1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Приведем нх без полробных доказательств (читатель легко их воспроизведет). 1) Если переходить от одной характеристики семейства () к другой вдоль любой характеристики семейства сс, то угол наклона первого главного направления гр и функцхя Й будут изменяться на одну и ту же величину (аиалог первой теоремы Генки). Для доказательства достаточно воспользоваться соотношениями 2Й == $ .1- т), 2~р — т) — 1.
(53. 13) 2) Если некоторый отрезок характеристики — прямой, то вдоль него постоянны ьт, тр, угол пересечения ф параметры $, т) и компоненты напряжения о„, П, Тхж 3) Если некоторый отрезок характеристики (например, а-семейства) — прямой, то все соответствующие отрезки характеристик того же семейства — прямые; е такой области реализуется яростое напряженное состояние и параметр т) постоянен. В самом деле, возьмем построение, аналогичное рис. 67; вследствие прямолинейности характеристики А„А, из первого свойства вытекает, что е)тт — — фтз, Йтт — Йтг, ио тогда ьттт = ьттг, фтт = фтт. р-характеристики пересекают прямую сс-линию под одним и тем же углом (изменяющимся, конечно, от одной а-линии к другой).
4) Если прямолинейны оба семейства характеристик, то е такой области напряжения распределены равномерно и параметры постоянны. Система дифференциальных уравнений (53.5) — приводимая н линеаризуется путем обращения переменных (аналогично уравнениям плоской деформации). Престол~у и равномерному напряженным состояниям соответствуют интегралы: 1, й = сопз1, 2. т)=сопя(, 3. я = — сопят, т) = сопз1. Как и в случае плоской деформации, при решении необходимо рассматривать различные краевые задачи. В общем случае поле характеристик строится численными (или графическими) методами, подобными изложенным в предыдущей главе. При этом исходными соотношениями являются уравнения характеристик (53.12).
Для простых напряженных состояний краевые задачи имеют элементарное решение. 4. Простые напряженные состояния. Рассмотрим более детально простые напряженные состояния, играющие важную роль в приложениях. [гл. ш 236 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ Простейшим решением етого типа является равномерное напрлженное состояние. В такой области сетка характеристик образуется двумя неортогональными семействами параллельных прямых (рис. 162).а параметры С, Ч постоянны (й =.
~0, Ч = Че). (ее+ ЧО) Ч1 2 (ЧО ье) 1 1 далее вычисляются 01 и угол ф У прямолинейной свободной границы всегда будет поле равномерного одноосного растяжения или сжатия величиной )ГЗ 1г, параллельного границе (рис. 163), Например, если ось х параллельна граРнс. 162. нице, то в прилегающей области пн= =Ну 3 й, и =т„=О.
Действительно, у «у нормаль к свободному контуру совпадает с одним из главных направлений, 1р = О, и граничные точки испытывают либо одноосиое растяжение, либо одноосное сжатие. Рассмотрим случай растяжения; тогда на границе со = - - (рис. 157), т. е. Изображающая точка 3 лежит в области гнперболичностн, Согласно (53.11) находим, что тр =- 54'44' =— трт. Таким юбразом, контур не является характеристикой, и для нахождения поля напряжений вблизи границы имеем задачу Коши.
Решение определено в треугольной области О'АВ. 2 53) постгогние гешвний пги ьсловии тякьчести мизеса 237 до 1 д'сгг — '+ — — г+ — г =о, дг г дд дтга ! дог зт,, гв+ а+ гг дг г до г (53. 14) и условие текучести а,* — а,а, )- аз + Зт,'а =. 3(гг (53. 15) удовлетворяются, если взять а,=)г соз0, а„.=2(г соз0, т„= — !г едп О.
(53.16) Очевидно, что вдоль ралиус-вектора напряжения постоянны. Вдоль линии перехода О А должны быть непрерывными компоненты напряжения ам т„(по условию равновесия элемента линии О'А, см, 2 39). Рассматривая равновесие заштрихованного треугольного элемента, примыкающего к границе О'А (рис. 163), легко находим, что l'2 з!по= "ат —, т. е. полярная ось О'О должна быть отклонена от линии О'А на угол 54'44'. В этой системе координат уравнение характеристик второго семейства имеет простой вид гг я!п 0 = сопя!.
(53.17) Пусть на прямолинейной границе действует равномерное нормальное напряжение р. Второе главное напряжение вычисляется по условию текучести (52.2). Если напряженное состояние на границе отвечает точкам гиперболичности на эллипсе (рис. 157), то решение вблизи границы легко строится аналогично предыдущему случаю (когда р=.О). В простом напряженном состоянии лишь олно семейство характеристик состоит из прямых линий. Так же, как и в случае плоской деформации (2 33), имеет место теорема: К области равномерного напряженного состояния может примыкать лишь область простого напряекенного состояния. Действительно, пусть О'А (рис.
163) — граничная характеристика области равномерного напряженного состояния. Если к этой области вдоль О'А примыкает область лругого решения, то по свойству 3, изложенному в предыдущем разделе, все характеристики того же семейства, что и характеристика О'А, будут прямыми. Рассмотрим более подробно важный частный случай, когда прямолинейные характеристики исходят из одного центра (центрированное поле). Пусть это поле примыкает к области одноосного равномерного растяжения О'АВ, Введем вспомогательную полярную систему координат г, 0 с полюсои в точке О' и полярной осью О'О"; положение последней будет в дальнейшем выбрано.
Дифференциальные уравнения равновесия в полярных координатах 238 [гл. ю плоское нхпгяженнов состояние получаем лифференциальное уравнение ('К'3 +с1кю) йо-Р 2 †.=-О, решение которого имеет вил С -гзм г = —.— е згп м (53.20) где С в произвольная постоянная. Пусть, например, контур выреза г = а (рис.
164) свободен, т. е. на нем о, =- О, следовательно, при г =- а ю =- -- . Легко видеть, ="3' что О Г ')а рй 1 т'з(з- ). (а/ 2 з1пм (53. 21) Так как оси г, 9 — главные, то соотношения (53.8) принимают вил ьа -(- 9 = сопз1, Ряс. 164. и с учетом зависимости (53.21) определяют уравнения характеристик в параметрической форме. По мере удаления от контура г == а угол между характеристиг ками убывает и при оз= — ( при этом — = — 2,07) оба семейства ха- 6(, а рактернстик слива1отся в одно (рис. 164).
Криволинейные характеристики асимптотически приближаются к О'О", для которой 9 =- 0; это показано пунктиром на рис. 1 63. Вдоль О'0" оба семейства характеристик сливаются в одно, а а =.2(г, о = (г ( параболическая точка ю = — на эллипсе Мизеса, В= , г= б рис. 157) . 5. Осесимметричное поле. Рассмотрим осесимметричное напряженное состояние при условии т„ = 0 (отсутствует скручивание), Тогда компоненты напряжения о„ о„ будут главными напряжениями и согласно (53.1) имеем: а, =.. 2(г соз( со ( †) , а, =. 27г соз (ю — -„-) .
(53. 1 8) Здесь выбран вариант формул (53.1) для случая о,)о„. Внося (53.18) в уравнение равновесия иг (53. 19) 9 53) постгоение гашений пги головин тектчести мизеса 239 При — ) 2,07 решение определяется теми же формулами (53.18), а (53.20), но вещественных характеристик нет (область зллиптнчностн). Распределение напряжений о„, о показано на рнс.
164. При оо го — О, а о,— о„о,— о„т. е. пластина испытывает равномерное растяжение на бескойечности. 6. Случаи параболичности и зялиптичноети. В точках аарабои 5п личности л'(со) =О, тогда а имеет постоянное значение — или— 6 6 (рис. 157). Оба семейства характеристик (53.7) сливаются в одно (ф.—.- 0).
Из системы дифференциальных уравнений (53.5) вытекает, что <р = сопз1, Семейство характеристик является семейством прямых параялельных линий. Таким образом, зто решение приводит к равно- и мерным напряженным состояниял~ частного вида, например, при ы.=— 6 о,=-2я, оз — — (г, произвольно лишь главное направление. В эллилти«еском случае построение решений системы нелинейных уравнений (53.5) связано с болыпими трудностями; общие методы отсутствуют, имеются лишь решения для осесимметричных задач.
7. Определение поля скоростей. Рассмотрим ~еперь систему уравнений (52.3) для скоростей, предполагая, как обычно, напряженное состояние известным; тогда система (52.3) — линейная с переменными козффициентами, Перепишем ее в следующей форме: от) д (2от — и.) дх ' (53.22) В области гиперболичности уравнений для напряжений уравнения для скоростей будут также гиперболическими, причем характеристики обеих систем совпадают.
В самом деле, пусть на линии Е, ие являющейся линией разрыва скорости, задана скорость. Проведем в произвольной точке Р линии Е систему координат С г), направив ось 1 по касательной к Е. Уравнения (53.22) сохраняют форму и в новой системе коордидс«дс« наг. В точке Р нам известны производные — — — ". Производные ду дг д«« дс„ — †" ограничены и однозначно определяются из уравнений (53.22), дя ' дя кроме случая, когда 2о,— и, = — О. Но условие 2о, — о„выполняется вдоль характеристики напряженного состояния (см, выше, раздел 3).
Следовательно, решение задачи Коши для скоростей невозможно вдоль характеристической линии напряясенного состояния, [гл. ш 240 ПЛОСКОЕ НЛПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ Характеристики уравнений для скоростей совпадают с характеристиками уравнений для напряжений. Далее, из уравнений (53.22) вытекает, что вдоль характеристики д«1 — 0 (53.23) т. е. вдоль характеристической линии скорость относительного удлиненил равна нулю (так же как и в случае плоской деформации). Такое же условие выполняется и вдоль характеристик второго семейства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
