла (ш, л) и значения неизвестных функций з нем Ом,~, ом,«вычисляем по формулам (37.1), (37.2), (37.3), (37.4). Вследствие симметрии достаточно вычислить поле выше АС (заметим, что на АС 6= — и/4; используя зто, можно лля области АВС решать смешанную задачу).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
