1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Рассмотрим стержень прямоугольного сечения (рис. 23!); высоту зоны нагружения Гд обозначим через та (т<1), тогда 5,= — тзаз, 5»= — (1 — т)заз 1 1 в уравнение(74.!О), определяющее т, принимает ввд т»Е' — (1 — т)з Е =О, ! l ! ! ,л ! ! l 1/ Здесь уы л — соответственно моменты инерции площадей Гы Е относительно линии раздела л — л. Величина Е» называется приведенным модулем (или модулем Энгес- 353 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ откуда Далее, Ь еье Ь (( — )глг ьь У = —, з ' ' з У=в Приведенный модуль равен 4ЕЕ' ( ГГЕ +~ГЕ')~ Изложенная теория в общем удовлетворительно полтверждена экспериментами Кармана и других исследователей. При этом следует иметь в виду два обстоятельства.
Во-первых, касательный модуль Е' практически определяется с малой точностью из-эа неизбежного разброса точек и быстрого изменения наклона касательной к кривой деформации. Во-вторых, высказывались сомнения в достаточной точности опытных данных вследствие значительного влиянии концевых условий и особенностей нагруження в испытательных машинах. 4. Модель Шепли. Значение касательно-модульной нагрузки. Решение Энгессера — Кармана основано на использовании статического критерия устойчивости в той форме, в какой он применяется в вопросах устойчивости упругих систем. Считается, что стержень остается прямым до момента потери устойчивости, причем переход из прямого состояния в искривленное осуществляется при неизменной величине сжимающего усилия, т, е.
при ЬР=О. Долгое время не возникало сомнений в правильности изложенного выше подхода к решению задачи устойчивости сжатого стержня эа пределом упругости. В ряде экспериментальных исследований по сжатию стержней из алюминиевых сплавов, проведенных недавно в связи с нуждами самолетостроения, было обнаружено, что критическая нагрузка обычно несколько ближе к касательно-модульной нагрузке Р', чем к приведенно-модульной нагрузке ЕА. Опыты показали, что изгибанне появляется еще до достижения приееденно-модульной нагрузки Р, причем вначале оно не сопровождается разгрузкой материала.
Эти факты получили новое освещение в исследованиях Шепли [""[ н последовавших за ними работах других авторов. Если отказаться от ограничении ЬР= О и разыскивать наименьшую нагрузку, при которой становится возможным искривление в условиях возрастания сжимающей силы (ЬР>О), то такой нагрузкой оказывается касательно-модульная нагрузка Р'. Это было показано Шепли на частном примере идеализированной колонны, состоящей нз двух жестких стержней длиной 1/2 каждый, соединенных малым упруго-пластическим шарниром (рис.
232); две деформируемые 13 л. м. квчавов 333 УСТОЙЧИВОСТЬ УЛРУГО ЛЛАСТИЧЗСКОГО РАВНОВЕСИЯ (ГЛ. Х полки последнего (площадью Р/2 каждая, й~(() испытывают растяжение или сжатие. В исходном состоянии система прямолинейна; на рис. 232 показано отклоненное состояние системы (膫прогиба). Пусть ед н е« означают дополнительные деформации (при выпучивании, а 6Р— приращение нагрузки.
Составляя условия равновесия системы 6Р= — (едЕ' — е«Е), Ри= а (е«Е'+е,Е) а1 ! н используя соотношение и= — = — (е +е ), иа- 2 аа ходим, исключая ед и е, что Отклоненное (ича О) состояние оказывается возможным: 1) для упругих полок (Е'=Е) при эйлеровой нагрузке Р,= —, 2) за пределом упругости по схеме касательного модуля (Е=Е') при нагрузке Е'рад Р' ! Рис. 232. 3) за пределом упругости по схеме приведенного модуля (6Р=О) при нагрузке 2Е Е+Е' ' Легко найти, что е« пропорционально (Р— Р'); но е О, н при Р< Р' будет и= О. Если же Р' =. Р =.
Рю то имеет место бифуркация равновесии и, кроме нулевого решения, возможно еще решение а Р— РР» — Р' и= — — —,, (6Р= Р— Р), 2Ра — Р Р' где Р†значен нагрузки в бифуркационной точке; эта зависимость показана на рис. 233. Касательно-модульная нагрузка является наименьшей нагрузкой, при которой возможно выпучивание, причем с увеличением сжимающего усилия Р прогиб растет (кривая 1) и обращаетсв в бесконечность с приближением к прнведенно-модульной нагрузке Р„. Если воспрепятствовать перемещениям стержня до не- отарой нагрузки Р)Р' и затем отпустить его, стержень будет изгибаться согласно пунктирной линии 2. Выпучивание может про- 357 $74[ УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ изойти при любой нагрузке в интервале (Р', РА). При силе Р)Р' изгиб сопровождается разгрузкой и появлением остаточных деформаций, поэтому анализ Шепли не означает возврата к первоначальной грубой схеме Энгессера; однако е момент бифуркации разгрузка отсутствует.
Таким образом, ничтожные возмущения приводят к изгибу при касательно-модульной нагрузке. Эти отклонения, однако, вначале не опасны и лишь при дальнейшем возрастании нагрузки возникает угрожающее состояние. р р/ и й Рис. 233. Рис. 234. Касательно-модульная Р' и приведенно-модульная Р„ нагрузки иногда называются соответственно нижней и Верхней критическими нагрузками; последние ограничивают область, в которой осуществляется выпучивание. Нижняя граница Р' безопаснее, проще определяется и поэтому имеет большее практическое значение. Следует заметить, что различие между нагрузками Р' и Р„ часто невелико.
На диаграмме сжатия (рис. 234) точка От соответствует касательно-модульной нагрузке, точка Ов — приведенно-модульной нагрузке. Напряжения а' и а„ часто близки друг к другу', что объясняется уменьшением касательного модуля Е' по мере продвижения вдоль кривой деформации, Анализ условий выпучивания реальных стержней, выполненный приближенными или численнымн методами К). Н.
Работновым[ыв], Пфлюгером [твв1 и другими авторами, подтвердил выводы Шепли. В. Д. Клюшников [твч) исследовал движение идеализированной модели (рис. 232» в предположении, что вся масса системы сосредоточена в середине стержня, и пришел к тому же выводу о начале выпучивания при касательно-модульной нагрузке.
См. также книгу Я. Г. Пановко и И. И. Губановой [вы]. Б. Нижняя критичесиая нагрузка. Проведенные исследования выяснили значение касательно-модульной нагрузки для сжатого стержня. Касательно-модульную нагрузку условимся называть нижней критической нагрузкой. 13* устойчиВОсть упРуГО" плАстическОГО РАВнОВесия [Гл. х Значительно хуже обстоит дело с обоснованием критерия устойчивости за пределом упругости для более сложных систем в полос, пластин, оболочек. Обычно используют один из следующих приемов. Б и ер во и с п ос обе рассматривают, аналогично случаю идеально упругого тела, бифуркацию равновесия лри фиксированных внешних силах.
При выпучивании сразу возникают области разгрузки. Эта схема в применении к сжатому стержню дает приведенно-модульную нагрузку. Будем считать, что этот прием приводит к верхней критической нагрузке. Б т о р о й с и о с о б опирается на анализ Шепли. Разыскивается бифуркации равновесия при условии продолжа|ощегося нагруження (в момент бифуркации разгрузки нет). Недавно Б. Д. Клюшников[т»т[ изучил возмущенное движение идеализированной пластинки (двумерный аналог модели, показанной на рис.
232). Анализ показал, что второй способ прийодит к нижней критической нагрузке, если исходить нз уравнений теории пластического течении. Ниже используе~си второй способ; полагаем, что он приводит к нижней критической нагрузке. Конечно, эта концепции не имеет надежного обоснования. Более того, отнюдь не ясно, всегда ли можно в указанном выше смысле реализовать «продолжающееся нагружение» за счет приращения параметра нагрузки в задачах устойчивости оболочек.
Тем не менее относительнаи простота, более «безопасный» характер нижней критической нагрузки, а также заметная погрешность в определении касательного модуля Е', снижающая точность решений по обоим критериям, побуждают здесь предпочесть второй способ. ф 75. Устойчивость полосы, изгибаемой парами 1. Основные положении. Рассмотрим задачу о боковом выпучивании полосы, изгибаемой парами за пределом упругости (рис.
235, а), Концы полосы закреплены шарнирно. Сечение полосы имеет форму вытянутого прямоугольника (рис. 235, б), Материал полосы следует уравнениям теории пластического течения, причем в пластических зонах [у[>$, заштрихованных на рис. 235, а, выполняется условие текучести Мизеса. При [у ~($ имеется упругое ядро; нетрудно видеть (см. й 24), что где г11 =п»ай» вЂ” предельный изгибающий момент. До выпучивания отлично от нуля лишь напряжение п„причем при [у[)$ [п,[=-0,. При достаточно большой величине изгибающего момента происходит боковое выпучивание (в направлении х), сопровождающееся круче.
Вием. й 75) устОйчиВОсть пОлОсы, изгиВАемой пАРАми Обозначим через х', у', я' триэдр осей для произвольного поперечного сечения полосы после выпучивания; оси х', у' направлены по главным центральным осям поперечного сечения (рис. 235, в). Обозначим через Т угол поворота сечения относительно оси я (угол нт скручивании); тогда кручение на единицу длины равно „ — .
Далее, пусть и — боковой прогиб при выпучивании, тогда соответствующая ч«".и кривизна оси полосы равна ~ — . [ег« П Т Л б) У а) Рнс. 235. Вектор момента на конце полосы г = ( показан на рис. 235, а пунктиром; его проекции на оси у', х' соответственно равны 7-У =Му Е'=-- — Мл— (75.2) При бесконечно малом выпучивании полоса испытывает дополнительные деформации.
Так же как и в упругом случае, эти деформации состоят из изгиба полосы и скручивания ее. Компонентами напряжения и„, т„„ т„ можно пренебречь, так как боковые поверхности полосы свободны от напряжений, а толщина полосы нала; напряжением и также пренебрегаем, поскольку давление волокон У друг на друга отсутствует при изгибе и при кручении. Следовательно, при выпучивании возникают лишь дополнительные напряжения бп, бт 2. Йижняя граница устойчивости. Будем разыскивать нижнюю критическую нагрузку, тогда в момент бифуркации разгрузки нет. Позтому в пластических зонах )у ! ) $ будет бп, = О.
По уравнениям теории течения (13.7) имеем: 6В, = — 6п при )у) ~($; бу, = — бт,. (75.3) Збо устойчивость упгуго"пластического Равновесия (Гл. х Согласно второму соотношению приращения касательного напряжения и сдвига связаны законом Гука, следовательно, крутящий момент пропорционален кручению, т. е. Вх' — Се и (75.4) (75.5) 4 Здесь через Ве= — ЕЬЬа обозначена изгибная жесткость упругой О 3 полосы.
Сопоставляя приведенные выше формулы, получаем: — м — =с — му=в —. йи пу пал ага (75.6) По условиям шарнирного закрепления концов имеем: и=О, у=О при «=О и «=7. (75.7) Интегрируя первое нз уравнений (75.6), находим, что Сеу = = — Ми; тогда Л~и Ма все — + — и=О. Решение этого уравнения, удовлетворяющее нулевому условию при « = О, имеет вид (А †произвольн постоянная) Мг и=Азш Увс Из второго граничного условия находим: М! Агйп =О. Увс Следовательно, кроме исходной (тривиальной) формы равновесия (А=О), возможно выпучивание при М1 — =гс, 2гс, у вс Критический момент равен где Се †жесткос при кручении упругой полосы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
