1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Так как скорости движения жестких частей заданы, а угол наклона нормали к лилии раздела вычисляется через 1 9 = — (т) — Й), то известны вдоль линий раздела нормальные составляющие скорости («или о). Хотя на физической плоскости х, у сетка линий скольжения неизвестна, на основании указанных данных можно найти функции «= «($, т)), о=о(В, а)). При этом граничные условия для скоростей на линии контакта являются избыточными и позволяют найти на плоскости в, т) отображение контактной линии. Вдоль последней известны х, у, а следовательно, и ккоординатыа х, у (см. Й 33), Для х, у имеем дифференциальные уравнения (33.3) [гл. плоская дееогмация В качестве примера рассмотрим схему решения задачи о вдавли.
ванин гладкого выпуклого штампа в пласапческий слой, лежащи на гладком основании (т"~. Выпучиванием поверхности слоя вблиз штампа пренебрегаем. !Птамп внедряется со скоростью У; жестки боковые области отодвигаются со скоростью О. Предполагаема конструкция поля скольжения показана на рис. 154. Отображение этого поля на плоскости характеристик $, т[ дано на рис. 155. Вдоль линии раздела ОАеВ С (или ОА;В',С') нормальная составляющая скорости непрерывна и вычисляется через У и угол Рис. 155.
Рнс. 154. 0 = — — (т[ — $). Таким образом, вдоль отрезка характеристики ОА ВаС 1 2 (или ОА',В;С;) известна составляющая скорости и (илн и). Решая последовательно характеристические задачи для уравнений (51.1), находим и=-и($, т)), п=п(5, т)) в области ОС СВС СО (рис. 155].
Вдоль линии контакта С'С нормальная составля!ощая скорости равна а„= — Ъ'а!пф или (51.3) и — и = Ъ' з!и ф. Но на линии контакта касательное напряжение равно нулю, следовательно, линии скольжения подходят к контуру под углом ~ 4 и ф = 0 — 4 тс = — (т[ — 5) — -и. Тогда условие (51.3) определяет 3 1 3 4 на характеристической плоскости отображение линии контакта — кривую С;В,С,; точки С', С отображаются на отрезки С;С; и СеС,. Так как уравнения контактной линии х = х (ф), у =у (ф) заданы, то вдоль С,С„В,С„С, можно вычислить (см. й 33) граничные значения функций х, у.
Функции х, у в области С;А,С, определяются решением задачи Коши по данным на дуге С;В,С,. Для остальных областей имеем характеристические задачи. 225 задачи к ГлАВе ч Заметим, что, привлекая условия на оси симметрии Оу, можно строить решение лишь з области ОА»В»СВзАоО. Решение краевых задач для уравнений (51.1) и (51.2) может быть проведено различными способами. Наиболее простым является применение конечноразностного метода Массо.
Функции и, ей х, у удовлетворяют телеграфному уравнению. Решение соответствующих краевых задач можно также получить аналитически с помощью формулы Римана. Подробности вычислений читатель найдет в упомянутых выше работах. ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1! 1. Пусть в некоторой области ц =сапа(=да (простое напряженное состоя- ние); одно семейство линий скольжения — семейство прямых линий, Найти уравнение второго семейства линий скольжения (как семейства ортогональных линий). 2.
Написать формулы для вычисления полей скольжения н скоростей. принимая наклон хорды по значению 0 в начальвой точке. 3. Найти предельную нагрузку для симметричного клина (Е.' 2у) со сре- занной вершиной, испытывающего равномерное давление по площадке среза (асмятие тупого лезвия»). и Отвепь р =23 1+ — — у) . в=, 2 4.
Найти предельный изгибающий момент для полосы, ослабленной сим- метрично расположенными угловыми вырезами (4 42,4), при первом типе поля. Оп»вет, М =- М ~ ! + — — у ) . а/ 2 5. Найти предельйую нагрузку при изгибе короткой клинообразной кон- соли силой ($ 43,4); ограничиться рассмотрением первого типа поля сколь- жения. О. Вывести формулу (4!.2) для предельной нагрузки при растяжении полосы с угловыми вырезами. 7. Вывести формулу (41.5), В.
Найти предельную нагрузку для растягиваемой полосы с глубокими симметричными угловыми вырезами с круговым основанием. 9. Найти предельную нагрузку для растягнваемой полосы с прямоуголь- ными вырезамн. 10. Построить в задаче о сжатии слоя сетку скольжения в области АВСВ' (рнс, !34), разбив дугу АВ на небольшое (4 — 5) число частей. 11. Вычислить поле скольжения в задаче о волоченни полосы для случая д ! — =02, у=!5', Круговые дуги ОС, СЕ разбить на небольшое (3 — 5) Н число частей. 12.
Найти предельную нагрузку прн изгибе консоли, очерченной дугами окружностей радиуса !! (рис, 123), при втором типе поля скольжения. 13. То же, но прн условии, что одна грань консоли †прямолинейн. 14. Найти предельную нагрузку при изгибе консоли (рис. 1!3) давле- нием, равномерно распределенным по верхней грани (поля будут несиммет- ричны относительно оси х и аналогичны рис. 119, 120). 15. Найти предельную нагрузку для кругового полукольца (О~ф~п), изгнбаемого силами Р, касательными к торцам ф=0, ф=п. 3 л, м.
Качанов Глава У) ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯН'ИЕ й 52. Уравнения плоского напряженного состояния дтлу дпу — + — =О. дх ду дп» дт»„ — + — =О дх ду (52.1) 2. Уравнения плоского иаяриженного состояния при услови текучести Мизеса. Условие Мизеса в рассматриваемом случае принимает вид а'+ о' — о„п„+ Зт,'„=о,*=ЗЬ', (52.2) или в главных осях пь + оа о1оз = оз.
1. Плоское напряженное состояние. В этом случае компоненты напряжения а„ т„„ т, (в системе координат х, у, г) равны нулю, хю а компоненты и„, и, т„ не зависят от координаты л, Плоское напряженное состояние приближенно реализуется в тонкой пластине, деформируемой под действием сил, лежащих в ее срединной плоскости. Компоненты напряжения о„ т „ т, малы по сравнению с другими составляющими, так как основания пластины Ь ст У г.=- ~ — свободны от нагрузок, а хб';бР толщина пластины Ь мала по сравнению с поперечными размерами. х По этой же причине напряжения о„, о, т„мало изменяются по толРнс. 156.
щине. В дальнейшем под о„о, т„ понимаются осредненные йо толщине значения соответствующих компонент напряжения, а компоненты п„т„„с, считаются равными нулю. В этих условйях дифференциальные уравнения равновесия элемента пластины (рис. 156) Ьдхпу при постоянной толщине Ь и отсутствии объемных сил имеют вид: 3 52) уРлвнения плОскОГО напгяженного состояния 227 Постоянная )д равна пределу текучести при чистом сдвиге т,. Последнее уравнение представляет в плоскости о„ ох эллипс, наклоненный под углом — к осям координат (рис. 157) и отсекаю- 4 щий на них отрезки о,; при этом главные напряжения по величине 2 не могут превышать =о = 2)2. Полуоси эллипса соответственно ~/.3 5 равны )У 2о и )У 2т . При развитых пластических деформациях можно пренебрегать компонентами упругой деформации в уравнениях пластического течения и исходить из соотношений Сен-Венана — Мизеса (13.1 2) для жестко-пластического тела, В данной задаче эти соотношения можно записать в форме (и„, О не зависят от х) ""к дх да~~ де да + ду ду дх 2ок — О 2Π— Ок бт (52.3) Теперь вместе с уравнениями Х равновесия (52.1) и условием Рнс.
157. текучести (52.2) имеем систему пяти уравнений для пяти неизвестных функций о, о, т„, о„, О . ку 3. Уравнения плоского напряженного состояйня при условйи текучести Треска — Сен-Венана. В зависимости от знака главных напряжений од, о максимальные касательные напряжения развиваются по различным площадкам. Если о„о,— разных знаков, то, подобно случаю плоской деформации, максимальное касательное напряжение равно тмах = 2 ~ггд — СГХ) = 2- У(О„ — О„) + 4ткд, ! 1 = — о тмах 2 д и действует по площадкам, нормальным к плоскости х, у и делящим пополам угол между главными осями о„ о, (рис.
158, а). При этом на плоскости х, у будут два ортогональных семейства линий скольжения. Если же о„, о — одинакового знака (например, о, ) О, о, ) О, пРичем о, ) сдя), то максимальное касательное напРЯжение Равно (гл. ш 228 плоское напгяженное состояния и действует по площадкам, параллельным оси о и наклоненным под углом — к плоскости м, у (рис. 158, б). На последней площадки 4 скольжения оставляют один след, т, е, одно семейство линий, которые условимся также называть линиями скольжения. Направление такой линии скольжения совпадает с главным направлением о,. Вследствие г еl сказанного условие текучести Тре() ф ска — Сен-Венана принимает вид о,— о,=ьо„если ого <О; ое о =- +о или о =л-Ом (52.4) если отоз)~0. Эти уравнения представляют на пло-(с еу скости о,, о, шестиугольник (см.
рис. 157, пунктир), вписанный в зллипс Мизеса. Вопрос о связи между скоростями ег деформации и напряжениями при услоРнс. 158. вин текучести Треска †С-Венана обсуждался в 9 16. Для плоского напряженного состояния О, = О,=- 01 сечение пРавильной шестигранной призмы, изображающей в пространстве напряжений о„о„о, условие текучести Треска — Сен-Велена, плоскостью о, = 0 представляет собой рассмотренный выше шестиугольник. Нормаль к призме не содержится в плоскости чертежа, однако проекция нормали перпендикулнрна к сторонам шестиугольника (рис.
159). Следовательно, отношение глзвных скоРостей дефоРмации $т:яз равно отношению направляющих ко- О синусов нормали к шестиугольнику в рассматриваемой точке. Присоединяя сюда условие несжимаемости 9т+~з+1з —— О, (52 5) можно найти и главную скорость Рнс. 159. деформации $з, Условимся внутренние точки отрезков АВ, ВС, ...
называть соответственно режимами АВ, ВС, ..., а вершины шестиугольника А, В, ... — режимами А, В, ... Рассмотрим более подробно некоторые типичные случаи. Случай о,о ( 0 соответствует наклонным граням АВ, глЕ (режимам АВ, слЕ). Остановимся для определенности на режиме глЕ. 9 52) уРАВнения плоского нАНРяженного состояння 229 Тогда и, ) О, и ( О, и условие текучести имеет вид (52.6) По ассоциированному закону (16.10) получаем: ьа = (52.7) т. е. $,= — вз. Из условия несжимаемости теперь следует: Ба=О т, е.
толщина пластинки не изменяется. Величина Х ) О является неизвестной функцией, определяемой при решении каждой конкретной залачи, Приведенные уравнения имеют место и в случае плоской деформации (9 31). ьх чу 2 2 = — (ст+су) х — (сг — ьу) соз 2ф, Чху = ($г — $г) гдп 2ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
