1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 49
Текст из файла (страница 49)
4) Так как главные скорости деформации равны ~,, ~.=-,' а,+~.) ~фУа,— ~,)'+В,*., то условие (59.4) приводит к дифференциальному уравнению (59.5) Присоединяя сюда условие несжимаемости ди и дм — + — + — =О дг г дг (59.6) приходим к системе двух уравнений, определяющей скорости и, тв, причем и О. Если поле скоростей найдено, напряжения находятся из дифференциальных уравнений равновесия (58.1), условия текучести о' — и =2)г (59.7) и условия соосности напряжения и скорости деформации. Таким образом, этот случай является локально килежатически определимым. Аналогичное течение происходит в режиме СВ (но и ) 0). Вернемся к анализу уравнений (59.5), (59.6) для скоростей.
Пусть и ~0; для и = 0 имеем элементарное решение ти =сопз1. Уравнение несжимаемости (59.6) может быть представлено в виде — (ги) + — (гтв) О. д д дг дг Очевидно, что можно ввести потенциал скорости 1 дР и= — —, гдг' 1 дУ яа= — —— г дг ' (59.8) где с,.э 0 в произвольная постоянная. По закону течения $ О, следовательно, и ( О. В плоскости г, я отсутствуют касательные напряжения, поэтому проекции скорости и, ти являются непрерывными функциями г, я (ибо разрыв касательной составляющей скорости может происходить лишь на поверхности скольжения, гда т,„=- (г).
Режим х1 аналогичен рассмотренному режиму А, 3. Режим АВ. В этом случае $ О, следовательно, и(0. Далее, имеем: (гл. чп всвснммвтгичнля двфогмация для которого из (59.5) вытекает дифференциальное уравнение Для определения типа этого уравнения выясним в возможно ли построить решение вблизи некоторой линии Ь при заданных на ней дУ дУ1 значениях скоростей и пг ( т. е. производных — †) . Вдоль лид. д) нии Е имеем: I дУ 1 дЧг дЧг а !1 — ) = — йг+ — йе ~дг ) дга дгда Из этих соотношений и уравнения (59.9) можно вдоль ь' вычислить вторые производные потенциала У. Выписывая далее приращения вторых производных вдоль Ь и используя (59,9), нетрудно обнаружить, что производные третьего порядка не определяются единственным образом, если кривая А такова, что вдоль нее выполняется одно из двух соотношений: 1 УдаУ д'У 1 дУ1 дг дЧг 1 дУ дЧг — ~ — — — — — — ) — = или — — + — — или 2 ~дат дга г дг ) дг дгдг+ г да ' дгде ' Эти соотношения с помощью (59.8) и известных формул $„, $,= — ($,+5,) ~ — Дт — $з) соз2ф, 1 (59.10) Ч„=(ьт — ье) а1п 2ф, ) где ф — угол между первым главным направлением скорости деформации и осью г (рис.
181), можно г сг представить в виде Нг или — = 1к ф, Нг (а;линии), (р-линии). / йа илн „вЂ” = — с(яф дг (59.11) Таким образом, уравнение (59.9) имеет два различных семейства характеристик; последние ортогональны и соеяадают с траекториями главных направлений скорости деформации. СоотРис. !81. ношения вдоль характерястик имеют довольно сложный вид; мы не останавливаемся на их выводе (см. ("т)). Решение различных краевых задач для потенциала скоростей У может быть достигнуто конечно-ревностным методом Массо.
9 59) кгьвнвния пги головни твкгчвсти тгвскл — свн-ввнхна 265 Перейдем теперь к системе уравнений для напряжений, состоящей из дифференциальных уравнений равновесия (58.1) и условия текучести (59.7). Последнее может быть записано также в форме о„ =р + д — 2й. Внося это значение о„ и напряжения о„ о„ т„ согласно (58.Т) в дифференциальные уравнения равновесия, приходим к системе уравнений: др де де . (. дв 'дф ') дг дг — + — соз2ф+ — сйп2ф=24 (з!и 2ф — — соз2ф — ~!— дг ~ дг !дг ! — — (2й — а+!у соя 2ф), ! дг дг дг ~ дг дг ! — + — э!и 2ф — — соз 2гР = — 2!) ( соз 2ф — + гдп 2ф — )— др де, де ( дф . дф') !- — — д з!и 2ф (59.12) о„=о,=-1-й — +В(г), где тс(г) †произвольн функция.
Теперь из первого уравнения равд новесия следует, что о„=„— г!с (г). Рассмотренный режим связан с тривиальным полем скоростей (и = О, те = те (г)). 5. Режим В соответствует состоянию «полной пластичностиь, когда о равно одному из главных напряжений; в данном случае о =о . В предыдущем параграфе уже было отмечено, что для ойределення четырех неизвестных компонент напряжения теперь имеются четыре уравнения, т. е.
локально задача статически определима. Считая угол тр известным нз решения кинематической задачи, имеем систему двух уравнений для неизвестных функций р, а. Не. трудно найти (например, обычным кдетермннантнымь способом, привлекая выражения для г)р, гй)), что система (59.12) — гиперболического типа с прежними характеристическими линиями (59.11). Таким образом, уравнения для скоростей и напряжений имеют одни и те же характеристики †траектор главных напряжений в плоскости г, г.
4. Режим ВС. Здесь о является промежуточным главным напряжением, поэтому $„=0, т. е. и=О. Тогда нз уравнения несжимаемости вытекает, что мг зависит только от г; те =те (г). Далее, находим, что $г = $, = О, а т)гг =те'(г). Следовательно, координатные направления г, г совпадают с направлениями площадок максимальной скорости сдвига.
На этих же площадках действуют напряхгення о,=-о, и т„,= ~й. Интегрируя второе нз уравнений равновесия, получаем: 266 (ГЛ. »Ч1 ОсесимметРичнАя деФОРмАция Режим С аналогичен режиму В, но здесь алгебраически наибольшим напряжением является главное напряжение о, и о = от. Системы 1 уравнений для сингулярных режимов В и С аналогичны, достаточно рассмотреть один из них. Остановимся для определенности на режиме С. Соответствующая система уравнений для напряженного состояния была изучена Генки. Эта система состоит из диффер ренциальных уравнений равнор весия (58.1), условия пластичности а, — о = 2(е и равенства а, = о . Линии скольжения а, р (траектории т ,„),в плоскости г, х наклонены под углом — к главным направлениям 4 / (рис.
182). На площадках l скольжения действует нормалью 4 1 У Т ное напряжение р= — (от+о,); 2 заметим, что р отлично от Рис. !82. среднего давления о. Очевидно, что о„ =р + м, а угол наклона площалки скольжения 0 ф — — . Внося эти значения в формулы (58.7), находим: 4 о„а, р~ве!Ц20, т„,=(с сое 20, (59.13) Подставляя напряжения в уравнении равновесия (58.1), получаем систему дифференциальных уравнений для неизвестных функций р, 0: -- — 2й ( соз 20 — + в!п 20 — ) — (1 + з!п 20), (59.14) да 1, дг - дг! — Р— 2й (з!и 2 0 — — соз 20 — 1 = — — соз 20. Покажем, используя «детерминантный» способ, что зта система— еилерболическал.
Пусть вдоль некоторой линии А в плоскости г, х заданы значения искомых функций р, О. Для интегральной поверхности, проходящей через Е, имеем: с(р — дг+ — с(х, Йе = — с(г + — с(х, др ар аЕ аЕ дг дг ' дг дг (59.15) причем на 1. коэффициенты уравнений (59.14), (59.15) известны; по отношению к частным производным приведенные уравнения образуют систему четырех линейных неоднородных алгебраических уравнений. з 59! тглвнания пги условии тию'чести ттяскк — сзн-виньнл 267 Если Е является характеристикой, то вдоль нее указанные производные неопределенны, следовательно, определитель упомянутой алгебраической системы и надлежащие числители обращаются в нуль.
Приравнивая нулю определитель системы, находим лифференциальные уравнения характеристических линий: йг — =- 1д 0 (сс-линии), (59.16) йт — = — с(к 9 (р-линии). Итак, существуют два семейства ортогональных характеристических линий, совладаюи!их с линиями скольжения, Приравнивая нулю числители (в формулах Крамера), получаем соотношения вдоль характеристических линий: l р йзч й ( — — 20 ) — (з!п 9+ соз0) — =О (на сс-линии), (59. 1 7) /р йзз с! ( — + 20 ) + (з!п 0 (- соз О) — ' =- О (на р-линии), соз 9 йи+ а!и 9 йш+ — йз, =- О в!и Ос!и — соз9йчв — — йв =О 2т на сс-линии, (59.19) на ()-линии.
6. Заключительные замечания. Анализ течений для режимов ОЕ, Е, ЕР, Р, РА сводится к повторению изложенвых выше результатов с очевиднымя нзменеяиямн. где йз, йг †элемен длины вдоль сс- и ()-линий. Эти соотношении Я выражают условия пластического равновесия элемента сетки скольжения (рис. 182). Таким образом, для данного режима построение решения сводится к рассмотрению ряда краевых задач (Коши, начальной характеристической и т.
д.). Решение может быть получено применением конечноразностного метода Массо (аналогично задачам плоской деформации, гл. Ч). Необходимо учитывать возможные разрывы поляунапряжений. Обратимся теперь к определению скоростей и, ш; последние находятся из уравнения несжимаемости (59.6) и условия соосности тйп20(~ + — )+соз20(д — д ) =О. (59.18) При этом должны выполняться ограничения $з ( О, $„» )О; из второго неравенства следует, что и » )О. Нетрулно убедиться, что система уравнений для скоростей также гиперболическая; ее характеристиками по-прежнему являются линии скольжения (59.16).
Вдоль характеристических линий уравнения для скоростей принимают вид: 266 осзсимметгичнля дееогылция (гл. чп Границы зон, отвечающих различным режимам, заранее, вообще говоря, неизвестны, что существенно затрудняет решение. Построение решений требует тщательного анализа расположения еон с различными режимами и выполнения всех надлежащих ограничений и условий совместности; большое значение имеет правильное использование разрывных решений. В ззоч отношении известным предостережением (см. [ы')) служит ряд опубликованных ошибочных решений.
С более подробным анализом некоторых вопросов общей теории н решениями частных задач можно ознакомиться по работам (ы ы' "'); там же читатель найдет и дополнительные литературные ссылки. й 60. Напряженное состояние тонкой пластичной прослойки прн растяжении (сжатии) 1. Общие замечания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
