1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 59
Текст из файла (страница 59)
320 экстгем»льные пгинципы и эньегетические методы [гл. чш Обобщение формул Кастильяно. Так как М = — 6оьн до; ьн то, сравнивая это соотношение с формулой (67.20), находим зависимости 0 д . д1г (67.22) 0 до;,' заменяющие в случае рассматриваемых нелинейных связей между напряжениями и деформациями известные формулы Кастильяно.
Очевидно, что формулы Генки (67.2) могут быть представлены в форме (67. 22) Начало взаимности. Из соотношений (67.22) вытекает необходимость выполнения 15 условий дай дею до», догу ' Выражение внутри круглых скобок в (67.23) есть перемещение точки приложения силы по линии действия этой силы. Таким образом, д)г — =Ь», др» (67.24) т. е. частнал производная дополнительной работы по величине любой приложенной силы Р» равна перемещению точки приложения этой силы по направлению действия последней.
Этот результат справед- лив и в отношении обобщенных сил и перемещений. которые следует рассматривать как естественное обобщение теоремы взаимности на случай рассматриваемых нелинейных зависимостей между напряжениями и деформациями (ггз). Обобщение'теоремыКастильяно. Распространим теорему Кастильяно на случай нелинейных зависимостей между напряжениями и деформациями. Пусть Р„ (й= 1, 2, ...) — приложенные к телу сосредоточенные силы; а», р», Т» — соответствующие направляющие косинуси векторов этих сил; иып и», и໠— составляющие смещения точек приложения сил Р„.
Тогда, исходи из общего вариационного уравнения (67.17) и полагая, что одна из сил Р» получает бесконечно малое приращение ЬР», а опоры неподвижны, находим: Ы = (ит»а»+ и»»))»+ иа»Т») ЬР„, (67.23) где через И обозначена дополнительная работа всего тела й 67) минимальныа пеинцицы в деоогмлционной ткогнн 32! В самом деле, если приложенные к телу силы лролорииональны некоторой величине Я, то ясно, что д77 ч — (ии,оь+ иза()а+ иаьуа) == д.
дЦ (67.25) Величины () н д и есть обобщенные сила к перемещение. В случае упругой среды Гука 77=П н формула (67.25) приводит к теореме Кастильяно. Пусть напряженное .состояние тела зависит от тл лишних неизвестных Х, Х, ..., Х . С подобными механическими системами мы сталкиваемся цри расчете балок, стержневых систем и т. д. В этом случае условие минимальности дополнительной работы Й приводит к системе т уравнений (67.26) Пример. Обобщенная тсорсма Кастнльяно удобна для расчета простейших тел — стержневых решеток, балок н рам.
Рассмотрим в качестве примера решетку, состоящую нз трех одинаковых стержней (длина 6 площадь сечения г", рис. 35). При растяжении материал следует закону в з,= — ох 33~ 3 где Вг — константа. Сравнивая зту формулу с формулами Гении (67.2), находим: а=б, Т= — "., й(Т)=В,Т, 17= — 'оа. )'"3 9 )' 3 Будем считать вертикальный стержень лишним, пусть Х вЂ” усилие з нем. Легно находим: Лололннтельная работа решетки равна Составляя уравнение — --=О, получаем, что 1' 2(Р— Х)=шХ. Действи- 677 дХ тельному состоянню равновесия соответствует минимум дополнительной работы всего тела; легко видеть, что минимуму 77 отвечает знак плюс.
Следовательно, 2Р 2+У 2 Принцип минимума дополнительной работы. Варнационное уравнение (67.19) для рассматриваемой среды принимает вид 64=0. (67.27) Обратимся к частным случаям состояний среды — упругому, текучести и упрочнения. 1! Л, М. Качанов 322 экстгямлльныя пгинципы и энегггтнчяскня методы (гл. щп Упругая среда Гула. Здесь 77 =П и вариацнонное уравнение (67.27) получает вид 6~(и+ —,' тэ) ( =О, (67.28) известный под именем начала Кастильяно. Действительное напряженное состояние упругого тела в отличие от статически возможных напряженных состояний, отвечающих той же внешней нагрузке, сообщает упругой потенциальной энергии тела минимальное значение. В том, что достигается минимум потенциальной энергии, нетрудно убедиться, исследуя знак ее второй вариации беп=ба1)+ба ( — тэ) ) о, 1 2О причем 6 ~ (7 7( = О, (67.
29) т. е, действительное напряженное состояние отличается от всех смежных статически возможных напряженных состояний, находящихся в фазе текучести, тем, что только оно сообщает экстремальное значение упругой потенциальной энергии изменения объема тела. Допустим, что материал несжимаем; тогда (7= О, и мы приходим к выводу: действительные смещения точек несжимаемой среды в состоянии текучести таковы, что бесконечно малые вариации напряжений, лежащие внутри фазы текучести, не производят на этих смещениях никакой дополнительной работы.
Для состояния упрочяения вариационное уравнение (67.27) принимает внд 6 Яи+~)й(т) Т(т~а(у=О, (67. ЗО) т. е. напряжения, отвечающие действительному состоянию равновесия, таковы, что дополнительнаи работа всего тела 77 получает мини- мальное значение по сравнению со всеми ее соседними значениями, совместимыми с условиями равновесия. Покажем, что реализуется минимум к. Вторая вариация 6Ч=беи+6 ~ Тат. йзи=Зй(йо)е. О, РТ' = ба;тбау та О. Неотрицательную квадратичную форму вариаций напряжений будем обозначать через 2Т'(бо; ).
В состоянии текучести Т= сопз1 н варнацнонное уравнение (67.27) принимает вид 3 68[ метОд РитцА. пРимеР†УПРУ-плАстическОе кРУчение 323 Мы знаем, что Ь»17 )О. Далее, Ьэ ~ГДТ=ЬТЬГ+ГЬ т, причем, подобно случаю, рассмотренному на стр. 315, Ьэтг»0 н Ьэ)7 = Ьэ(7 + — (Ьт) э+ Г Ь'Т. бГ <~Т Легко видеть, что если Пà — >О, бт (67.31) то 6% > О. Условие (67.31), так же как и условие (67.!3), выполняется, по- видимому, для реальных материалов всегда. Если части тела Ры Рю ..., находятся в различных состояниях то приращения дополнительной работы имеют соответственно выра женив Ым Ыз, ...
Так кзк 77 изменяется непрерывно при переходе через поверхности Вп з.з, ..., разделяющие области различного состояния, причем на каждой нз поверхностей з'ы з'„ ... интенсивность касательных напряжений постоянна, то так же, как и раньше, нетрудно убедиться в том, что для смешанной задачи Ь Ц[Ь,а[г,+~3[7, т,+ ...~ =О.
Заметим, что расположение поверхностей раздела Хы Х„ ... соответствует минимуму дополнительной работы всего тела. Аналогично устанавливается обобщение формулы (67.24) в случае приложенных к телу сосредоточенных сил: 4. Заключительные замечании. Приведенные энергетические теоремы деформационной теории даны в работе [ыэ); соответствующие уравнения для неравномерно нагретого тела изложены в ["[. Важный для строительной механики случай конечного числа обобщенных координат изучен А.
И. Лурье [ыэ[. В статье Фнлиппса [1»»[ минимальные принципы обобщены на случай больших пластических деформаций. В работе Хилла [г»») показано, что для действительного состояния достигается абсолютный минимум полной энергии и дополнительной работы. й 68. Метод Ритца. Пример — упруго-пластическое кручение 1!» 1. Метод Ритца. Вариационные уравнения деформапионной теории, рассмотренные выше, открывают возможность построения приближенных решений прямыми методами. Наиболее естественным на первый взгляд представляется непосредственное применение метода Ритца в обычной его форме, 324 экстРемАльные пРинципы и энеРгетические метОды [Гл. чн! Рассмотрим для определенности вариационное уравнение (67.10), характеризующее минимальные свойства перемещений и! (! =-1, 2, 3), Пусть им — тройка функций, удовлетворшощих заданным условиям на части поверхности 5„, а им (а=1, 2, ..., и) — последовательность координатных функций, уловлетворяющих нулевым условиям на Ях.
Ищем прибли1кенное решение задачи минимума полной энергии в форме и; =. иеа [- ~»Сии!м 5=! где см — коэффициенты Ритца. Теперь мо1кно вычислить выражение полной энергии, оно будет функцией коэффициентов с!». Последние определяются из условий минимума полной энергии — Э = О. д (68.2) дсг„ Для упругого тела полная энергия будет квадратичной формой коэффициентов с»»; тогда условия (68.2) образуют систему линейных неоДноРоДных алгебРаических УРавнений относительно сгтг При пластическом деформировании полная энергия уже не будет квадратичной формой сг» и условия (68.2) приводят к нелинейной системе уравнений для определения коэффициентов Рнтца. Составление и решение этой системы лаже при небольшом л связано с большими вычислительными трудностями.
В связи с этим широкое распространение получила одночленная аппроксимация (при нулевых условиях на Я,): и; =- сцип, где за и;1 обычно принимается решение соответствующей линейной (упругой) задачи. В такой форме этот прием используется для приближенного решения различных инженерных задач. Нужно помнить, однако, о возможной значительной погрешности подобных решений. С увеличением числа координатных функций трудности составления системы Ритца резко возрастают. Рели нелинейная система Ритца так или иначе получена, ее необходимо решить, что в свою очередь связано с большими трудностями и требует использования различных численных методов. Метод Рнтца нетрудно сформулировать применительно и к задаче минимизации дополнительной работы гс.
2. Модифицированный метод Ритца. Трудности непосредственного применения метода Ритца побуждают к поискам рззличных его модификаций. Ниже излагается одна из таких модификаций [1»а[, которая может быть использована при разыскании минимума и в ряде других нелинейных проблем. Этот способ позволяет преодолевать трудности, свизанные с неквадратичностью функционалов, и строить решение прямыми методами с необходимой точностью. ~ 68] метод Ритца, пРимеР— упРуГО-плАстическОе кРучение 328 ~ ( У+ )4 (Т) Тг)Т)~с((г=-ш(п (68. 3) последовательными приближениями в форме (С( ( ~~ (1) о„г =-о;,о-,-~~ с, о, „ 1=1 (68 А) тле с,"' — поллежащие определению коэффициенты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
