1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 39
Текст из файла (страница 39)
и ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ Отобразим теперь упругую область и плоскости х (т. е. внешность С) на внешность единичного круга у плоскости ~. Пусть при этом бесконечно удаленная точка плоскости х переходит в бесконечно удаленную точку плоскости ~. Тогда отображающая функция ю (~) имеет структуру я=а(ь) = с~+А"(~), где с — вещественная положительная постоянная, а А (~) — аналитическая функция вне круга Т, причем можно положить, что п(со) = О. Отображающую функцию можно представить рядом Лорана (48.8) где коэффициенты а„вещественны вследствие симметрии контура С относительно оси х. Введем обозначения Ф(~)=Ф,[св(Я, Чг,(~)=.Ч'х(ю(~)). Тогда формулы (48.5) преобразуются к виду 7.
(Е) = 4 Ке Ф (Д, М(Г) = 2 ~ ",~О Э (Р+ Ч (Р ~. Учитывая поведение 7. (Р) и л4(гч) на бесконечности и данные (48.7) на контуре Т, приходим к следующим условиям для определения функций Ф(~), Чг(~), ю(~): (48. 9) 4йе Ф (Ь) = / 1 с 0 на у, р+ д — 47г ( — +1и — — 1п ~ Д ) для ~ = оо, (48.10) 2 ~ ~' ~ц~ Ф' (г) + Ч (гл) ~ = 0 на на Т (48.11) г7 — р — 2ме-е'Фц ср = агп ~, для ~ — оо, Согласно условиям (48.10) функция Ф ф имеет структуру Ф(~) = — й!и~+ Ь (Р), (48.12) где Й(~) — функция, аналитическая вне единичного круга у и ограниченная на бесконечности; вещественная ее чесать равна нулю На неизвестном контуре С вследствие непрерывности напряжений будет 7.
(Г) = 0, М (Г) = 0. (48. 7) 8 48) злдлчл о вхстяжвннн плоскости с отввгстнкм 209 на Т, следовательно, Ь(Ь) необходимо равна нулю всюду. Тогда, сопоставляя (48.12) с условием на бесконечности, приходим к требованию Р+Ч вЂ” 4м( — +!и — ) =О, 71 сд (,2 а,) откуда вытекает, что с =-аехр ( — — — ) . гр+д ! т 4А 2,) ' (48.18) Далее, прн Ь вЂ” со ге(ь) = — сь, га'(Ь) =с, Внося этн значения в условие (48.11), получаем, что прн !" — со Так как 2л Щ = 27те-же, то на бесконечности (48.14) По условию на единичной окружности Т нмеем: Ч'(Р = †„,( ы(ь) ь е'(ь) ь ' — ! Так как на единичной окружности К= †, то на Т будет ~п л=! (48.15) Следовательно, условие (48.15) может быть представлено в форме (48.16) Для определения коэффициентов разложения а„умножив равенство (48.16) на ~ х (т = 1, 2, 3, ...) и проинтегрируем по контуру единичного круга: Правая часть является функцией, аналитической вне единичного круга, кроме бесконечно удаленной точки, где имеется полюс первого порядка, так как прн ~ оо — '(~) Ч'(~) 1=мс1, м=" 2ь, (48.
17) 210 (гл. ч ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ О ~ — +~Ч~ а„ьи ~ -'с(~=2Ма . т ( и ! С другой стороны, величина ы'(ь) Ч' (ь) ь ивляется аналитической функцией во всей плоскости вне у, следовательно, интеграл по у должен быть равен интегралу по окружности большого радиуса, поэтому — — К) Ч'аГ" ~. Вычисляя этот интеграл, находим, что хс при т=1, а О при лт 1. Таким образом, са (ь) =- с ( ь+ — ) . (48. 18) Эта функция, как известно, отображает внешность эллипса, сле- довательно, ~граница С будет эллиптической (рис.
141). Вычисляя согласно (48.15) функпиь Ч' на контуре единичного круга, получаем; ~~злы са (1-1- х)и си (1 — х)а Рис. 141. Решение возможно, если пластическая зона полностью окружает отверстие. Это условие удовлетворяется при с(1 — х) ) а. По теореме Коши о вычетах имеем; При х =: 1 напряжение т ,„ на бесконечности равно й и вся плоскость будет в пластическом состоянии. Поэтому следует считать х ( 1, тогда полюсы Чг лежат внутри у и Ч'(ь) будет действительно регулярной вне у. Уравнение эллипса С имеет вид $49) УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ 211 Отсюда вытекает, что напряжения на бесконечности р и д не должны сильно различаться. Напряжения в упругой области вычисляются по найденным потенциалам Ф и Ч'.
Отсылая читателя к статье Л. А. Галина, содержащей подробный анализ, приведем некоторые результаты вычислений поля напряжений для случая р= 2.4й, гу= З,ОН. Полуоси эллипса здесь соответственно равны 3,04а, 1,64а. Сплошными линиями (рис. 141) нанесены кривые распределения интенсивности касательных напряжений вдоль осей х, у.
Для сравнения пунктиром показана окружность радиуса 2,72 а, являющаяся линией раздела в осесиммстричной упруго-пласти«вской задаче (при р = о= Зй); распределение интенсивности касательных напряжений вдоль радиус-вектора нанесено также пунктиром. 3. Заключительные замечания. В изложенном решении существенно используется свойство бягармоннчностн функции напряжения в пластической зоне, примыкающей к круговому вырезу, Прн некоторых дополнительных условиях решение Л. А. Галина обобщена на случай пластически неоднородной среды (А. И. Кузнецов), на случай неравномерного теплового поля (В. Л. Фомин).
Приближенный прием решения упруго-пластических задач для плоскости с вырезом в обратной постановке (задается пластическая зона) развит П. И. Перлнным. В недавно опубликованных работах Г. П. Черепанова еаквге применяются методы теории функций комплексного переменного; прн атом условие бигармоннчности Р не используется. В 49, Установившееся пластическое течение. Волочение полосы 1. Установившееся пластическое течение. Выше (Я 40 — 47) рассматривались задачи об определении несущей способности, связанные с вопросами прочности конструкций. При этом можно было ограничиться изучением малых деформаций. Другая важная область приложений теории пластичности относится к анализу непрерывных технологических процессов обработки металлов давлением (прокатка, золочение, выдавливание, резание металлов н т. и.), широко используемых в промышленности.
Здесь наибольший интерес представляют предсказание сил, необходимых для осуществления данного процесса обработки, и анализ происходящих деформаций. В задачах этого типа естественно полагать, что в каждой фиксированной точке пространства напряжения и скорости не изменяются. В качестве иллюстрации рассмотрим волочение полосы (рис.
142). Здесь полоса с начальной толщиной О протаскивается с постоянной скоростью У сквозь жесткую суживающуюся щель (матрицу); толщина полосы вследствие претерпеваемых ею при прохождении через щель пластических деформаций уменьшается до величины л, а длина соответственно увеличивается; часть полосы слева от матрицы движется с постоянной скоростью У ч. (7. Поля скоростей [гл. ч ПЛОСКАЯ ДВФОРМАПИЯ и напряжений не меняются во времени (стационарны); наконец, части полосы, удаленные от матрицы, можно считать недеформирующимнся.
Пример прессования (или выдавливания) листа из контейнера через щель (матрицу) показан на рис. 143, а. В отличие от предыдущего случая здесь усилие (давление) приложено к широкой части Рнс. 142. листа. Из щели вытекает лист металла толщиной л. Зоны пластической деформации на рис.
143, а заштрихованы. Процесс прессования имеет много разновидностей. На рис. 143, б изображен пример обратного прессования (прошивка). В металл, а) Рис. 143. находящийся в контейнере, внедряется жесткий инструмент в пуансон. Металл вытекает вверх с обеих сторон пуансона. Важное значение имеет процесс прокатки, широко применяемый в различных модификациях. На рис. 143,в изображен простейший вариант прокатки.
Вращающиеся в разных направлениях цилиндрические валы захватывают лист толщиной Н и сдавливают его до толщины Ь. Разнообразные процессы резания металлов (обточка, строгание, сверление и т. д.) также можно рассматривать как установившееся устаиовнвпгееся пластическое течение 213 пластическое течение. На рис. 143,г показана схема обработки плоской поверхности. Стружка толщиной б стекает по передней грани резца. У острия резца локализуется зона пластической деформации (на рисунке эта зона заштрихована). В остальных частях изделия и стружки металл можно считать жестким. Анализу различных технологических процессов на основе решений плоской задачи уделено большое место в монографиях Р. Хилла (з'], В.
В. Соколовского (4'], Пратера ]з'], а также в многочисленных журнальных статьях. Задачи установившегося пластического течения тесно связаны с особенностями технологических процессов и требуют специального обсуждения. Заметим, что значительное развитие получили приближенные («одномерныез) схемы расчета непрерывных процессов. Укажем здесь на книги Гоффмаиа и Закса ('з] и А. Д.
Томленова ]з'], посвященные расчету различных технологических процессов обработки металлов давлением. Там же можно найти и дополнительные литературные ссылки. Возвращаясь к общему случаю, отметим, что облас~ь, занимаемая средой, разбивается на жесткую и пластичесхую зоны; поскольку пластические деформации велики, схемажестко-пластического тела вполне приемлема. Большие деформации связаны с развитием упрочнения; однако обычно исходя'г из схемы идеальной текучести, принимая для постоянной А некоторое среднее значение. При незначительном упрочнении совпадение теоретических и экспериментальных результатов для процессов холодной обработки металлов хорошее, и отклонения рассчитанных усилий от опытных не превышают 10%.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
