1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Таким образом, условия безопасности требуют, чтобы нагрузки не выходили из области приспособляемости. 9 70) О ПОВЕДЕНИИ ТЕЛ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ 333 Изложенные соображения распространяются на тела произвольной формы, что приводит к достаточному условию возникновения знакопеременной пластичности: знакопеременная пластичность будет, если интервал изменения интенсивности касательных напряжений где-либо в соответствующем идеально упругом теле превосходит удвоенный предел текучести 2т, (по условию пластичности Мизеса). 3. Прогрессирующая деформация. Для иллюстрации возможвости одностороннего нарастания пластических деформаций рассмотрим простую модель, изображенную на рис. 219.
Круглый стержень 7 и охватывающая его труба 2 соединены жесткой плитой 8. К последней приложено потоянное усилие 251. Пусть площади сечения стержня и трубы одинаковы и равны Р. Температура стержня постоянна (скажем, равна нулю), а температура трубы периодически изменяется («теплосменыя) от 0 до 0' (Π— 0 — 0 — 0 — ...). Модуль упругости считается неизменным, а предел текучести равен о, при 0' и и, при 0', се †коэффицие линейного 3 5« ЕПО асширения. Введем обозначения р =- Р)Г, и =- —, ,гр По условию равновесия имеем: и, + о, =- 2р, (70,2) Рис, 2В.
где и, и — напряжения соответственно в стержне 1 а и трубе. В зависимости от соотношений между величинами р, д и пределами текучести п,е и и„ модель находится в том или ином состояниях. Мы не будем рассма1ривать всех вариантов состояний, остановимся лишь на некоторых. Упругое состояние, Напряжения в стержне и трубе при нагревании равны п,=р )-д, и =р — д. Для отсутствии пластических деформаций необходимо, чтобы р+ и < пю, р — д > — охк Приспособляемость.
Стержень остается все время упругим, а труба испытывает при нагревании пластическую деформацию. Тогда при температуре О напряжение в трубе равно и,' —..— — и„; напряжение же в стержне не должно достигать предела текучести, т. е. о,' = 2р+ и„< и„,. (70,3) После охлаждения будет и",= — о«1+у, о,=2р (-и„— д. Для приспособляемости необходимо, чтобы эти напрюкения не превосходили предел текучести пкн т. е. — п5« )- У < пен ~ 2Р (- и„ вЂ Ч ) < пме (70,4) Неравенства (70.3), (70.4) характеризуют условия приспособляемости. 336 (гл.
~х ТЕОРИЯ ПРИСПОСОВЛЯЕМОСТИ )2р — о !(О»к (70.5) При охлаждении напряжение в трубе равно о„, а в стержне 2р — о„. Выясним условия реализуемости этого режима При упругой разгрузке (охлаждении) напряжение в трубе равно 2р — о, -«гд и не должно быть меныпе оен следовательно, о > 2о — 2р. (70.б) Общая деформация за каждый цикл нарастает на величину .л, 4Р 2О«» Е Е и с увеличением числа циклов может достигнуть недопустимых значений. 4.
О влиянии упрочнения, эффекта Баушингера и полнучести. Для реальных тел условия приспособляемости зависят от повышения предела упругости при пластическом деформировании (упрочнение) и снижения его при нагрузке в обратном направлении (эффект Баушингера). Учет этих влияний возможен, хотя и существенно усложняет анализ. Точно так же можно учесть изменения механических характеристик при температурных циклах.
Если цикл длится достаточно долго, то приспособляемость заметно зависит от ползучести, которая может в значительной мере изменить поле остаточных напряжений и тем самым в ряде случаев сузить область приспособляемости. й 71. Теоремы приспособляемости упруго-пластических тел Изложенные в предыдущем параграфе примеры покззывают, что выяснение условий приспособляемости требует анализа упруго-пластического равновесия тела. Такой анализ, однако, осуществим лишь в очень простых задачах. Теоремы приспособляемости устраняют эту трудность, позволяя находить нижнюю и верхнкно границы для области приспособляемости.
При этом необходимость анализа упруго-пластического состояния Прогрессирующая деформация. Пусть в каждом цикле стержень испытывает пластическую деформацию при нагревании, а труба — при охлаждении. При этом, как легко видеть, стержень течет при продолжающемся тепловом расширении трубы (т. е. стержень',.«Избирает» пластическую деформацию).
При охлаждении же труба течет при напряжении оеп сохраняя постоянную длину (из-за неизменности длины стержня). Эта картина повторяется в каждом цикле и общее пластическое удлинение системы нарастает. При нагревании напряжение в стержне равно о,, з в трубе 2р — о , причем ф 71] ТЕОРЕМЫ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ 337 отпадает, нужно лишь детально использовать решение надлежащей упругой задачи, что, разумеется, несравненно проще.
1. Статическая теорема приспособляемости (теорема Мелана). Рассмотрим идеальное упруго-пластическое тело, находящееся под действием системы нагрузок, медленно изменяющихся с течением времени в заданных пределах. При атом условии можно пренебрегать динамическими аффектами. Обозначим черев от;, е,"~ мгновенные значения напряжений и дефориаций в соответствующем идеально упругом теле (при мгновенных значениях нагрузок, т. е. в некоторой точке программы нагружения), через о;,, в;, — мгновенные значения напряжений и деформаций в действительном упруго-пластическом состоянии тела.
Пусть оот, еоу †остаточн напряжения и деформации в теле, определяемые разностями ПЧ! = ау — Оеп а е„=е;,— е;;, (71.1) (71.2) (71.3) ЕГУ"' Еи о ЕП. е ~ Р Следовательно, Егг=ей ЕУ, о Р ое е;, = е,'~ + е,"! ',- е и. Р (71.4) (71.5) Допустим теперь, что найдено некоторое поле фиктивных остаточных напРЯжений ооо не заеиснЩее ог еРемени. Под оу можно понимать любое нетривиальное решение однородных дифференциальных уравнений равновесия (64.2), удовлетворяющее нулевым граничным условиям на части поверхности тела Яр.
Обозначим через е;; компоненты деформации, отвечающие по закону е"ука фиктивным напряжениям о". Заметим, что ег не являются, вообще говоря, кинечр !7 матически возможными деформациями. Поле напряжений условимся назывзть безопасным, если при любых изменениях нагрузок в заданных пределах условие текучести не достигается, т.
е. а еоу — упругие деформации, соответствующие остаточным напряжениям. Поскольку нагрузки переменны, перечисленные напряжения и деформации являются медленно меняющимися функциями времени, Заметим также, что деформации е,'7, ег кинематически еозмозсны, т. е. удовлетворяют условиям совместности, а соответствующие смещения удовлетворяют заданным кинематическич граничным условиям. Действительные деформации ег складываются из упругих и пластических саста вляющих (ГЛ. 1Х 338 ТЕОРИЯ ПРИСПОСОВЛЯЕМОСТИ если (г" †функц текучести, см. й 16) У(о),) < К.
(71.6) Поле напряжений ОП+осел —— — - й Теор ем а Мел а на. Приспособляемость наступит, если можно найти такое не зависящее от времени поле фиктивных остаточных напряжений от, что при любьи измененилх нагрузки в заданньлх 11 пределах сумма этого поля с полем напряжений ОП в идеально упругом теле безопасна (достаточное условие). Приспособляемость невозможна, если не существует никакого не зависящего от времени поля остаточньех напряжений о; гак, что сумма оь + о,*; допустима (необходимое условие).
Необходимое условие очевидно: если нет никакого распределения остаточных напряжений, для которого г"(оче) ( К, то приспособляемость по существу не может возникнуть. Допустим теперь, что надлежащее поле остаточных напряжений ОП существует. Покажем, что тогда приспособляемость наступает. Рассмотрим фиктивную упругую энергию П разностей напряжений Ое1 — Ог: 1 П = — ) (о,у — оь.) (еть~ — ег ) й(1. Разности напряжений оа1 — а; связаны с разностями деформаций 11 етьт' — е;.
линейными однородными зависимостями закона Гука, поэтому 11 производная энергии П по времени равна ь й ье Но напряжения оеу и деформации ЕП по условию не зависят от времени, следовательйо, Согласно (71.5) имеем: яеег =- с11 — $1н — ~11 Тогда будет (71.8) будем называть допустимым, если напря>кенное состояние может достигать поверхности текучести, т. е. если У(о,'1) < К. (71,7). $ 71) теогвмы пгиспосовляемости хпггго-пластических тел 339 Заметим теперь, что разности напряжений пау — и;, удовлетворяют условиям равновесия при нулевых внешних силах, а скорости деформации $,7 — $~; кинематически возможны.
Мощность внутренних сил равна мощности соответствующих внешних сил, а так как последние равны нулю на Я „а на Я„иг — и,"=О, то ) (о,'г — и, ) (5;у — Цг) Лl = О. То же самое можно установить и формальным преобразованием объемного интеграла в поверхностный (см. 9 64). Итак, и'П Г вЂ” = — ~ (о',,— а;,) ЦН". Это уравнение с помощью зависимости (71.1) можно переписать в другой форме: в'11 (и о).) Ц г( Поскольку вектор скорости пластической деформации Ц~ направлен по нормали к выпуклой поверхности текучести Е, вектор а; достигает поверхности текучести, а вектор ф, будучи безопасным, лежит внутри Х (см.
рис. 199, б; вместо пт будет ф), то имеет место локальный принцип максимума: (71.9) (а; — оггг) $лд > О. и'П Таким образом, — ' О, пока Ц ~ О. Так как упругая энергия П неотрицательна, то наступит момент, когда пластическое течеп11 ние прекратится (т. е. сл = О, — = О) . Остаточные напряжения дг не будут далее изменяться во времени, тело будет испытывать при изменениях нагрузок только упругие деформации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
