1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 58
Текст из файла (страница 58)
(67.8) Заметим, что зто урзвненне можно получить формальным путем— преобразуя поверхностный интеграл и используя уравнения равновесия (аналогично выводу уравнения (64.6)). В деформационной теории пластичности (см. 2 14) имеем: ат Ьет/ —— ЬП, где П вЂ” потенциал работы деформации. Так как внешние силы не варьируются, то работа внешних сил ЬА= 6 ~ Хзии/йЯН и уравнение (67.8) приводится к форме 6 ( ') П Л: — А) = О. (67/9) Величина внутри круглых скобок называется полной энергией; обозначим ее через Э, тогда ЬЭ=О. (67.10) Действительно, дП 1/д д 6П= — Ьег, Ьет/= — ~ — Ьи;+.— Ьи ) дз!/ Г/' ' 2 ~дх/ ' дхт С помощью формулы Гаусса — Остроградского находим: дП Г дП д /дПХ вЂ” ЬетхдУ д! — Ьит соз (а, !) йд — ) — ~ — /1 Ьи,йУ де„ 3 дед, 3 дх, ~де1т/ и т.
д. Внося зги выражения в уравнение (67.9), получаем: ~ [д — '(д — ) ( Ьи/дУ+') [д — сох(п, !)1 Ьи/й3=0. (67А1) На части поверхности Я перемещения заданы, поэтому на 5, Ба!=О; внутри тела и на поверхности о~ вариации Ьи; произвольны, и из (67.!1) вытекают дифференциальные уравнения равновесия е смещениях (20.2) и соответствую- и ы 11:вичные условия на Яю Действительная форма равновесия тела отличается от всех еоэмоасных форм тем, что сообщает полной энергии минимальное (см. ниже) значение.
Вариационное уравнение (67.10) заменяет собой граничные условия и дифференциальные уравнения равновесия в смещениях (20.2), обобщающие уравнения Ламе в теории упругости (Я 20). 316 эксттвмлльныв птинципы и энвигетичгскнв методы (гл. шп т. е. 6«Г~О. Так как т, > О, Г > О, то 6«П~О, нбо выражение внутри фигурных скобок может обратиться в нуль при бу,, 6у«, буэ, отличных от нуля. Следует заметить, что если в теле имеются упругие зоны, то в них 6вП) О и тогда беЭ) О.
Для уарочняюи(едся среды потенциал деформации выражается формулой (14.25), тогда 6 (~(У+ ~ у(Г) Гс(Г) д(' — А» =О. При том же условии независимости внешних сил от перемещений энергия системы в состоянии действительного равновесия достигает минимума. Действительно, вторая вариация 6«П = 6Ч)+6* ~гтбГ. йа ~ ТбГ=ОТОГ+Тб«Г. Внося сюда 6Т согласно уравнению Т=у(Г) Г, получаем: йа ~ у(Г) Г«(Г= — „(6Г)а+Т6«Г. «(Т бГ Второе слагаемое в правой части не может быть отрицательным; предположим теперь, что (при нарастании деформации сдвига напряжение сдвига увеличивается (рвс, 2!2).
Зго условие, характеризующее «устойчивость» материала, выполняется, по-вндвмому, для всех твердых тел (см. З 18). Тогда «(Т бà — >О, (67.13) н 6«П является положительно определенной квадратичной формой вариаций беу. В этом нетрудно убедиться, анализируя условия одновременного абра. щения а нуль величин 6ЧI,«6 (Г') н 6«Г.
Рассмотрим случай смешанной задачи. Пусть в состоянии равноРнс. 212. весна объем )т состоит из разде- ленных поверхностью Х частей (т, н У„ в каждой из которых дефорцация следует своему закону, характерному для состояния материала этой части тела; соответствующие выражения потенциала работы деформации будут П, и Пв. На поверхности Е состояния непрерывно переходят друг в друга, а величины Т и Г постоянны (2 21). При варьировании деформированного состояния поверхность Х перейдет, вообще говори, в бесконечно близкую поверкность Г, которая будет разделять близкие ~ 67] минимальныа пгинципы в даеогмкцнонной таогии 317 к прежним объемы Ъ'; и (т;.
Изменение поверхности раздела Е зависит лишь от приращения величины Г; на поверхностях Е и г' Г должно иметь одно и то же постоянное значение. Рассмотрим тройной интеграл 1().)=~~~ Р(х, у, г; ь) йхйуйг, о распространенный иа область 11, ограниченную некоторой поверхностью Е, изменяющейся вместе с параметром ).. Вариация этого интеграла (см. Гурса, Курс математического анализа, т. 1, часть 1, дополнение) равна 61 ().) = ] ) ~ бр йхауйг+ ~ ~ РбпаЯ, о Е где бп — бесконечно малое смещение точки поверхности Е а направлении ее внешней нормали прн варьировании ).. В нашем случае потенциал работы деформации тела имеет вид П=~ П,си~,+~ П,й]~„ б (~ ПгНтд+ ~ Пгс(К, — А)] = О, (67.14) т.
е. действительная форма равновесия тела, части которого находятся в различных состояниях, так же как и в простом случае, характеризуется минимумом полной энергии. 3. Принцип минимума дополнительной работы. Выше рассматривались минимальные свойства действительных перемещений. Обратимся теперь к выяснению минимальных свойств действительного распределения напряжений (при прежнем допущении об отсутствии разгрузки). Уравнение статически возможных изменений напряженного состояния. Сравним действительное напряженное состояние агр возникающее в теле под действием заданных сил и перемещений, со всеми смежными мыслимыми напряженными состояниями о;у+ богу удовлетворяющими уравнениям статики внутри тела — (ог + 6сг;,) = О (67. 15) и на части поверхности Я~, (о, +бог ) и =Х„,+бХ„Р (67.16) и предыдущую формулу необходимо применять дважды — к объему (тг и объему )т.
Вследствие непрерывности П во всем объеме тела соответствующие интегралы по поверхности Е сократятся, будучи равными по величине и обратными по знаку. Поэтому для смешанчой задачи при условии непрерывности на л' смещений, компонент деформации и напряжения получаем: 318 экстгвмлльные пгинципы и энвггвтичаокиз методы [гл. щп Такие напряженные состояния условимся называть статически возможнымии.
Ясно, что вариации напряжений бп; и вариации внешних сил 6Хы образуют уравновешивающуюся систему. Следовательно, работа этих внутренних и внешних сил на всяком возможном для тела перемещении должна обратиться в нуль. Возьмем в качестве возможных перемещений действительные перемещения и„ тогда ~ еобаг дЧ= ~ и;6Х„;г(о. (67.17) При этом на Як следует считать заданными ЬХ„;; на 5„эти вариации вычисляются по вариациям напряжений согласно (67.16). Важное значение имеет более узкий класс вариаций напряженного состояния, характеризуемый отсутствием работы вариаций внешних сил на действительных перемещениях тела: ') и;6Хый8= 0. (67.18) При этом условии ) еббпг йЪ'=О. (67.19) Условие (67.18) выполняется, например, если на всей поверхности тела заданы внешние силы, тогда 6Х„; = О.
Могут быть заданы только некоторые из компонент внешнего усилия, а для остальных соответствующие смещения равны нулю. При выводе вариационного уравнения (67.19) совершенно не затрагивались механические свойства сплошной среды, использована лишь ее непрерывность. Действительному напряженному состоянию соответствуют деформации, для которых выполняются условия совместности Сон-Венана. Можно показать, что условия совместности Сен-Венана вытекают из уравнения (67.19). Следовательно, вариационное уравнение (67Л 9) является энергетической формулировкой условия неразрывности деформаций (доказательство имеется в курсе Л.
С. Лейбензона (ае)). Понятие дополнительной работы. Рассмотрим подробнее выражение элементарной работы вариаций напряжений на действительных перемещениях; заменяя компоненты деформации по формулам Генки (67.2), находим после ряда простых преобразований в„ьо,, = ~чтя+ би. Так как для рассматриваемых нами сред выполняется одно из условий 1 ф= сопз1= — (упругая среда Гука), 26 Т= сопя( = т, (состоянне текучести), 1 — а (Т) (состояние упрочнения), 2 Э 67) минимальные пеинцнпы в дееоемлционной теоеии 319 то справа будет полный дифференциал некоторой функции напряже- ний )с: е, Ьп;.=М. Для упругой среды Гука )с= ст+ — 7е=П, 1 20 для состояния упрочнения (67.20) 17..=77+ ~ ~(т) тдт, (67. 21) для состояния текучести 677 =ь (и+ —" т ) .
Условимся называть 77 плотностью дополнительной работы или просто дополнительной работой. Для выяснения этого понятия отбросим Рнс. 213, на время слагаемое Ь(7, относящееся к изменению объема, протекающему во всех случаях по одному и тому же закону; тогда в силу соотношения Г = 2фт имеем т): 77е=Г~Гдт, ьк =Гьт. Рассмотрим разные случаи кривой т=х (Г) Г (рис. 213).
Работа деформации изображается площадью, заштрихованной вертикальными линиями, дополнительная работа — площадью, заштрихованной горизонтальными линиями. В случае упругой среды Гука эти площади равны по величине, Ие — — Ае, и здесь можно не различать понятий работы деформации и дополнительной работы; в других случаях это недопустимо. Очевидно, что при заданной зависимости 7*= х"(Г) Г дополнительная работа 77е будет определенной функцией работы деформации А,. г) Напомним, что работа деформации формы Ае= ') ТаГ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
