1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Далее, так как в пластических зонах ба, = О, то жесткость при боковом изгибе определяется жесткостью упругого ядра ~у )<„$. Приращения осевых деформаций бе, следуют гипотезе плоских сечений, поэтому изгибающий момент Е„. при выпучивании равен 2 76) устойчивость сжАтых плАстин 361 М 1 Введя параметр гибкости Х = ' , можно последнюю зависи- 3»~О мость представить в форме )г[д =ПУЬ (75.8) где 2 1 при 3 2 )' 3(1 — )г) Ри 3 ()г~~[ На рис. 236 показана граница устойчивости на плоскости )», р.
Пунктирная линия отвечает идеально упругой полосе (ь =- 1). Точка гг, для которой р=з/з, соответствует появлению первой рь пластической деформации. При наличии пластических (р деформаций критическая нагрузка резко снижается. ру 3. Заключительные замеча- тт' ния. Общая теория устойчивости 46 плоской формы изгиба за пределом упругости и ее приложения к различным частным задачам изложены в первом издании втой книги. Там же определены гг и верхние критические нагрузки.
Вычисления показали, что ниж- А няя н верхняя критические нагрузки близки друг к другу. Влияние уврочненяя рассмотрено в работах [»»»[. Опыты Нила [»»»[ хорошо подтверждают теоретические значения критических нагрузок. Устойчивость тонкостенных стержней при упруго-пластических деформациях изучена в работе ["») на основе уравнений теории течения по схеме »продолжающегося нагружения» (нижняя критическая нагрузка). р г» 4 б Ю У У Рис. 236. й 76. Устойчивость сжатых пластин Выпучивание пластин и оболочек изучено А. А.
Ильюшиным и другими авторами (см. [гз'з' т»]) на основе деформационной теории и классического представления о потере устойчивости при неизменных внешних силах. При етом выпучивание сопровождается появлением областей разгрузки, что существенно усложняет анализ. При использовании теории течения и того же критерия большая часть трудностей сохраняется. Те же задачи решаются значительно проще, если исходить из теории течения и разыскивать нижнюю критическую нагрузку, соответствующую выпучиванию при продолжающемся нагружении. Как 362 УСТойЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ (ГЛ.
Х уже отмечалось, интерпретация этого условия может здесь вызывать затруднения, однако мы примем его„ имея в виду, что тем самым разыскивается более безопасная граница устойчивости. С этой точки зрения рассмотрим кратко вопрос о выпучивании пластин. 1. Основные уравнения '). Пусть пластина (толщина л) деформируется в своей плоскости (х, у) за пределом упругости. Полагаем для простоты, что в пластине до выпучивзиия реализуется однородное напряженное состояние †сжат в двух перпендикулярных направлениях: ох= — р, и = — д, тх =О.
При выпучивании напряжения в пластине получают бесконечно малые приращения бпх, бо„бтх (остальные компоненты напряжения отбрасываются как второстепенные для пластины). По уравнениим теории течения (13.14) для общего случая упрочняющегося материала получаем соответствующие бесконечно малые приращения компонент деформации: бвх = — (бпх — тбау) — 3- Р(Т) ЬТ(2Р— Г1), 1 1 бву Е (бпу тбох) 3 Р (Т) ЬТ(2Ч вЂ” Р), 1 1 1 67ху Г; бтху ! (76.1) ! причем — 3 (» — »7+ 7), ! — б Т = ВТ )(2Р— р) бпх+ (2р — Р) бп„1, 1 1 ~(Ф ЕТх ИТ ' ОАр — Охавх = пх.г (пх) Гхпх х.
Ох Опх Производная т' (пх) обратна местному (касательному) модулю Е', ') Преднолагаегси, что читатель знаком с асиовами теории изгиба и устойЧнвести упругих пластин (см, [х']), Здесь Ф (7) — работа пластической деформации; Ф (Т) — характерная для данного материала функция, не зависящая от вида напряженного состояния. Рассмотрим простое растяжение; пусть кривая растяжения имеет уравнение В = Р(п„), тогда приращение работы пластической деформации равно 0 76) УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ПЛАСТИН следовательно, 1 ВАУ 1 1 1 2!Ф ох 2!ох Е' Е ЗТаТ так как А =Ф; здесь Е' — касательный модуль при растягивающем у напряжении ах, отвечающем данной интенсивности Т, Внося в формулы (76.1) знзчения Т, 6Т и Г(7), получаем: обуху = б'гху~ (76.2) где введены обозначения Ахх =1+ 0 (2Р—,7), Ах = — У+9 (2р — ~у) (227 — р), А„,=1+0(2д — р)2, (76.3) причем 1 1(Е ) а 0 = О, при переходе к площадке текучести (76.2) относительно приращений напряжения, Для упругого тел 0 — оо, Решая уравнения находим: = — (А бвх — Ахубе ), Е = — ( — Ахубвх + Аххбв,), =- ОЬу„у, бпх (76.4) бп бт„ где обозначено бвх = е, — гн„ бв =е,— гн„ у 2 буму = 2 (е„в — лн22), (76.5) где е„е, 2ет — бесконечно малые приращения деформаций срединной поверхности, а н1, н„ н, †бесконеч малые изменения ее е — (1 ) ю„ю, — 1+, ~р — рг7+ г7 О.
8 — 4т/ 2 8 — 10У По предположению бнфуркация осуществляется при отсутствии областей разгрузки, поэтому формулы (76.4) справедливы во всей пластине. Согласно теории изгиба пластин Кирхгофа при выпучивании приращения деформаций будут линейными функциями расстояния от срединной поверхности: 364 устойчивость упгхго-пластического гьвновесия (гл. х кривизн и кручения. Как известно, д'в дкв дав х= — х= — х дхк' а дух' 11 дхду ' (76.6) где тв =те(х, у) †прог пластины при выпучпвании. Приращения напряжений, очевидно, также изменяются линейно по толщине пластины.
Нетрудно теперь вычислить приращения моментов — изгибающих 6Мк, 6Му и скручивающего 6М„: 6М =)ба епх= — — (А х — А х ) В х к в УУ 1 хУ В~ 1 6Му= ')боулс(х= — — ( — Ах х,+ Ахки,), В 6Мх = ~ бтк яйх= — 77(1 — т) хем (76.7) те=О, д — — О, дв где и †направлен нормали к контуру. Если край пластины апарт, то вдоль него те=О, 6М„=О, где 6̄— приращение изгибающего момента на контуре. ь л где интегрирование выполняется в пределах от — — до + †, а 77 = 2 2 ' два †жесткос упругой пластины. 12 (1 — чк) Проектируя на ось х силы, действующие на злемент пластины в выпученном состоянии, получим известное уравнение равновесия ДкбМх д'6Мх„ дкбМк Отсюда с помощью (76.7), (76.6) находим дифференциальное уравнение выпучивания пластины (предполагается, что толщина пластины й постоянна, а исходное напряженное состояние однородно) Дче д1в ив А у дхк + 2 (се1 — тсо1 — Аку) дхадук +Ахк ду1 + Дв1 ~ д в дкв' + — ' ~р — +д — ) =О.
(76.9) 0 (, дкх дуг) Аналогичное дифференциальное уравнение указано Пирсонам[111]. Для упругой пластины 6 = О, и уравнение выпучи ванна принимает вид Л l дкв дгвт (76.10) Уравнение (76.9) внешне сходно с уравнением устойчивости упругой анизотропной пластины. 2. Граничные условия. Если край пластины жестко заделан, то вдоль него 6 76) УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ПЛАСТИН 365 Наконец, если край пластины (например, х = сопз1 = а) свободен, то вдоль него равны нулю изгибающий момент 3Мх и поперечное усилие а): авмху даму да мху бм„= О, И„+ — 'У = О. ду (76.11) Подчеркнем, что граничные условия (как и само дифференциаль" ное уравнение) однородны.
3. Энергетический метод. Определение критической нагрузки сводится, таким образом, к нахождению собственных значений задачи. Можно непосредственно разыскявать нетривиальные решения дифференциального уравнения (76,9). Во многих случаях целесообразнее, однако, исходить из энергетического уравнения.
Последнее можно вывести, перейдя от дифференциального урав- ут нения к соответствующей вари- гу ационной формулировке. Нетрудно (аналогично приему С. П. Тимошенко[ля) и Бийларда (аа)) непосредственно вывести энергетическое уравнение, при- Л' равнивая работу деформации изгиба при выпучивании работе уу внешних сил на смещениях от д выпучивания. 4. Выпучиваиие сжатой прямоугольной полосы. Рассмотрим задачу о выпучивании длинной Рнс. 237. прямоугольной пластины, сжатой в одном направлении (рис. 237). Здесь д = О, а так как пластина вытянутая (а)) а), то можно считать, что реализуется цилиндрическая форма потери устойчивости, т.
е. Тн =те(х). Края х = О, Ув х=а оперты, т. е. вдоль них па=О, — =О. Дифференциальное уравнение выпучивания (76.9) принимает вид лча рмаь Фм А — + — ' — = О. УУ лха 1а лха Критическое давление, как нетрудно видеть, равно А „ Р =Рз Оаа а) 1ах, 1ау — перерезывающве усилия: даМ, даМха дк ду 366 УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. Х ла 0 где р =-.
— ††критиче дзвление для рлрргой полосы. Множив= „а тель С уменыпеннем касательного модуля (с' — 0) критическая на- 1 — ча грузка монотонно снижается к значению б ра, принимаемому на 5 — 4У У площадке текучести. Таким образом, здесь в отличие от случая сжатого стержня полной потери устойчивости на площадке текучести нет.
б Р б. Устойчивость опертой прямоугольной пластины, сжатой в одном направлении (рис. 238). В этом случае д=О, а Рнс. 238. граничные условия имеют вид: —, =- О, дам — =О. дуя и х=а те=.О, при х=О при у=О И ул й Ищем решение дифференциального уравнения выпучивания (76.9) в обычной форме смл з|п мнх, лну (76.12) ГДЕ Смл — ПРОИЗВОЛЬНаЯ ПОСтОЯННаЯ, ЛГ, Л вЂ ЦЕЛ ЧИСЛа; ЛЕГКО ВИДЕТЬ, что граничные условия удовлетворяются. Внося (76.12) в уравнение (76.9), получаем: с „(и [А ( — ) +2(Г — — А„„) (-- — ) +А„„® ~— — '"'-( — „) ~=О. Поскольку разыскивается нетривиальное решение, должно равняться нулю выражение внутри фигурных скобок; тогда р=-— " л ~Ауу( — ) +2(а~.-те.— А.,) (л) + 4- (Ь) ( — ) ~ Нетрудно видеть, что ю,— та)à — А, ) О, поэтому все слагаемые поло1кительны, и при разыскании наименьшего р следует положить 367 ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ Х л =- 1 (т.
е. в направлении у †всег одна полуволна). Число т и следует выбрать в зависимости от отношения — и коэффициентов ь уравнения так„ чтобы р было минимальным. 6. Заключительные замечания. Как уже отмечалось, при рассмотрении более сложных задач целесообразно исходить иэ энергетической формулировки и искать критическую нагрузку иетодом Ритка. Качественная картина границы устойчивости пластин, получаемая по изложенной теории, правильна, однако теоретические значения критических нагрузок иногда заметно отличаются от экспериментальных данных.
Следует отметить, что опытные данные находятся и лучшем согласии с результатами работ Бийларда [зэ) н Стоуэлла, в которых используются уравнения деформационной теории и принимается, что при потере устойчивости происходит лишь пластическая деформация.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
