1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 55
Текст из файла (страница 55)
198, а; напряжения же в заштрихованных углах будем считать равными нулю. Очевидно, что уравнения равновесия и граничные условия удовлетворены, условие текучести нигде не превышена. По доказанному Этот результат,'аконечно, очевиден и допускает простое обобщение. Ясно, что присоединение к свободной границе тела материала (мы 298 экстгвмьльные пгинципы и энаггвтичеокие методы [гл. щп называем это «добавлением к телу материалаз) не снижает предельную нагрузку, так как для нового тела можно взять статически возможное напряженное состояние текучести, образованное нулевыми напряжениями в добавленном материале и напряжениями предельного состояния в первоначальном теле (аналогично рис.
198). Но тогда нижняя граница т, для предельной нагрузки сохраняется. Аналогично можно показать, что 3. Удаление материала не может увеличить предельную нагрузку. 4. Увеличение предела текучести т в некоторых частях тела не может понизить предельную нагрузку (так как любое статически возможное напряженное состояние текучести для исходного тела будет также статически возможным напряженным состоянием текучести для нового тела).
5. Из двух кинематически возможнсчх решений более приемлемо решение, приводящее к меньшей предельной нагрузке. Это положение было названо раисе (% 40) критерием выбора. 6. Из двух статически возможных решений более приемлемо решение, приводящее к большей предельной нагрузке. 5. Распространение теорем о предельной нагрузке на общее условие текучести. Доказанные выше теоремы относились лишь к условию текучести Мизеса.
Между тем неоднократно подчеркивалось значение. других условий текучести, в частности условия текучести Треска †С-Венана. Теоремы о предельной нагрузке нетрудно доказать для общего выпуклого условия пластичности Т(о~ ) = К при ассоциированном законе течения (8 16). Теорема о кинемагическом коэффициенте ть ) т„. По определению т для кинематически возможного поля о; имеем: ть ) Хе«то,' йЮг = ~ оЯ;; д(г+ ) т' [о') дЯр.
Здесь о,"~ — тензср напряжения, отвечающий (по ассоциированному закону) кинематически возможным скоростям деформации Еу, т'— соответствующее касательное напрянсеиие на поверхности разрыва ор. Напряжения о,"; лежат на поверхности текучести л', но не удовлетворяют, вообще говоря, уравнениям равновесия. С другой стороны, по уравнению (64.11) имеем: (Хьодс (о г д(г[ (я[о[де где о ., т — действительные напряжения. Вычитая, находим: д (ть — т,) ~ Хь р'; дЯ .
=- ~ (о,', — о; ) 8;; й)/+ ~ (т' — т) [о'! сЫл. (65.8) Так кзк поверхность текучести выпуклая (рнс. 199, а), то (о,"~ — о; )Ц1~0; это верно и в сингулярных точках поверхности. Далее, йоверхность разрыва является, как отмечалось ранее, поверх- э 65) твогвмы о коэвэицявнтв йгвдельной ньгггзки 299 ! [Е!у Рис. 199 (т,— т,) ) Х„'!ос с!Я„. =- $ (о'„.— о;,) Ц~ сЛ/+ $ (т' — т) и с(В, (65.10) где обь т — действительные напряжения, а оп, т' — статические возможные, лежащие внутри или на поверхности текучести, Так как поверхность текучести выпуклая (рис.
199, б), то (а;; — ог ) ~0(0, причем это справедливо и в сингулярных точках й. Так как ог— действительная скорость, то, аналогично предыдущему случаю, (т — т')[о~ р= О. Из отрицательности правой части (65.10) сразу следует второе утверждение. 6. Предельная нагрузка в контактных задачах. Иногда необходимо найти предельную нагрузку для системы контактирующих тел. В случаях, когда на поверхности контакта реализуются простейшие условия (например, постоянство касательного напряжения), можно обойтись доказанными выше теоремами.
Некоторые задачи такого типа рассматриваются в следующем параграфе. Если на поверхностях контакта действует кулоново трение, то нетрудно показать [гс'), что искомая предельная нагрузка не превышает предельной нагрузки для той же системы тел при спаянно!. постыл скольжения; касательное напряжение ъ' ассоциировано с полем Цг и на Яр достигает наибольшего значения, поэтому (т' — т) [о'[) О. Таким „'образом, правая часть (65.8) неотрицательна. Вследствие положительности мощности заданных нагрузок приходим к искомому утверждению.
Остановимся, в частности, на широко используемом условии текучести Треска †С-Венина. Здесь кинематическн возможный коэффициент ть определяется приравниванием мощностей 1(0 заданной нагрузки и пластической деформации -с с, ! ть ') Х~лсо[ ссог— у бу бу. = 2т, ~ ~',„сЛ/, (65.9) с у где 9,„— абсолютное значение численно наибольшей б) главной скорости деформа- 4 ции (см.
9 16). Если поле кинематически возможной скорости о,: разрывно, в правую часть уравнения (65.9) необходимо включить мощность пластической деформации, диссипируемую на разрывах. Теорема о статическом коэсрсрициенте т, т„ легко вытекает из очевидным образом измененного уравнения (65.5) 300 экстгвмлльныв йгинципы и энвггвтнчвскик методы [гл. ч)в) поверхностях контакта и не меньше предельной нагрузки для той же системы тел при идеально гладких поверхностях контакта.
7. Заключнтельиые замечания. Экстремальные свойства предельной нагрузки н возможность их использования для приближенного нахождения предельной нагрузки впервые сформулировал (в терминах строительной механики) А. А. Гвоздев в 1936 гп Казкнчи высказал теорему о нижней границе (для иеразрезных балок) еще в 1914 г. Строгое доказательство теоремы о нижней гракице принадлежит С. М.
Фейнбергу. Из последующих работ по теоремам о пластическом разрушении отметим исследования Друкера, Гринберга, Прагера (см.[" ")) и Хилла[во ыв[. й 66. Примеры нахождения предельной нагрузки внергетическим методом 1. Общие замечания. Как уже отмечалось, энергетический метод позволяет находить эффективное решение задач о несущей способности; этот метод широко применяется в различных разделах теории предельного равновесия — в строительной механике стержневых систем, в задачах предельного равновесия пластин и оболочек и т. д.
При помощи сравнительно простых вычислений нередко удается построить совпадающие верхнюю и нижнюю границы, т. е. тем самым получить точное значение предельной нагрузки. Простой пример такого рода— растяжение полосы с круговым отверстием †б разобран в 9 40. Некоторые другие задачи излагаются ниже. Обычно очень просто с помощью энергетических теорем устанавливаются грубые оценки сверху и снизу. Значительно труднее получить хорошие оценки.
Еще труд- А д нее указать приемы последовательного сближения верхней и нижней оценок; здесь перспективно использование меl тодов математического программирования, но оно требует применения современной вычислительной техники або е и разработки соответствующих алго- ритмов [во'[. С ,а 2. Трапеция разрывных напряжений для плоской деформации. Для построения статически возможных на- пряженных состояний текучести удобно использовать (разрывные поля, скомпонованные из областей равномерного напряженного состояния.
Простое поле ') подобного типа показано на рис. 200. Здесь границы АС, ВВ свободны от напряжений, на грани АВ действует равномерное нормальное напряжение и'„ на грани С.Π†нормальн равномерное напряжение о,. ') Условия пересечения линий разрыва напряжений изучены в работах [ом ыо вво) $66] пРимеРы ньхождения пРедельной ньгягзки 361 о," з!п'а +о", созза =г з!пя(а — ])), (о," — о',") з!па соза =-г з!п (а — р) соя(а — ()), откуда — — (66 ) о,=г о,=г Е!П ая соз ия Напряженные состояния в рассматриваемых треугольниках не должны нарушать условие текучести Мизеса. Примем, что г — растягивающее напряжение, тогда в соответствии с формулами (66.1), (66.2) можно считать, что о,')~о', О, о,"~)о",)О; так как о", должно быть растягивающим, то ая) )).
В случае плоской деформации условия текучести не будут нарушены, если (66.3) (66.4) (66.5) в ~АОВ о.',— о', (2к, в ~ВОО г(2к, в,Л,СОО о",— о,(2й, где м — предел текучести при сдвиге (9 31). Напряжения о,', о, пропорциональны г; так как строятся статически возможные поля, приводящие к нижней границе, то целесообразно взять наибольшее значение г =- 2л. Внося теперь компоненты напряжения (66.1), (66.2) в неравенства (66.3), (66.5) и выполняя несложные преобразования, находим: в,/~ АОВ !и 2ад Ъ с!и ]), В каждом треугольнике реализуется равномерное напряженное состоя- ние. В ~АОВ обозначим главные напряжения через оп о'„з,~СОО— через о,", о",, а в треугольниках АОС и ВОО имеет место одноосное растяжение г, параллельное соответственно грани АС или ВО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
