1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Эта зависимость показана на рис. 112 пунктиром. Заметим, что величина А(ь является нижней границей предельной нагрузки. Действительно, момент Мь соответствует элементарному решению задачи изгиба (см. 2 24) гладкой полосы высотой й. Дополним это решение нулевым полем напряжений в области, ма. лежащей выше этой гладкой .ада полосы. Очевидно, что тем сыргэл самым мы получим во всем / теле статически Возможное / / / пластическое напряженное со- // д<тля стояние. Это, конечно, не дает никаких оснований утверждать, // что решение, показанное иа рис.
111, являетсн полным (ибо Я+в это решение нв продолжено на все тело). Наличие упругих (в нашей Рис. 112. трактовке †жестк) областей вблизи ослабления сдерживает развитие пластических деформаций н повышает предельну!о нагрузку по сравнению с гладкой полосой высотой й.
Отношение — * иногда называется коэффициентом усиления. Мь Твердые зоны поворачиваются вокруг точки С; тем самым нормальные сос~авляющие скорости вдоль линий скольжения ВС, СА известны; поля скоростей внутри й' ! пластических областей ААС и ВВС определяются решением хагт/ й д рактеристических задач. с у у Рассмотрим теперь другую конструкцию поля скольжения, гр Уд показанную на рис. 113. К нв1кией грани полосы, как и ранее, примыкает область равномерного сжатия — 2й. Вблиаи круговой границы решение также описывается прежними формулами (42.1).
Я' Я Рис. 113. Однако очертание этих областей 1 нное: они менее разви~ы, содержат входящие углы и соединены двумя круговыми дугами — изолированными линиями скольженияРО, Внутри РР<)О. материал находится в жестком состоянии, так же как и вне линий ВР<',ЗА. В предельном состоянии внешние жесткие части поворачиваются целиком, например 180 (гл. ч плоская дхвогмхция левая часть поворачивается относительно центра дуги О. Внутри ядра РОГ~ материал неподвижен, ядро как бы играет роль цапфы, вокруг которой осуществляется мгновенный поворот по линиям скольжения РЯ вЂ” тонким слоям «пластической смазки».
Линия В'РОА'— линия скольжения с непрерывной касательной, состоящая из прямого отрезка А'Я, круговой дуги ОР и отрезка логарифмической спирали В'Р. Обозначим / ВОР через у", угол раствора дуги Рьг— через 26, ее радиус — через Я, угол ВО — через 2у. Среднее давление в точке Р равно и = 2л (у' + †) (см. 5 38). Значения пара- 2/ метра Ч в точках Р, О соответственно будут 1 и Чн= 2 ту + 2" ЧО= 2+ 4- ° Вдоль ()-линии скольжения А'ЯРВ' Ч = сопзЧ следовательно, Ч,=Чо, откУда у' = 26 — 1.
Далее, в точке В' имеем п=й, 8= у' — — и по условию Ч = сопз1 =* = Чв = Чо получаем: и 7 = — — 1. 2 Очевидно, наконец, что у = 2у" — у' = 46 — — — 1. 2 Для нахождения неизвестных параметров 6, й имеем два уравнения равновесия. Во-первых, сумма проекций на горизонтальную ось х напряжений, действующих в любом поперечном сечении (например, в сечении ОРАЛО"), равна нулю, Заметим, что вдоль ОР действует лишь нормальное растягивающее напряжение а,, вдоль РΠ— касательное напряжение л и нормальное напряжение а, изменяющееся на дуге РЯ как линейная функция угла О, на 1;)Ог — нормальное сжимающее напряжение — 2л. Во-вторых, сумма проекций на вертикальную ось у напряжений, действующих в поперечном сечении, также равна нулю.
Далее, предельный момент М вычисляется как момент напряжений (скажем, в том же сечении ОРОО" относительно центра О). Результаты вычислений, на которых мы не останавливаемся, нанесены на рис. 112 сплошной линией. При ятом из условия неотрицаи тельности Я вытекает, что 6 ) †, что в свою очередь соответствует 4 ' И =и «+а ' ' 4 — ~0,64. Для 6= — Я=О и оба построения совпадают. Начив ная с — ) 0,64 предельный момент по второму решению меньше, в+а чем по первому. $42! ИЗГИБ ПОЛОСЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ВЫРЕЗАМИ 1В1 Поле скоростей определяется последовательным решением характеристи |еских задач.
Нельзя утверждать, что построенные поля напряжений относятся к статически возможным пластическим полям ($40), ибо не известно, каково напряженное состояние в жестких зонах. Однако соответствующие поля скоростей являются кинематически возможными, следовательно, оба решения дают для предельного момента оценки сверху (З 40) и нужна исходить из решения, приводяьцего к меньшему значению Л4ь, 2. Двусторонние глубокие вырезы с круговым основанием (рис.
114). Предполагается, что вырезы симметричны. ау Рнс. 114. Простейшее поле скольжения состоит из двух симметричных по лей (образовзнных логарифмическими спиралями), соединяющихся в точке С, которая будет точкой разрыва напряженного состояния. Последнее описывается формулами о,= ~ 241п —, о„= ~ 2)г (1 -', !п — ), где знак плюс относится к верхнему полю, а знак минус — к нижнему; радиус-вектор г отсчитывается от соответствующего центра (О+ или О ). Угол у определяется при Ь ) 2а из соотношения и у=1п —. 2а ' Условия равновесия сводятся к одному урзвнению моментов относительно точки С т г(à — 2 ~ о„удо= 0 о 182 (гл. ч плоская дееогмлцня (где у — расстояние в се ~ении О О от С), определяющему величину предельного изгибающего момента М..
й Полагая у =- а+ — — г, внося и.. в уравнение моментов и выполняя 2 М, интегрирование, найдем зависимость отношения —,'- от того же па- М~ й раметра —; эта зависимость нанесена на рис. 112 пунктиром. а+а ' й Начиная с „= 0,398, возможно другое поле скольжения, й+а конструкция которого аналогична второму решению для случая одного надреза. Здесь оба осесимметричных поля соединяются круговыми дугами РЯ (рис. 114, б), по которым происходит скольжение †повор внешних жестких частей.
Вычисления здесь аналогичны вычислениям в предыдущем случае; на рис. 112 сплошной линией нанесена соответствующая зависимость предельного момента от геометрического параметра; ею следует пользоваться при й+а — ~) 0,398. 3. Глубокий угловой вырез (рис. 115). Построение поля скольжения ясно из рис. 1!5. Так как свободные границы прямолинейны, Рис. 115. то в треугольниках ОВО, САА реализуются равномерные напряженные состояния (растяжение -р 2й в С, ОВО, сжатие — 2Ф в (з САА). Беитрироваиные поля ООЕ соелиняют треугольники ОВР с квадратом ОЕСЕ, испытывающим равномерное напряженное состояние; из соображений симметрии ясно, жо в ОЕСЕ по вертикальным сечениям будет действовать лишь растяжение д. Вдоль р-линии СВ (и ей параллельных р-линий) параметр постоанен, следовательно, т)с= т)в, т. е.
— — — — — +— 2й 4 2 4 183 ИЗГИБ ПОЛОСЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ВЫРЕЗАМИ $42] Но в квадрате ОВЕСЕ /у= и+ Ь, следовательно, получаем; /у= Ь(2+ и — 2Т). Положение точки разрывз С, определяющей все построение, находится из условия равновесия: дЬ вЂ 2Ь(Ь вЂ” Ь,) = О. Предельный момент равен М« — 2 уЬ -~Ь (Ь вЂ” Ьт) (42. 4) Внося сюда значения // и Ь„находим зависимость М, и — 2у 0 1 + М~ 4+и — 22 (42.5) то ар —— Ь(46 — 1); из геометрических соображений нсно, что 6+в А- — +у= п; далее, в областях ОР0, 00В $=сопз(, откуда 4 3 вытекает 36=1 — у+ — и.
4 Построение определяется теперь двумя параметрами †расстоянием О'А' и радиусом круговой дуги /с, которые находятся, как и ранее, из двух уравнений равновесия. Не останавливаясь на простых, но несколько громоздких вычислениях, приведем окончательные результаты. При Т =- 1 радиус !с обрзщается в нуль и второй тип поля переход//т в первый, Прн у<1 второе решение дает меньшие значения предельного моментз.
Соответствующая зависимость показанную на рис. 116 пунктиром. Как н ранее, жесткие части нспытывзют вращение вокруг точки С; поле скоростей определяется последовательным решением характе- 2/ДГ ристнческих задач, Л', /Г/ргл/ Рассмотрим теперь другой вари- р/ /! ант поля скольжения (рнс. 115, б); * / здесь поворот происходит по кру- !« ,р й/аа говым линиям скольжения Р/,/ вок- р 11/гррр ! руг твердой и неподвижной «цзпфыл ОРАДР.
В !~, ОВ0 — состояние рав- Г! ! р номерного растяжения + 2Ь, в об- ! ! ласти, примыкающей к нижнейдгрз- l ни, — состояние равномерного сжз!! / l; тия — 2Ь. Треугольная облзсть ОВ0 смыкается с центрированным полем 00Р, которое соединяется с ~® пластической зоной в нижней Рнс. 11б. части крутовыми линиями скольжения РО, Вдоль А'ОРО т) =-сопз(, следовательно, т)р-— -т)о; так как 1 и 184 [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
