1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 52
Текст из файла (страница 52)
е. М =М,. Тогда из дифференциального уравнения (62.1) получаем (р=О при г) с): — — — рг — М при г~с, с, г 6 Я Мг= Ся 1 — ' — — рса — М, при г)с, (62.9) Рнс, 192. где Сю С вЂ” произвольные постоянные. Из условия ограниченности М„ в центре следует, что С„ =О. Из условия непрерывности М„ при г = с находим, что С, = — рса. 1 С возрастанием г изгибающий момент М, убывает, т. е. изображающая точка на рнс. 191 движется от С к В. На опоре М,=О и реализуется режим В, а в остальной части пластины — режим ВС, Удовлетворяя условию М„= 0 при г = Ь, находим предельную нагрузку М ст (ЗЬ вЂ” 2с) Картина пластического течения пластины в предельном состоянии определяется следующим образом, По ассоциированному закону для вям участка ВС имеем н„=О или — „, =О. Отсюда при граничном условии тв = О при г = Ь легко находим: ~ =0 (1--'), (гл.
ъ!! осесимметРичная деьоРмацня где пуз — значение скорости прогиба в центре, остающееся неопределенным. Таким образом, пластина при течении принимает форму поверхности конуса (пунктир на рис. 192). Если нагрузка р действует по всей поверхности пластины, то с = Ь; тогда предельная нагрузка равна Для зтого же случая численное интегрирование дифференциального уравнения (62.7), выведенного на основе условия пластичности Мизеса, приводит к результату Мг Р,=63 1,, 2) Пластина заделана и равномерно нагружена д!а'илением (рис. 193). Как и д предыдущем примере, вблизи центра реализуется режим ВС. С возрастанием г изгибающий момент М„убывает н обращается в нуль при некотором значении г= р. Далее, наступает".'режим ',ВА, который простирается в пластине до контура г=6, где М,= — М„ т. е, имеет место режим А. При г~ р согласно (62.9) будет Мг = М вЂ” — ргз.
1 6 При г=р М=О и Т 6Ма р =— р Рис. !93. При г)р М, — М„ =М„ и из дифференциального уравнения равновесия получаем: М =М 1п — — — р(г — р ) г 1 ,Р 4, Э где использовано условие Мг(„,=0. Пусть на контуре г=д М„= — М„ т. е. вдоль заделки образуется шарнир; отсюда следует трансцендентное уравнение 5+ 21п — =- 3 —, Р Р' определяющее р, а стало быть, и предельную нагрузку; по вычислениям рж0,73 Ь. Тзким образом, р.
=- 11,3 — „, . Ма 283 задачи к гллвк нп Обратимся теперь к определению скорости прогиба, В центральной области г ( р будет, как и в первом примере, ~о ™а+ С.г. — =О где юе, С„ — произвольные постоянные. Для г ) р (режим АВ) по ассоциированному закону течении х,:х,= — 1:1, т. е. Ззш 1 Зш — + — — = О. г(гз г г(г Нз контуре г =Ь тп= О; при этом условии получаем: тв=- С,!ив Ь где С,— произвольная постоянная. Отсюда видно, что условие йв „ — = О на контуре нс выполняется, поэтому вдоль контура действительно образуется пластический шарнир.
Произвольные постоянные С„, С, определяются из условий непрев~ рывности тв и „ — при г = р. Скорость прогиба тв в центре остается г(г неопределенной. форма прогиба пластины показана на рис. 198 пунктиром. 5. Заключительные замечания. Предельное состояние изгибаемых пластин изучено в многочисленных работах; назовем здесь работы А. А.
Гвоздева ['1, Прагера ["1, Ходжа [ю[, А. С. Григорьева 11ш1, А. А. !ильюшина [ы[ и других авторов (см. обзоры [ьь '"1). Большое распространение получило использование условия текучести Треска — Сен-Венана и ассоциированного закона течения; ари этом непосредственно связываются обобщенные величины — моменты и скорости кривизн. Такая же схема развита н для анализа предельного равновесия осесимметричных оболочек [ьь). Упруга-пластический изгиб круглых пластин исследован В. В. Соколовским [441 на основе уравнений деформацианиай теории, Текнналпам [мз[ на основе теории течения. Предельную нагрузку для пластин и оболочек удобно находить энергетическим методам, используя экстремальные свойства предельного состояния.
Этот вопрос рассматривается в следующей главе НП1, где в качестве одного из примеров обсуждается энергетический способ нахождения предельной нагрузки для круглых пластин (6 66). ЗАДАг(И К ГЛАВЕ НП 1. Найти решение дифференциального уравнения (62.7) для случая кольцевой пластинки, апертай па внешнему контуру и равномерно загруженной по внутреннему контуру. 2. Найти (прн условии текучести Треска — Сен-Венана) предельную на. груз«у для равномерна загруженной «аль«евой пластинки, апертай па наружному контуру. Г л а в а РНг ЭКСТРЕМАЛЬНЪ|Е ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ й 63. Об экстремальных принципах В теории пластичности, как и в теории упругости, важное значение имеют общие теоремы.
Сюдз прежде всего относятся теоремы об экстремальных свойствах решения и теоремы единственности. Меньший механический интерес представляют проблемы существования решений, весьма трудные, мало изученные и обычно связанные с рядом ограничений, диктуемых методом доказательства; однако для строгого обоснования непротиворечивости исходных уравнений эти теоремы необходимы. Экстремальные теоремы, помимо общего значения, открывают путь прямого построения решений, минуя интегрирование дифференциальных уравнений. В нелинейных задачах теории пластичности подобная возможность является весьма заманчивой. Важное значение имеют экстремальные лриниины в теории жестко- пластического тела.
В предшествующих главах много говорилось о трудностях, связанных с неединственностью схем решения в теории жестко-пластического тела. Это побудило нас ввести представления о кинематически возможных полях скорости и статически возможных напряженных состояниях текучести и сформулировать без доказательства критерий выбора. Этот критерий вытекает из экстремальных теорем, рассматриваемых ниже (ээ 64, 65). При достижении предельной нагрузки в идеальном жестко-пластическом теле возникает беспрепятственное пластическое течение. Предельное состояние можно интерпретировать как состояние, предшествующее разрушению. В связи с этим иногда предельное состояние называют состоянием пластического разрушения, а экстремальные теоремы, характеризующие предельную нагрузку, — теоремами о лластическом разрушении. Экстремальные теоремы для жестко-пластического тела приводят к эффективным способам прямого нахождения предельной нагрузки путем последовательного сближения верхней и нижней оценок (й 65).
В $ 66 приводятся разнообразные примеры использования энергетического метода. $64) экстгемвльныз пгинципы для жестко-пластического тела 285 Строгое изложение общих теорем теории упруго-пластических сред в подробную бнблнографню можно найти в превосходной работе В.
Койтера [«'], Многочисленные применения энергетических теорем наложены в книгах А. А. Гвоздева ['], А. А. Ильюшниа ['Ч, Нила [ы], Прэгера ["), Прагерэ и Ходжа [э'], Ю. Н. Рэботнова (ээ], Ходжа [ы] н других авторов. Различные дополнительные сведения по этому вопросу читатель может также почерпнуть в ряде обзорных статей [««ге ы]. й 64. Экстремальные принципы для жестко-пластического тела 1.
Общие замечания. Выше отмечалось значение экстремзльных принципов для жестко-пластического тела (с площадкой текучести), широко применяемых для построения приближенных решений. Условия пригодности схемы жестко-пластического тела обсуждались ранее; они существенно зависят от характера рассматриваемой задачи. При отбрасывании скоростей упругой деформации справедливы более простые соотношения теории Сен-Венана †Мизе (З 13) ЯВ «П йг =)ьз ° или / г/ Н йт« ' (64.Ц В деформационной теории пластичности экстремальные теоремы являются обобщением соответствующих теорем минимума для упругого тела (именно, теоремы минимума полной энергии системы и теоремы Кастильяно).
Эти теоремы широко используются для приближенного решения разнообразных частных задач прямыми методами (главным образом методом Ритца). Минимальные теоремы в деформационной теории и их некоторые простейшие приложения излагаются в Я 67, 68. Формулировки экстремальных принципое длн упруго-пластической среды, следующей уравнениям теории течения (при идеальной пластичности и при наличии упрочнения), приводятся в заключительной части главы ($ 69). Эти принципы в отличие от предшествующих определяют экстремальные свойства приращений (или скоростей) смещений и приращений напряжений, отвечающих малым приращениям внешних сил или заданных перемещений. Естественно, что такие «локальные» свойства, связанные с дифференциальным характером уравнений теории пластического течения, труднее использовать для эффективного построения решения, и они интересны прежде всего в принципиальном отношении. К общим теоремам обычно относят и теоремы приспособляемости упруго-пластических конструкций при действии циклических нагрузок.
Однако, учитывая своеобразие задач данного типа, этот вопрос выделен в отдельную главу (гл. !Х). 286 вкстгамзльныа пеинципы и внаггатичзские мвтоды [гл. тш Ниже изучаются лишь малые деформации жестко-пластического тела, когда можно пренебрегать изменениями конфигурации тела и положений его точек. Впрочем, результаты часто можно перенести и на задачи установившегося пластического течения, рассматривая мгновенное состояние. Предельное состояние жестко-пластического тела определяется конечной комбинацией нагрузок в момент возникновения пластического течения.
Очевидно, что путь иагружения выпадает из рассмотрения, так же как и начальные напряжения и деформации. В этом смысле можно говорить о независимости предельной нагрузки от пути иагруження и начальных напряжений. О практическом значении этого вывода свидетельствуют опытные данные и полные решения некоторых упруго-пластических задач. Это свойство становится понятным, если учесть, что при деформации, развивающейся в определенном направлении (см.
4 15), напряжения стремятся к некоторым «установившимся» значениям, не зависящим от пути деформироваиия. По мере приближения к предельному состоянию деформации тела, как правило, быстро возрастают в направлении действия нагрузок. Если последние вблизи предельных значений возрастают пропорционально одному параметру, то деформации развиваются в определенном направлении, и влияние пути нагружения все более ослабевает. 2. Основное энергетическое уравнение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
