1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 48
Текст из файла (страница 48)
9. То же для балки на двух опорах. Л.М. Казаков Глава РП ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ 8 88. Уравнения осесимметричной деформации при условии текучести Мизеса дв, дт, ог ве — '+ — '*+ — '=О, дт т, до, + — =О. дг г дг (58. 1) Компоненты скорости деформации определяются формулами: дн и дм ди йг 1. Общие замечания. Осесимметричные задачи теории пластичности представляют значительный интерес для приложений. Пусть ось рассматриваемого тела вращения совпадает с осью цилиндрической системы координат г, ~р, г, а заданные нагрузки (или смещения) также обладают осевой симметрией.
Тогда деформация такого тела будет осесимметричной. При этом компоненты напряжения н смеще- ния не зависят от полярного угла ~р. б~ Исключим из рассмотрения заггаг дачу скручивания тела; кручение круглых стержней переменного диа- Х 6; метра кратко обсуждается в главе ЧП! (8 66). Тогда можно принять, что отсутствуют окружная составляющая скорости о =О н компоненты напряжения су у' Рнс.
178. Отличные от нуля компоненты напряжения о„, о„, о„ т„ (рнс. 178) и составляющие скорости о„ о, (далее в этой главе будем обозначать их через и, тв) являются функциями координат г, в. Дифференциальные уравнения равновесия при отсутствии массо- вых сил имеют вид: ф 58] УРАВнения деФОРИАции ПРН УслОВии текУчести мизесА 259 Сюда следует присоединить уравнения пластического состояния. Это легко сделать, ио, учитывая трудности решения, ограничимся здесь анализом уравнений для жестка-пластического тела.
«Одномерные« осесимметричные задачи, для которых напряженно- деформированное состояние зависит лишь от одной независимой переменной в радиуса г, являются относительно простыми (хотя и требуют иногда применения численных методов) и затрагивались уже ранее (полый шар и цилиндрическая труба под действием давления, осесимметричное равновесие тонкой пластинки и т. д.). В этих задачах можно учесть упругие деформации, упрочнение и другие механические свойства. Анализ общей осесимметричной задачи, даже для жестко-пластического тела, наталкивается на большие математические трудности, что побуждает к поискам различных возможных упрощений в постановке задачи. 2.
Соотношении Сеи-Веиаиа — Мнвеса. Для жестко-пластического тела следует исходить из соотношений Сен-Рензна †Мизе (13.12), которые в рассматриваемом осесимметричном случае принимают вид: $, о,— а Я о« вЂ” о 5, а,— о Н 2т ' 11 2Т ' ]1 2Т где интенсивность скоростей деформаций сдвига равна — (эг — $.)'+ ($в — $.)'+ ($. — $г)'+ — т)'«. (58.4) гг2 гг з Компоненты напряжения, представляемые формулами (58.3), удовлетворяют условию текучести Мизеса (о„— а„)я+ (о — о,)' - (а, — о,)'+ 6т,; = 6т,'.
(58.5) Компоненты скорости деформации удовлетворяют уравнению несжимаемости ди и дз — + — + — = О. дг г дг (58. 6) Выписанные соотношения вместе с дифференциальными уравнениями равновесия образуют систему шести уравнений с шестью неизвестными функциями а„а„а„тим и, тв, В общем случае эта система является эллиптической (««]. Заметим, что для нахождения четырех компонен~ напряжения о„ а„, а„т„имеются лишь три уравнения в напряжениях (58.1), (58.5). В отличие от случаев плоской деформации н плоского напряженного состояния осесимметричная задача ие является локально статически определимой; поэтому раздельный анализ полей напряжения и скоростей в рассматриваемой схеме исключается.
260 [гл. чп освсиммяттичиля дввогмлция о„в, =- р + д соа 2ф т„= ~у з(п 2ф где положено 1 1 р = 2 (от+от) ч = (от — оа). 2 (58.7) Условие а = а, приводит к очень частному случаю напряженного состояния (см. ф 59, режим А). Поэтому в режиме полной пластичности полагают, что о = пг (илн а ). Налагая на это состояние т гндростатическое давление о = — а„ приходим к напряженному сос- тоянию О, О, о,— в„ соответствующему одноосному растяжению или сжатию. Таким образом, в условиях полной пластичности напряженное состояние лежит на одном из ребер призмы текучести Треска — Сен-Венана (рнс.
14); 1 2 легко видеть, что здесь т ,„ = — [о — о ~, а Т= — т ыг Уз Условие полной пластичности сильно упрощает систему уравнений для напряжений и приводит к локально статически определимой задаче для напряженного состояния. Некоторые точные частные решения получены полуобратным методом. Отметим здесь задачу о течении пластической массы в круговом конусе (В. В. Соколовский [ы]), задачу о сжатии цилиндра усилиями, распределенными на торцах по определенному закону (Хилл [аг[), задачу о выдавливании из сжимающейся цилиндрической втулки (Хилл [аг)). Имеются приближенные решения ряда практически важных задач, основанные на тех илн иных дополнительных предг 1Уг положениях. 3.
Условие полной пластичности. Один из приемов, позволяющий как-то преодолеть создавшиеся трудности и получивший известное распространение в инженерных расчетах, принадлежит Генки [™[. Генки предложил принять, что в осеснмметричном напряженном состоянин реализуется режим так называемой полной пластичности, когда два главных напряжения равны. Напряжение а является, очевидно, главным. Обозначйм через о„а, (о,' г ) о,) главные напряжения в плоскости т, я (рис. 179), а через г[) — угол между первым главным направлением и осью г. Тогда ф 59! уРАВнения НРИ услоВии текучести тРескА †с-ВенАИА 261 Действительно, теперь для четырех компонент напряжения мы имеем четыре уравнения †дифференциальн уравнения равновесия (58.1), условие текучести (58.5) и требование пт = и .
При этом система уравнений для напряжений будет гиперболического типа; ее характеристики совпалают с линиями скольжения; подробный анализ втой системы рассматривается в слелующем параграфе (режим В). С помощью приемов, аналогичных приемам, применяемым в случае плоской деформации, можно рассмотреть разнообразные частные задачи, Анализ поля скоростей по соотношениям Мизеса провести не представляется возможным, поскольку система уравнений оказывается переопределенной. Впрочем, это затруднение отпадает при переходе к условию текучести Треска — Сен-Венана и ассоциированному закону течения (см. ниже, 9 59). Однако решение осесимметричной задачи лишь при условии полной пластичности в общем случае построить нельзя. В отдельных частных задачах условие полной пластичностя может оказаться приемлемым (см. ниже, Я 60, 61). Заметим, что для сплошного тела на оси симметрии Ох и, = от; иногда это соотношение приближенно выполняется во всем теле.
По-видимому, решения при условии полной пластичности дают в ряде случаев приемлемое приближение к предельной нагрузке. В предположении полной пластичности А. Ю. Ишлинский (тта1 изучил залачу о вдавливании жесткого шара в пластическую среду; эта задача янтересна, в частности, в связи с известным методом Бринеля испытания тверлости материалов. Условие полной пластичности широко используется в инженерных расчетах обработки металлов давлением (ковка, штамповка, прессование, см. (т'ат)). 9 59. Уравнения осесимметричной деформации нри условии текучести Треска†Сен-Венаиа 1. Основные соотношения. При переходе к условию пластичности Треска — Сен-Венана и ассоциированному закону течения математяческая формулировка задачи упрощается; преимущества особенно значительны для задач с известными главными направлениями.
Условие текучести теперь имеет вид т,„= сопз1 =)г (2Й = и,), (59.1) причем 2т,„=шах((о,— о,~, (а,— и„(, (и„— и,(). В пространстве главных напряжений это условие определяет поверхность правильной шестигранной призмы (рис. 14). По ассоциированному закону вектор скорости деформации направлен по нормали к поверхности текучести вдоль ребер призмы течение остается неопределенным (см.
$ 16) 262 [гл. чи осесиммвтгичнхя двеогмация Согласно условию несжимаемости а,+$„+$,=0. (59.2) Окружное напряжение а„ является главным (а„ = аа). Рассмотрим сечение призмй Треска †С-Веф~ ,г д~/,» нана плоскостью а,= сопз1. Это будет шестиугольник, показанный на рис. 1 80; координаты его центра О, равны (а, а,,). Условие текучести и главные ~4 — скорости деформации в различных режимах приведены в таблице; Л~ здесь Х„Х,— произвольные не- отрицательные скалярные функции с (свои для каждого режима), Обратимся теперь' к подроб- ному анализу течений в различд ных режимах.
2. Режим А. Здесь от=па и реализуется, как уже отмечалось, очень частный случай напряженного состояния. Именно, о = 0 и Условие текучести и скорости деформации $59) тгхвнвния пгн головин твктчхсти тгвска — свн-венлнх 263 согласно (58.7) имеем т„= О, а и, =- и, =р. Интегрируя теперь дифференциальные уравнения равновесия (58.1), получаем: о,=2й)п —, г ' о' =и — 2л, т г (59.3) 8а-О. (59.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
