1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Лучи ОА, ОВ, ОС, ОΠ†лин разрыва напряжений. Вдоль них (см. 9 39) нормальное напряжение о„ и касательное т„ непрерывны. Выписывая зти условия непрерывности вдоль ОВ с помощью формул (35.1) (ось х направляем по оси о', в ~АОВ и в направлении г в ~ВОО), получаем: о, =о', з!п ах+о', соз'ах=г з!п'(])+а,), т„= (о',— о,') Рйп а, соя а, = г з!п (Р+а,) соя (Р+ аз). Отсюда находим: е! (3+ )"'6 ""(3+")""3.
(66Ц о',=г' о',=г е!п а, соа и1 Выпишем, далее, условия непрерывности о„, т„на линии раз- рыва ОВП 302 экстгемлльные пгинципы и энгегетичяские методы (гл. щп Второе условие, очевидно, выполняется. Из первого же слелует, что г~4 2' (66, 6) Угол я целесообразно выбрать так, чтобы напряжение и', было наибольшим. Формулу (66.1) для и,' можно переписать в виде а', = г сова 'р (1 -( 13 )) с13 сг,). (66.7) Ясно, что следует выбрать наименьшее значение аг, т, е. Яг= — — —.
и 2 (66.8) 3. Границы предельной нагрузки лля растягиваемой полосы с круговыми вырезамн. Задача о растяжении (в условиях плоской деформации) полосы, ослабленной круговыми вырезами (рис. 102), рассматривалась в 6 41, где была найлена верхняя (якинематнческая») граница растягивающей силы Остановимся на частном случае л= а при ширине полосы, равной 4а (рнс. 201). Тогда Рл —— 5,55 ав. разумеется, для вычисления верхней границы нагрузки нет необхолимости в построении поля скольжения и согласованного с ним поля скоростей.
Достаточно выбрать любое кинематически возможное поле скоростей. Рис. 201. Например, в рассматриваемой задаче можно задать разрывное поле, показанное на рис. 201. Нижняя часть полосы неподвижна, верхняя скользит вдоль линии разрыва АВ как твердое тело, Линия АВ проходит по линии скольжения, следовательно, она наклонена под углом п/4 к растягнвающему усилию. Касательное напряжение вдоль АВ равно прелелу текучее~и м; из условий равновесия вытекает, что нормальное напряжение имеет такое же значение. Линию АВ следует провести так, чтобы она имела наименьшую длину. Соответствующая гранина Р», как легко видеть, будет несколько хуже Рю именно: Р„= 6 ал. Грубую нижнюю границу легко получить, вписав в полосу гладкую ленту шириной 2а с одноосным напряжением 2л, тогда Р, '= 4а)а.
303 ЛРимеРы нАхождении пРедельной нАГРузки 2 66) Как показал Прагер, значительно лучшую оценку можно найти; вписывая в полосу трапеции, рассмотренные в предыдущем разделе. При этом угол () (рис. 202) наллежит выбрать так, чтобы растягивающее усилие было наибольшим. В заштрихованных зонах напряжения равны нулю, в областях выше линии СОв олноосное растяжение о",. Из чертежа 1 ясно, что отрезок 1.=-а (2 — —.) соа 61, †.
Соответствующее растяги- 3 ' ва1ощее усилие равно Р, = 21о', = аш ( — +З) = — 4аи (2 соа 1) — 1) 5!п ( — — - — ) в ~ АОВ о," — о,'о,'+ о," е-. о,', В ~~, СОВ о,' — о,о, + о55 ( оа. (66.10) (66.1 1) (66.12) Внося напряжения по формулам (66.1), (66.10), (66,12), получаем: ( с05 2р, 5!П ейпаа,, ' соааа (66.2) в неравенства (-'е)', (66А3) ( — 4) . (66.14) Максимальное значение о'„ допускаемое условием текучести Мизеса, соответствует точке го = п)6 на эллипсе (рис. 157); (66. 9) Для разыскания максимума Р' приравниваем нулю производную по () и получаем, что () = 26'14'.
Тогла Р,=5,12 ай, Для препельной нагрузки можно взять с погрешностью ~ 45(5 среднее значение Ре = 5,33 пи. 4. Трапеция разрывных напряжений для плоского напряженного состояния. В случае плоского напряженного состояния формулы (66.1), (66.2) сохраняются, условия же текучести будут иными. Именно, по критерию Мизеса (2 52) имеем: 304 экстгемхльные пРинципы и энеРгетические методы [гл. чш при этом 2 и',==о у и 1 и',==и .
У 8' Внося сюда напряжения по формулам (66.1), легко находим: Мп([[+а,)сов[1 2 и сгя р сгп а = 2; Уз 5 51П а5 откуда вытекает, что со55 [)=2(1 — — — ' . 1 ПРЧ Уз 57" Используя неравенство (66.11), нзходим: со55 р (2 (1 — — 11, т. е. [) ) 23'. Уз 7' Для р = 23' неравенство (66.14) удовлетворяется при а (61'15'1 если здесь реализуется знак равенства, то а = 49'40'.
5. Нижняя граница предельной нагрузки для растягиввемой полосы с угловыми вырезами. Рассмотрим задачу о растяжении полосы с угловыми вырезами (рис. 175) в условиях плоского напряженного состояния. Верхняя граница предельной нагрузки была найдена в 2 56. Вычислим теперь нижнюю границу, исполь- Р Г зуя трапеции разрывных напряжений. Для этого впишем в полосу две тра- Ю пеции (пунктир иа рис. 203); снизу и х сверху к ним примыкают поля рав- мь номерного одноосного растяжения П,.
Рб Я При 6 < — — р (67' трапеции лежат внутри полосы. При этом нагрузка Р, постоянна и равна б,[ Р, = = Ьа,. (66.15) Уз Для углов 0(6(67' это значе- ние совпадает с верхней границей Рис. 203. (56.8), найденнойХ иллом при 6<70 32'. Следовательно, в интервале 0 ~~ 6 ( 67' формула (66.15) дает точное значение предельной нагрузки. Для углов 6 ) 67' полагаем, что стороны трапеций совпалают и со сторонами вырезов, тогда в формулах (66.1), (66.2) 1) = — — 6, а а=о .
Необходимо подобрать значение угла а, согласующееся 8 66) пРимеРы нАхождения пРедельной нлггезки 305 с неравенством (66.13) и приводящее к максимально возможной величине сг',. Результаты вычислений даны в таблице: 6 70' 75' 80' 85' 90' РауР; 1,152 1,132 1,103 1,058 1,00 Через Р„'= 2Ьпа обозначена предельная нагрузка лля гладкой полосы шириной 2л. Верхняя и нижняя границы для коэффициента усиления Р„)Р; показаны на рис. 204. Аналогичнйе построения могут быть проведены лля растягиваемой полосы с круговыми вырезами (рис. 173), для изгибаемых полос, ослабленных вырезами (рис. 176), и в других ч-)Рак залачах.
Ра ~ — л' Рис. 204, Рис. 205, 7. Кручение круглого стержня переменного диаметра. Рассмотрим вопрос о предельном значении момента при скручивании круглого стержня переменного диаметра (рис. 205). Введем цилинлрическую систему координат г, ф, е, направив ось е по оси стержня. Как и при упругом кручении, можно считать, что поперечные сечения стержня остаются плоскими, радиусы же искривляются. Следовательно, составляющие скорости равны па=Па=О; о„=о (г, е) =о. Компоненты скорости деформации при этом равны $,=$„=$,=т~„,=О, ' = -(-) '-'=г-(-) Из соотношений Сен-Венана — Мизеса (13.11) вытекает, что п,=о =п,=-т„=О, Ч„=2Л'г,„, Ч а=2Лт,.
(66.16) 306 экстРемальные пРинципы и энеРгетические методы [гч, щп Отличные от нуля компоненты напряжения т„,, тгя уловлетворяют дифференциальному уравнению равновесия дтгч дтъг 2тг, дг дг ' г и условию текучести 4 4 тг,р+ т,рг — — й'. (66.17) (66, 18) Соответствующее поле напряжений в пластической области изучил В. В. Соколовский [44). Условие текучести будет удовлетворено, если положить т„~=15!НО, т,. =-Й<050, где 0 в неизвестный угол наклона вектора касательного напряжения к оси е. Иа<лючая из приведенных выше соотношений Сен-Венана— Мизеса мнон<итель г.', находим: - — (- — ) со50 — — ( — ) юпО=О.
(66. 19) Характеристики этого уравнения совпадают с линиями скольжения. Дифференциалююе уравнение (66.!9) имеет очевидное решение и=- О, (66.20) где С в произвольная постоянная. Это решение соответствует вращению вала или его части как жесткого целого. Введем плоскость з =- соп51 разрыва скорости, Выше и ниже этой плоскости справедливо решение (66.20) при разных значениях произвольной постоянной. На плош<ости разрыва имеем Ч„„ — О, т)„4 — оо. Из соотношений (66.16) тогда следует, что т„„=- О, т„, —. Сопз<=- и. (66. 21) Этому решению отвечает крутящий момент <11 = — 2П ') дгадг = — паз<4, 3 о (66.
22) где а — радиус рассматриваемого сечения. Построенное решение соответствует кннематнческн возможному полю скорости («срез».в плоскости е = сопя(), поэтому <)( — верхняя граница предельной нагрузки. Естественно считать, что а †ради наименьшего поперечного сечения вала. С лругой стороны, легко построить статически возможное поле напряжений, не нарушающее условие текучести. Для этого достаточно вписать в рассматриваелняй вал круглый стержень (показанный пунктиром на рис. 205) постоянного радиуса а с предельным полем (66.21), а при г ) а напряжения полагать равными нулю. Тогда, по 5 66) пРимеРМ нАхождения пРедельной нАГРузки 307 статической теореме о предельной нагрузке, Л4 будет также и нижней границей.
Следовательно, найдено полное решение и Л4 является точным значением предельного момента для скручиваемого вала переменного диаметра. 8. Сдвиг и сжатие тонкого слоя. В гл. у' (9 47) изложена плоская задача Прандтля о сжатии тонкого пластичного слоя между жесткими шероховатыми плитами. Существенное влияние на течение слоя оказывает наличие усилия 2«7, сдвигающего плиты (рис. 206). Ниже приводится статически возможное решение этой задачи. При отсутствии сдвига верхнюю и нижнюю границы сжимающего усилия для тонкого пластичного слоя получил Шилд. Рнс. 206. Гели сдвига нет (1е=0), то на контактных плоскостях у= -ьй развиваются максимальные касательные напряжения т = ~ 7«, где в в предел текучести при сдвиге.
При наличии сдвигающего усилия 2С~ на участках у = Ь, х ( 1 и у= — Ь, х > 1 касательные напряжения по величине по-прежнему равны )е. На остальной же части касательные напряжения «разгружаются» и по величине меньше 7е; допустим, что они соответственно равны в„ )в ) ( м, Нетрудно построить следующие решения уравнений равновесия (31.9) и условия текучести (31.8), удовлетворяющие заданным граничным условиям для тх на линиях у = ~ й: тху 1+к, 1 — ну ОУ 1 — кх — — — — —,= — « —:,— „, ~ (66. 23) где м= —, ) х)(1, а С вЂ” произвольная постоянная. При н.= — 1 а, из (66.23) вытекают известные формулы Прандтля (47.1); случай И=1 соответствует задаче о чистом сдвиге слоя (п„=о =О, тху 'Е) 808 экстгемлльныв пгинципы и энеггзтичзскиз методы (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
