1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Наконец, У в силу несжимаемости среды площади ,йу луг ап р треугольников ОВЙ и АСО равны, т. е. Ь' (К у = (У сов у — Ь) [У сов (у — ф) + +(Усову — Ь)(ду]. (50.3) Исключая из уравнений (50.2), (50.3) УУЬ и произведя упрощения, получаем соотношение 2у = ф + агс сов )К ( — — — ) ф! (,4 2)' определяющее ф. Давление р — одно из главных напряжений, поэтому (2 31) оно равно и' — Ь, т.
е. р = — 2Ь (1 + ф) . (50. 4) Полное усилие на единицу длины клина в направлении оси в равно Р= 2рУ вш у н является функцией угла у и глубины внедрения Ь. На рис. 149 показан график зависимости р от у. Обратимся к анализу поля скоростей. как известно (2 38), скорость и вдоль каждой из прямых р-линий постоянна; но на линии раздела ВРЕС нормальная составляющая скорости равна нулю $ 50) НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ 219 1 Ь (50.5) На плоскости П' вследствие условия подобия область пластической деформации не меняется при возрастании Ь, а глубина внедрения клина всегда остается равной единице.
В связи с этим фиксированная картина на плоскости П' называется единичной диаграммой (рис. 150). С проникновением клина в среду частица М получает некоторое перемещение. Поскольку вся картина определяется возрастающей глубиной внедрения Ь, последнюю можно рассматрийг вать как «время».
Тогда «скорость» точки М будет равна с= — . йл ' При движении частицы М в физической плоскости отображаюцеая точка М' на единичной диаграмме перемещается со скоростью ° ~ йг* ° ~= — , Например, если в физической плоскости частица М неподйа ' вщкна (г= сопз1), то на единичной диаграмме г' уменьшается обратно пропорционально Ь. Дифференцируя (50.5) по «времени» Ь, получаем: и' = — — (г' — и). 1 Ь Текам образом, скорость точки М* направлена от точки М к точке, радиус-вектор которой есть и н которую условимся называть фокусом.
(50.6) (жесткая зона среды находится в покое), поэтому и= 0 всюду в пластической области. Другая составляющая скорости и = с+ ф (р) в центрированном поле и и = и(р) в треугольниках равномерного напряженного состояния; очевидно, что на каждой из са-линий (состоящих из прямых отрезков и круговых дуг) скорость и постоянна. Пусть скорость внедрения клина равна )г; тогда, проектируя скорости )г и и на нормаль к контактной линии АВ, находим и )/2 )гз(п Т, т. е.
составляющая скорости и постоянна всюду в пластической области. Так как О= О, то модуль вектора скорости постоянен и равен $' 2 1'з1пу. Непосредственное определение траектории частицы среды по найденному полю скоростей затруднительно, так как поле скорое~ей ие фиксировано (как в случае установившегося течения), и нужно учесть непрерывное расширение пластической области и связанное с ним изменение поля скоростей. Это затруднение преодолевается при помощи несложного преобразования, использующего условие подобного расширения пластической области. Пусть г †ради-вектор некоторой частицы М относительно начала координат 0 при глубине внедрения Ь.
Рассмотрим плоскость П', на которой точке М соответствует точка М", определяемая радиус-вектором [гл. ч 220 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ Величина скорости О' определяется отношением расстояния изображающей ~очки М' от фокуса («фокальное расстояниеа) к глубине внедрения. Л. Как (уже отмечалось, в данной задаче вектор скорости имеет постоянную длину )'2 Р'з(п Т. В дальнейшем для простоты считаем (г= 1; если У~ 1, то окончательные результаты изменятся пропорционально.
Тогда фокусы лежат на окружности радиуса [I 2 з!и Т с Рнс. 150. центром О". Так как направление вектора скорости и меняется незначительно †направления В'В' в ~~,А'В*О' до направления Е'С" в ~А А'С"Е', то на единичной диаграмме получим дугу окружности Г Еа, причем радиусы О*Ем О"Еа параллельны соответственно Е'С', В'й". Отрезок О'г'„ равный )' 2аш Т, образует угол 4— с линией А*В'. Рассмотрим на единичной диаграмме отображение траектории частицы М. Пока продвигающаяся линия раздела ВОЕС не достигла М, скорость О.=О и согласно (50.6) отображающая точка М' движетсв к центру О' по прямой линии до пересечения с границей В*О*Е"С*.
Характер дальнейшего движения отображающей точки зависит от места пересечения этой границы. Следует различатЬ три случая. В первом случае (пунктирная линия 1) пересекается участок границы Е*С*; в области ЕСА скорость тг постоянна, следовательно, отобража1ощая точка в Е'С'А* движется по прямой к фокусу Ет до пересечения линии А'Е'. В секторе А'Е'0' скорость О переменка, фокус перемещается по дуге круга от Ет к Еа, и траектория искривляется. После пересечения линии А*В' изображающая точка вновь движется по прямой, но уже к фокусу Е,. й 50) НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ 221 Во втором случае (линня В) пересекается дуга окружности Р'Е'1 в секторе А'Е'Й' траектория искривляется; после пересечения линии А'Р' изображающая точка движется по прямой к фокусу Е.
Наконен, в третьем случае (линия Ш), когда пересекается участок В'Р", имеем простое движение по прямой к фокусу Еа. В Д Р'В'Го материал движется в направлении 0"Ео, первоначально же он занимал область В'Р*О'. Аналогично в Д А'Е'С' материал движется в направлении ОЯР;; исходное его положение †Д, 0*Е'С' (заметим, что А"0*)~ О'Е„). В этих областях происходит деформация чистого сдвига, параллельного соответственно В'Р' и Е*С'. Рнс.
151. Материал, занимавший вначале область Е'Р'Оо0*, испытывает сложную деформацию и переходит в четырехугольник Е'Р'А'Га. Искажение первоначально квадратной сетки может быть вычислено при помощи единичной диаграммы. Необходимо найти конечное положение (для глубины внедрения Ь) первоначально прямого угла, характеризуемого в исходном состоянии ралиус-вектором г . Пусть граница пластической зоны лостигает точки го при некотором значении Ьо < Ь; при этом соответствующая изображающая точка М; 1 опРеделиетсЯ РадиУс-вектоРом г, = †„ го. ПУсть У вЂ” РасстоЯние от о точки Л(,", пройденное вдоль траектории при достижении клином глубины Ь, а Г(у) — фокальное расстояние; тогда по (50.6) Ь Г оЬ )п — = — ~ —, Ло о (а) о о)а так как величина скорости движения изображающей точки равна —. ла ' Полученное соотношение определяет а как фукцию й и, следовательно, радиус-'вектор частицы М г = йг*.
В треугольниках РВВ*Е„ А*С"Е* интеграл легко вычисляется, так как в них Е(у) = с( — г, где т( †расстоян от точки М; соответственно до фокусов Еа, Г,; здесь Ь ч' "а 222 [гл. ч плоская дееогмьция В четырехугольнике ЕЧЭ*0*0з интеграл находится численно. На рис. 151 показано искажение первоначально квадратной сетки, Ряс.
152. вычисленное для у=30', хорошо видны три рзссмотренные выше зоны деформации. На фотографии (рис. 152) деформированной сетки, ~ф получающейся при вдавливании стального смазанного клина в свинец, можно различить все три зоны, Опытные точки подтверждают теоретическую зависимость (сплошная линия на Аа рис. 153) параметра внедрения — от Р угла у. Некоторые другие задачи неустановившегося течения с геометрическим подобием (косое внедрение твердого клина, раздавлнзанве пластического клина твердой плоскостью, вдавливание пуансона с закруглением н т. д.) научены Хиллом и другими авторами[аз). Рис.
153. в й 51. О построении согласованных полей напряжений и скоростей 1. О полуобратном методе. Для решения жестко-пластических задач выше применялся полуобратный метод. Сначала определялось поле напряжений, причем недостающие граничные условия для напряжений угадывались. Реализация этой схемы для контактных Й 51) ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ И СКОРОСТЕЙ 223 задач, вообще говоря, затруднительна. Если же линии контакта— прямые и на них заданы простые услолия (отсутствие трения или постоянное касательное напряжение), такой подбор осуществим. Примеры подобных контактных задач приведены в Й 45 (вдавливание плоского штампа; давление принято постоянным), в Й 47 (сжатие слоя между плитами; давление на участке 0В, рис. 134, принято постоянным) и в Й 49 (задача о волочении полосы; давление на поверхности инструмента принято постоянным).
Если контакт осуществляется вдоль кривой линии, полуобратный метод неэффективен, так как угадать правильное распределение контактных напряжений практически невозможно. Иногда можно вычислить эти напряжения, решая смешанную задачу. Вообще же необходимо использовать прием совместного построения полей напряжений и скоростей, указанный в работах Б. А. Друянова (таа~ и В. В. Соколовского [аьа). 2. Построение согласованных полей напряжений и скоростей.
Предполагается, что на физической плоскости х, у можно указать конструкцию поля скольжения; последней на плоскости характеристик в, т) отвечает некоторая картина. Сначала строится поле скоростей. Составляющие скорости и, и удовлетворяют уравнениям (38.10) ди ! — — — и=-О, дп 2 ди ! де 2 2 «=О. (51. 1) ду ! — — — х О, дч 2 дх 1— — — — у=О.
де 2 (51. 2) Знание граничных значений х, у вдоль отображения контактной линии позволяет в конце концов найти функции х, у, а следовательно, и х, у, т. е. сетку линий скольжения на физической плоскости. Линии, отделяющие пластическую область от жестких, являются ~ характеристиками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
