1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 57
Текст из файла (страница 57)
щп Постоянные С и к надлежит определить по условиям статической эквивалентности. Во-первых, удовлетворим в смысле Сен-Венана условию отсутствия нормальных напряжений на торце слоя, именно: Л ~ (и„)„, 1у = 0. 1 — н 1 С=р — —, л Наконец, нз условия эквивалентности контактных касательных напряжений усилию сдвига получаем: 1+ к=а (д= — — - 1). Исключая из этих соотношений С, и, находим условие предельного равновесия 11 (1 — д) (2р — (1 — р) — ~ = Л1 = — + 2 (1 — 27) 3г д (1 — д) — агсгйп (2~7 — 1). (66.24) При д = 0 отсюда вытекает формула Прандтля (47.3). Легко др такьте видеть что — — со при,у — 1, р Ж Рнс. 207. кривые для значений — = 10 Л На рис. 207 показаны предельные и — = 20. Очевидно, что добавление Л гающей силы значительно снижает к сжимающей нагрузке сдвинесущую способность слоя.
Отсюда находим: 1 уп С = — ~ — — к 'р 1 — кз — агсз1п к). 1 — н(,2 Далее, условие эквивалентности нормальных напрямсений и усилию сжатия 2Р дает: $66) пгнмяеы нахождения нгвдвльной ньгггзки 809 Можно показать, что найденное решение дает нижнюю границу для сжимающего усилия, т. е. Р) Р' (для фиксированного О). 9. Сжатие цилиндра между шероховатыми плитами. Рассмотрим сжатие кругового цилиндра (высота 2Ь, диаметр 2а) между параллельными шероховатыми плитами (рис.
208), На плоскостях контакта ка- Р сательные напряжения т„, достигают 1 предела текучести т = = о . Введем «р «' безразмерные координаты р =г/а, Ь = з/а, х = Ь/а. Верхняя граница. Примем, что кинематически возможная радиальная скорость и' равна и'=-Ар (! — р —,), где А — постоянная, а 0 ( р ( 1 — параметр, характеризующий степень «бочкообразования». При р = 0 бочкообра- Рис. 208. зование отсутствует. Осевая составляющая скорости те' находится из уравнения несжимаемости (58.6) а'' = — 2А (ь — з —,).
Пусть с — скорость движения плиты, тогда при ь=х ш'=- — с, откуда определяется А = Зс/2х (3 — р). Верхняя граница сжимающего усилия находится согласно (64.14) из соотношения Р с 2пт«) ') Н'рс(рс(ь+2хт,) (и')с-„рг(р. (66.25) » « Интенсивность скоростей деформаций сдвига Н' вычисляется по выбранному полю скоростей; по симметрии рассмотрена половина цилиндра ~~ )О. Выполняя выкладки, получаем: 1 ()*р р, 2, ! ! — р, 2 Г (! — (!р') + —— 3 х« Р п,--з ч узхз — (! 'з — () !),, ! () р» .г» , ~( Ь)+...1 +( рр) Здесь введено среднее давление рь = Р /паа. Параметр [) выбирается так, чтобы р' было минимальным при заданном х. На рис.
209 приведены результаты вычислений ['аь! для цилиндров различной высоты. Пунктирная линия отвечает злементарному решению при 3! О экстгамьльные пгинципы н знеггвтическив методы (гл. чи ~ 'Р = О, для которого — (+ З~~ зн Пижняя граница строится значительно труднее, поскольку в данной задаче статически возможное напряженное состояние текучести должно удовлетворять сложной системе уравнениИ и граничных условий. В цитированной выше работе Кобаяши и Томсена [гаь1 приЮ ведено построение разрывного поля напряжений.
3 1О. Изгиб пластин. Энергети- ческий метод очень удобен лля г нахожления верхней границы лля предельной нагрузки изгибаемых пластин различной формы. При а , .. . атом необходимо задать кннема- тически возможную форму ско- /б ЬУ Л Гб' Рис. 209. рости прогиба пластины. В качестве иллюстрации рас- смотрим сначала осесимметричные пластины (см.
2 62). В этом случае кинематически возможный коэффициент предельной нагрузки представляется согласно соотношению (65.2) формулой лгь =- т, ) ') Н'г с(г с)я ~ ) р (г)пг' г с(г, а -Л где тс' — кннематически возможная скорость прогиба. Используя формулы (62.2) и условие несжимаемости„ нетрудно найти, что интенсивность возможных скоростей деформаций слвига равна Н'=2)з! [( — а) р —,, ( — „-) ,'- — — д „вЂ” а~ = — 2~я/)и.
Выполняя интегрирование по я, находим: ь ь лт = М, ~ Югс(г~ ~ р(г)тн'гс(г (Л(а=о,йа). (66.26) уз а а Пример. Сплошная пластина (а= — О), опертая по краю г=Ь, изгибается равномерной нагрузкой р=сопак При г=-Ь тн' =- О; полагая, что поверхность прогиба гладкая, имеем при г = О сйа' — = О. Этим условиям удовлетворяет, например, функция ш' = Ь вЂ” г; 3 2.
8ма 8Ма тогда из (66.26) получаем лг = †,,', следовательно, р„ ( †,' ( ь р Ь а напомним, что в точном решении р„6,5 — „, ). Ма~ й 66) пеимееы нахождения певдельной нхгетзки З11 Если за тн' принять форму прогиба аналогичной упругой пластины при т = 112 чи =поо(1 Й(а) +П(а) ~ тле та,— произвольный множитель, можно значительно улучшить оценку Возвращаясь к общему случаю, отметим, что легко найти(оо) верхнюю границу предельной нагрузки для опертых по периметру палигональных пластин, изгибаемых сосредоточенной силой Р (рис. 210). Можно принять, оЬ.
что в предельном состоянии срединная поверхность такой пластины имеет форму по- Л .-- с' о верхности пирамиды с вершиной О в точке приложения силы. Вдоль ребер развиваются Л а с 1 Ь' шарниры текучести, треуголь- ',осо ные области пластины межлу Ю,' ними остаются жесткими.
Обозначим через и, — скорость Рнс. 210. прогиба под силой, через са';— соответствующую скорость изменения двугранного угла вдоль г-й шарнирной прямой, через 1; †дли последней. Согласно (65.2) кинематически возможная нагрузка Рь определяется из уравнения мощности Рх о — — М,~ч„"ыг(1. ! Предельная нагрузка Рь ~ Р„. Вычислим угловую скорость ю,'; для этого проведем плоскость, перпендикулярную линии АоО. В единицу времени прогиб точки О возрастает на малую величину та,' 1, а угол перелома АО,В в на малый угол ю,' 1. Легко видеть из приводимого чертежа, что 1 1 осе ы'= о — + — „) = —,. (с(ааг+с1а()о), г тле яь 'р; — углы г-й шарнирной линии с соседними сторонами пластины. Итак, Ро М ~~Р (с1аа +с(а р ) (66.
27) 312 экстгемьльные пгинципы и энеггетические методы (гл. чш Для правильной многоугольной пластинки, нзгруженной в центре нз (66.27) получаем: Р„= 2лМ, (К вЂ”, где л †чис сторон многоугольника. Нзпример, для квадратной пластинки (и = 4) имеем Рь = 8М,. й 67. Минимальные принципы в деформационной теории пластичности В теории упругости большое значение имеют энергетические методы, основанные на использовании принципа минимума потенциальной энергии и принципа Кастильяно. В настоящем параграфе устанавливаются аналогичные теоремы в деформационной теории пластичности.
1. Работа внешнах сил (обобщение теоремы Клапейрона). Пусть деформируемое тело занимает объем Ь', ограниченный поверхностью 5, на части поверхности 5г заданы поверхностные силы Г„ с составляющими Х„п на другой части Я„заданы перемещения; состоянию равновесия тела отвечают перемещения и;. Для простоты полагаем, что объемные силы отсутствуют.
Компоненты напряжения оу удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия (64.2) и граничным условиям на Зк (64.3). Аналогично соотношению (64.6) справедливо уравнение ~ Х„ги; йЯ = ') аг ег Ы к', (67.1) е,у — — ф (и;у — пб;7) + лпбгу (67.2) или, обратно о. = — (з .— — еб )+-еб .. г —,р( гу 3 с) зь Легко видеть, что о~~за = 2 (У+ фТе). (67.3) (67.4) Так как е = 3)го, то упругая энергия объемного сжатия ра,вна У= — Ап = — ое.
з (67.5) причем поля напряжений о;7 и перемещений ип вообще говоря, могут быть не связаны между собой. Доказательство проводится так же, как и для формулы (64.6). Пусть напряжения и деформации следугот уравнениям деформационной теории (э 14), т. е. 2 67) минимлльныв пгинципы в деэотмлционной тзогии 313 В силу соотношения Г = 2ЧРТ имеем тРТ = — ТГ, следовательно, я о; зг =па+ ТГ, (67.6) и работа внешних сил на соответствующих им перемещениях равна А = ~ Хлии1дЯ = ~ (ов+ ТГ) Иl.
(67.7) Очевидно, что ое представляет собой удвоенную упругую энергию объемного сжатия (рис. 211, а). Рассмотрим кривую Т вЂ . — б(Г) Г (рис. 211, б); работа деформации формы Аэ — — ') ТдГ изображается заштрихованной площадью. Лалее, дАэ —— ТдГ; пусть работа деформации формы †однородная функция Г степени пг, тогда ТГ =тпАэ н А = ~ (2У+ шАэ) д)т. Теорема Клапейрона.
Рассмотрим упругую среду Тука; для нее ! Аэ — — — Г~, т=2, следовательно, А=2~ Пс(Ъ; Ряс. 211 т. е. работа внешних сил на соответствующих им перемещениях равна удвоенной упругой энергии тела. Эта теорема полезна при вычислении упругого потенциала. При развитых пластических деформациях можно пренебрегать упругими деформациями. Тогда для состояния текучести Т= т, и А=я, ~ Гд)т, т. е. работа внешних сил на соответствующих им перемещениях равна работе пластической деформации формы. 2.
Принцип минимума полной энергии. Рассмотрим минимальные свойства действительного распределения смещений. Сообщим точкам тела, находящегося в равновесии под дейст. вием заданных сил и перемещений, бесконечно малые и непрерывные смещения бип совместимые с граничными условиями (кинематически возможные смещения); предполагается, что при этом не возникает разгрузка (точнее, будем рассматривать минимальный принцип для 314 зкстРемальные пРинципы и энеРГетические методы (Гл. шп соответствузощей нелинейно упругой среды). Согласно началу возможных перемещений сумма работ всех внешних и внутренних снл на возможных перемещениях около состояния равновесия равна нулю, т. е. ~ а/ Ье;, йУ вЂ” ~ Х„РЬит й5 - = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
