1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(52.3) В рассматриваемом случае С .= А соз 2ф, $у — — А соз 2ф, Чху =2А гпп 2ф. Исключая А, приходим к уравнению (31.10) д"х д" у дх ду по ох = — с!я 2ф= до, доу 2тху — +— ду дх н прежнему условию несжнмаемости дох доу — -1- — = О. дх ду Итак, для рассматриваемого режима хуЕ система уравнений для напряжений и скоростей совпадает с системой уравнений в случае плоской деформации. Аналогичное заключение справедливо для режима АВ. Случай а,вз ) О соответствует вертикальным и горизонтальным граням шестиугольника (фиг. 159).
Пусть для определенности Ог ) и, ) О, что отвечает режиму СВ. Условие текучести таково: пт = пю (52.9) По ассоциированному закону течение развивается лишь в первом главном направлении, т. е. 5~=)ь, В~=О. (52.1О) В самом деле, введенные в з 31 линии скольжения сохраняют значение. Пусть первое главное направление составляет с осью х угол ф, тогда по известным формулам преобразования 2ЗО [гл.
ю плОскОе напгяженное СОстОяние (52.11) причем (о«2 11) (52.15) От=ОН Оз=о«, а скорости леформации являются линейными комбинациями с неотрицательными коэффициентами Х„ ),з течений в соседних режимзх Сг) иВС,т.е, ь1 Х1 ьз Лз ьз Х1 )ьз' (52. 16) Коэффициенты )ь„Х вЂ” неизвестные функции, определяемые при решении каждой конкретной задачи; дополнительная произвольная функция вводится из-за «двух условий текучестиз (52.15) на ребре призмы.
Вследствие равенства главных напряжений имеем: Аналогичное течение реализуется в ре1киме Р. Рассмотрим, наконец, одноосное растяжение, отвечающее Режиму Вч О, = о„оз =- О. (52.17) Скорости деформации будут линейными комбинациями с неотрицательными коэффициентами Х1, )з течений в соседних режимах СО иОЕ,т,е. Ет=)1+).„$1= — ),1, $з=- (52. 18) Аналогичный вид имеют течения в других одноосных режимах А, В, Е. 4. Заключительные замечания. Изложенные выше уравнения легко обобщаются на случай пластинки переменной толщины Ь=Л(х, у) при условии, что последняя изменяется медленно. Дифференпиальные уравнения равновесия прн этом примут вид1 дйт„в дйов и+ — =О, дх ду дйо» дьт„в — + — У=о, д» ду Из условия несжимаемости вытекает, что Если же рассматривать режим ВС, то О,= — О„ В,=О, В,=Р, Режим С.
Обратимся теперь к угловой точке С. Здесь (52.12) (52.13) $ 53) постгокнив гвшеннИ пги условии текучести мизеса 231 Заметим, далее, что плоское напряженное состояние реализуется в тонких безмомешных оболочках. В оболочках и пластинках, испытывающих изгиб, имеет место плоское напряженное состояние, изменяющееся по толщине (отличиые от вуля компоненты напряжения о„, пю т»я зависят от г, где г отсчитывается по нормали к срединной поверхпостй). р 53. Построение решений при условии текучести Мизеса. Разрывные решения и„=-2й соз (в — — ), а,= 2)а соз ~в+--~1, (53 1) где в.=-в(х, у) — новая неизвестная функция, характеризующая положение точки на эллипсе (рис. 157).
При условии а„)п, угол в изменяется в пределах 0(в(«п. Легко видеть, что угол в свя- 1 зан с значением среднего давления и = — (о, + а,), именно: 3 соз в 13 о 2л (53.2) 'Теперь с помощью известных формул и 2 ~ ' 2 '~па 2<р, т»г — — '2 а щп 2<р, (53.3) 0„! 2 2 где у — угол между первым главным направлением и осью л, можно выразить компоненты напряжения о, и, т„через функции в, <р: а„ =-. (г()'3 созв -ь ап со соз2<р), а ') =- т, =- и з(п в з!п 2~р. (53.4) Отсюла вытекает, что (в отличие от случая плоской деформации) компоненты напряжения ограничены: ! а» ~ «( 2)т, ) о„) («2Й, ) т», ) ( Л. 1.
Общие замечания. Совместное решение нелинейной системы уравнений (52.1), (52.2), (52.3) прелставляет большие трудности. Однако, как и в случае плоской деформации, часто оказывается полезным полуобратный метод. Именно, можно попытаться рассматривать последовательно решение уравнениИ для напряжений (52.1), (52.2) и уравнений для скоростей (52.3). Волн напряжения определены, то система уравнений для скоростей и», и будет линейной; необхолимо построить поле скоростей, совиестное с найденным полем напряжений. 2.
Уравнения для напряжений. Обратимся к сис~еме уравнений лля напряжений (52.1), (52.2), исследованной В, В. Соколовским. Условию текучести (52.2) в главных осях можно удовлетворить, полагая (гл. щ ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ Внося компоненты напряжения в дифференциальные уравнения равновесия и выполняя простые преобразования, получаем систему двух уравнений для двух неизвестных функций у (х, у), в (х, у): ( Т дв дв ) 3 аш в соя 2<р — соз в ) — + 3~ 3 Рйп в гйп 2~р - —— ) дх ду — 2 е!п в — =О, др ду — дв / Т дв 'Р 3 е)п в з)п2ф — — () 3 е!и в соз2ф+ сояв ) — + дх (, ,) ду + 2 з)п в — ~ = О. д~р дх (53.5) Выясним тип втой системы, следуя «детерминантному методу» (см. добавление).
Пусть вдоль некоторой линии х=х(х), у=у(г) заданы функции у=-у(а), в=-в (з). Лля интегральной поверхности, проходящей через т., имеем: — дх + — с(у = сйр, - — дх + — ду =- с(в. (53.6) дср д~р дв дв дх ду ' дх ду Вдоль А касательная плоскость к интегральной поверхности д~р др дв дв определяется частными производными ††, — ; †, "-, которые дх ду 3 ду можно найти из (53.5), (53.6), так как на А это будут линейные алгебраические уравнения относительно упомянутых производных. Если линия т'. Является характеристикой уравнений (53.5), то вдоль нее производные неопределенны, следовательно, определитель упомянутой алгебраической системы и надлежащие числители обращаются в нуль.
Приравнивая нулю определитель системы, находим дифференциальные уравнения характеристических линий ду УЗ епп в Мп 2~р + Х (в) (53.7) лх Р'й а!и 2 !— где введено обозначение »[ ~=-~ з — ~. Й.Ч- <р = сопя(, (53.8) где положено П= — — ') . дв. ! ~' Е(в) 2,~ Мпв (53. 9). Приравнивая нулю числители, получаем (после некоторых преобразований и интегрирования) соотношения между неизвестными функциями <р, в, выполняющиеся вдоль характеристик: й 53) постгоение гашений пгн головин текгчести мизеса 233 Исходная система (53.5) будет иметь два различных семейства вещественных характеристик (т.
е, будет гиперболической), если 3 — 4 созга ) О, т. е. и 6н — (в( —. 6 6 Точки гиперболичности на эллипсе (рис. 157) заполняют ббльшую его часть, очерченную жирными линиями. Сне~ела (53.5) будет иметь лишь одно семейство вещественных характеристик (т. е, будет параболической) в случае Е(в) =О, и 6п т. е. если функция в принимает одно из значений †, — . Наконец, 6' 6 при 3 — 4 созе в к.
0 вещественных характеристик нет и система (53.5) — эллиптического типа. Этому типу отвечают внутренние точки дуг эллипса, очерченных тонкими линиями. Нетрудно видеть, что в области гнперболичности ) о ( < т ,„, в параболических точках ( а( =-т .„„ а в области эллнптичности ) о ~ ) т,„.
Тнп системы уравнений определяется соотношением величии среднего давления и максимального касательного напряжения. Итак, в решении могут встретиться области гиперболичности, 3 параболичности и эллиптнчиости, лл причем заранее граница перехода ! ! не известна. Это очень затрудняет решение задач плоского на- Дй пряжеиного состояния по срав- У д ' р ~ иг нению с решением соответствую- сг !74 т)гг уг 7й дгт г4 дю щих задач в случае плоской деформации. Рнс.
160. 3. Случай гинерболнчности. Свойства характеристик. Рассмотрим более подробно свойства решений в области гиперболичности. Здесь Е (в) ) О, функция ь! легко вычисляется: и, 2саз в ! 4соа в+3 Й = — — -(- агсз!п . — — агс!к— 4 уй 4 Е(в) — — агс(я < О. (53.10) 1 4созв — 3 4 Е(в) Рассматриваются главные значения обратных тригонометрических функций (в интервале — —,, + — ) . График функции — Й приведен 2' 2!' на рис.
160. Введем новую 'неизвестную функцию ф(х, у), равную и ! с1йв ф = — — -- агссоз— Уз (53.11) 234 [гл. ш ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ Тогда уравнения характеристик принимают вид; ду ду (а) дх — 'КМ~ — Ф 1 ([)) дх — 'й Ор~ ф) ~ (53,2) Й вЂ” лр=-сопя[=й; ) лз.[-гр =- соп51 = л). ) Характеристики пересекаются под углом 2л[л (рис. 161) и образуют неортогональную сетку кривых, не совпадалошую, очевидно, с сеткой линий скольжения. Главные направления делят пополам углы между характеристиками. Будем различать характеристики зтих двух семейств, как и ранее, параметрами а, (помня об их ином, нежели в гл. Ч, значении).
Характеристики первого семейства (а-характеристики) соответствуют фиксированным значениям параметра р; вдоль р-хал1[ р 5 ракгеристики постоянен параметр а. угол пересечения 2л[л изменяется, вообще говоря, от точки к точке. При переходе от одной характеристики семейства а к другой параметр изменяется; аналогично при переходе от одной характеристики семейства р к другой измеРнс.
1б!. няется параметр т). Вдоль характеристик компоненты напряжения связаны простым условием (напомннм, что в случае плоской деформации нормальные напряжения в характеристических направлениях равны среднему давлению и, см. й 31), Действительно, пусть на некоторой линни Е заданы непрерывные компоненты напряжения. Проведем в произвольной точке Р линии Е систему 'координат 1, п, направив ось 1 по касательной к к., а ось и — гло нормали. Дифференциальные уравнения равновесия (52.1) и условие текучести (52.2) сохраняют прежнюю форму дел да„(' дт„л и в новой системе координат. В точке Р производные — -, — ", — " д) ' дт„' дг вдоль Е вычисляются.
Тогда нз дифференциальных уравнений опре- даа дтл1 дел деляются производные по нормали †", --".. Производная же— да ' да дл может быть найдена из условия текучести, проднфференцированного по л: если 2п,— П„~О. Если выполняется условие 2п, — и„=- О, решение задачи Коши невозможно, и линия Е является характсристикой. й 53) постгоение гешеннй пги головин тектчести мизеса 235 Такое же условие выполняется и вдоль характеристик второго семейства. Характеристики обладают рядом свойств, аналогичных некоторым свойствам линий скольжения в залаче о плоской деформации (ч 32).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
