1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 64
Текст из файла (страница 64)
р) 0; тогда наибольшее возможное отклонение должно быть меньше максимальной абсциссы В. Оптимальное значение Х равно отрезку ОА. При улачном выборе поля остаточных напряжений можно получить хорошее приближение. Этот прием нетрудно распространить на двухпарамстрические системы нагрузок, когла (72.4) О,'; =-" Ро,'7 4- оо,"7, и вместо (72.3) будет ~(ро(г — ',.оо;; (.Ып) = — К. (72.5) Зададим серию значений д =-. ды дм ча,, построим выше, кривые допустимых состояний С, С, Са,... (рис.
221) и отметим на каждой из них наибольшее т значение параметра р (р =р, р,ра, ...). На плоскости параметров р, д проводим по точкам криву~о (рис. 222), ограничивающую область допустимых нагрузок. 2. Пример. Совместное кручение и и растяжение стержня. Найдем область приспособляемости для круглого стержня Рис. 222. радиуса а, растягиваемого силой Р и скручиваемого моментом Л4. В системе цилиндрических координат г, ~р, г от нуля отличны компоненты напряжения о„ тгп Введем безразмерные величины: Р 2М р = г(а, т = т„,/т„о =- о,/о„р = „—,—, о = „,— . 3 72) ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ, ПРИМЕР 345 Тогда упругое решение записывается в виде о =:р т — 'чр. Выберем следующее остаточное напряженное состояние; о — 0 с — Х(1 1 ср) Постоянная с определяется из условия равенства нулю момента напряжений т; легко вычисляем, что с = — 4/3.
Суммарное поле 4 о=-р, т — ур+ Х (1 — — р) 3 должно быть безопасным, т. е. (при условии текучести Мизеса) о' 1 т' ~ 1. (72.7) Рассмотрим сначала случай чистого кручения (р =- 0); тогда из условия текучести имеем: др 1-Л~1 — — р) =-~1. 4 3 (72.8) На плоскости д, Х (рис. 223) это уравнение определяет два пучка прямых с центрами А (,7= †, Х =- 1 ) и А' ( д =-- — †, Х = — — 1 ) . 3 ' Так как 0 ( р ( 1, то эти 11с пучки ограничивают параллелограмм допустимых значений АВА'В'; стороны последнего получаются из (72.8) при р =.-. 0 и р=1. ! Остановимся на некоторых деталях.
Прежде всего отме- -~ 7 й ' 7 ',б тим, что первые пластические деформации в наружном слое ', ~ и д стержня появляются при ~у=~-1. Если крутящий мо- А,, -- -/ В мент не меняет знака (т. е. 0(ф, то наибольший допу- Рис. 223. стимый интервал изменения д 41 характеризуется абсциссой точки А (д = †), .Пто значение соот- — 3,). ветствует предельному крутящему моменту.
Если же момент знакопеременный, то наибольший интервал изменения д определяется длиной отрезка горизонтали между сторонами АВ и А'В'; очевидно, что дм,„— 7 ш — — 2 при любом ) . Перейдем теперь к анализу общего случая, когда усилие рФО и произвольно изменяется,в пределах ( — р, -1-р). Тогда из условия З4Е [гл. гх ТЕОРИЯ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ текучести получаем: ур,.х (! —,' р~ =- Это уравнение определяет на плоскости д, Х параллелограмм аоа'!!' (рис. 223), подобный параллелограмму АВА'В' и лежащий внутри него; он отсекает на осях д, )с отрезки длиной )г ! — Р'. Таким обрззом, при действии осевой силы интервал допустимых изменений крутящего момента суживается.
Если крутящий момент не 4 г меняет знака, то о ,„ — д ;„ = — Р 1 — Р'; в противном случае ЗАЛАЧИ К ГЛАВЕ 1Х 1. Найти область приспособляемости для круглой трубы, испытывающей действие внутреннего давления и продольного усилия (по приближенному способу, 4 72). 2. Найти обчасть приспособляемости для круглого стержня, скручиваемого моментом А! н испытывающего давление Р по боковой поверхности; осевое усилие отсутствует. Глава Х УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ ф 73. О критериях устойчивости 1. Замечание об устойчивостя механических систем.
Устойчивость равновесия механической системы зависит от параметров последней. Для некоторых механических систем в число таких параметров входят действующие нагрузки. Аналогичное положение имеет место и для упругих систем; тонкие сжатые стержни, пластинки и оболочки при некоторых значениях нагрузок теряют устойчивость равновесия и выпучивзются.
Полагая, что читателю известны основы теории устойчивости, остановимся лишь на некоторых деталях. В механике твердого тела вопрос об устойчивости равновесия решается изучением движения системы вблизи исследуемого положения равновесия (динамический критерий). Если малые возмущения вызывают движение, расходящееся из окрестности равновесного состояния, то последнее является неустойчивым; если же происходят колебания около рассматриваемого состояния равновесия, то оно является устойчивым (устойчивым в малом). Устойчивость зависит от величины возмущений.
При значительных допускаемых отклонениях говорят об устойчивости в болыиом. С величиной отклонений связано представление о степени усгоачивости. Ниже будут рассматриваться лишь малые возмущения. Если система консервативная, можно не рассматривать ее колебаний; достаточное условие устойчивости доставляет известный признак Лагранжа — Дирихле: в устойчивом состоянии ранновесия потенциальная энергия системы имеет минимум (энергетический критерий). 2. Устойчивость упругих сметем. Общий динамический критерий справедлив, конечно, и при изучении вопросов устойчивости равновесия упругих систем; здесь, однако, использование его связано с большими математическими трудностями, поскольку движение таких систем описывается системой уравнений в чзстных производных.
Поэтому вопросы устойчивости равновесия упругих тел анализируются, как правило, при помощи других, более простых, но не столь общих критериев устойчивости равновесия, Обратимся к их краткому рассмотрению, 348 УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ (ГЛ. Х Статический критерий устойчивости состоит в слепующем.
Рассматриваются состояния равновесия, бесконечно близкие к исходному (основному, ктривиальному») состоянию равновесия. При некотором значении нагрузки возможна наряду с основной формой равновесия другая форма. Иными словами, при олной и той же нагрузке могут осуществляться различные формы равновесия (точка бифуркации, разветвления форм равновесия). Подобное состояние может рассматриваться как переходное от устойчивого равновесия к неустойчивому. Наименьшая нагрузка, Р при которой возможны различные формы равновесия, называется критической.
Эта картина на примере сжатого стержня схемагически показана на рис. 224 сплошной Рр линией; по оси ординат отложена нагрузч( ка Р, по оси абсцисс — прогиб Л. При ( Р(Р,Р лля правильного стержня возможна лишь прямолннейнан форма равнавесик.
При Р) Р„(Є— точка бифуркации) устойчива изгибная форма равновесия. д Лля консервативных систем статичеРис. 224. ский и динамический критерии приводят к одним и тем же значениям критической нагрузки. В математическом отношении статический критерий приводит к хорошо изученной проблеме собственных значений для линейных лифференциальных уравнений. Используя статический метод, Эйлер впервые изучил устойчивость сжатого упругого стержня. Энергетический критерий устойчивости. Есин рассматриваемая упругая система консервативная, то достаточным условием ее устойчивости является условие минимума потенциальной энергии.
Если П— упругий потенциал, А †потенци внешних сил, Э --= П вЂ” А †полн энергия системы, то при устойчивом равновесии вторая вариация энергии будет положительно определенной 6»Э) О Критическая нагрузка — наименьшая нагрузка, при которой это свойство утрачивается, т. е. 6В Э = О. (73 А) Энергетический критерий может быть сформулирован также в несколько иной форме, принадлегкащей С. П. Тимошенко. В положении устойчивого равновесия энергия Э=.— П вЂ” А минимальна, слеловательно, при всяком малом отклонении от пологкения равновесия приращение полной энергии 6Э ) О или 6П > 6А. Если при некотором значении нагрузки равновесие перестает быть устойчивым, то 5 73) О КРИТЕРИЯХ УСТОЙЧИВОСТИ 6Э=-О, т.
е. 6П =.- 6А. (73. 2) Пусть р — параметр нагрузки, т. е. 6А. Р6А, тогла ЬП Р =- = бА Минимальное значение нагрузки, удовлетворяющей этому соотношению при отличных. от нуля отклонениях системы от основного положения равновесия, есть критическая нагрузка бП р =- пп'и = ьР бА (73.3) В математическом отношении мы имеем здесь залачу о минимуме квадратичного функционала.
Для консервативных систем статический и энергетический критерии эквивалентны. Дифференциальные уравнения устойчивостн, получающиеся при использовании статического метода, являются лифференциальными уравнениями Эйлера вариационной задачи, к которой приводит энергетический критерий. Для упругой системы существенно, чтобы внешние силы обладали потенциалом, в противном случае — статический и энергетический критерии могут привести к ошибочным заключениям (см. [195)), Если система не консервативна, то, вообще говоря, справеллнв лишь динамический критерий.
Простейший пример такой системы— упругий стержень, сжимаемый силой, направленной по касательной к осн стержня (следящая сила). В дальнейшем будем полагать, что внешние силы обладают потенциалом, т. е. что работа внешних сил не зависит от проходимого пути. К величине критической нагрузки можно подойти, прослеживая деформации системы, имеющей начальные отклонения (начальные дефекты). Например, можно рассмотреть сжатие стержня с начальным искривлением (или при дополнительной поперечной нагрузке). На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
