1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 65
Текст из файла (страница 65)
224 пунктиром показано нарастание прогиба с увеличением сжимающего усилия. С приближением последнего к критическому значению Р„, прогиб резко возрастает. В такой постановке анализ устойчивости по существу отпадает, но этот способ имеет свои недостаткч. Поведение системы зависит от начальных отклонений, заранее неизвестных. Кроме того, математическая задача оказывается более сложной, чем при использовании статического или энергетического критериев. 3. Устойчивость прн упруго-пластических деформациях.
Опыты показывают, что классические решения задач устойчивости упругих систем нередко плохо оправдываются. Одной из серьезнейших причин 350 УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ (ГЛ. Х расхождения являются неупругие свойства реальных материалов, резко снижающие сопротивление выпучиванию. В связи с практическим значением вопроса (в современных конструкциях потеря устойчивости происходит большей частью за прелелом упругости) широкое распространение полу.
чили различные эмпирические формулы, найленные при экспериментальном изучении устойчивости сжатых стержней. Позднее были развиты некоторые теоретические приемы анализа устойчивости конструкций, работающих за пределом упругости. Система, испытывающая упруго-пластические деформации, не является консервативной, Поэтому, вообще говоря, исследование устойчивости равновесия за пределом упругости лолжно основываться на анализе движения такой системы вблизи основного состояния равновесия при сообщении системе некоторых возмущений.
Этот анализ чрезвычайно затруднителен по двум причинам: во-первых, мы не располагаем надежными уравнениями пластичности при циклических деформациях, во-вторых, даже при использовании простейших уравнений (например, уравнений деформационной теории или теории течения) возникают огромные математические трудности. Во многих случаях (но не всегда) можно получить необходимый ответ, изучая упруго-пластическую деформацию системы, имеющей начальные отклоненил. Однако такой анализ приводит к нелинейным задачам и также связан с большими математическими трулностями.
Обычно исходят из некоторого статического критерия, разыскивая нагрузку, для которой возможны различные близкие формы равновесия при тех нлн иных дополнительных условиях. Эти критерии, рассматриваемые в следующем параграфе, не имеют надежного теоретического обоснования; их значение иллюстрируется анализом поведения очень простых моделей упруго-пластических тел и подтверждается экспериментальными данными. Й 74.
Устойчивость сжатого стержня. Прнведеино-модульная н касательно-модульная нагрузки 1. Устойчивость упругого стержня. Устойчивость сжатого упругого стержня была изучена Эйлером в работе, относящейся к 1757 г. Приведем кратко решение втой залачи на основе статического критерия, причем лля простоты рассмотрим стержень постоянного и симметричного (рис. 225) сечения; оси х, у будут главными центральными осями. Пусть при некотором знзчении сжимающего усилия 7» происходит выпучивание стержня в плоскости наименьшей жесткости Ох; обозначим через и = и (я) смещение оси стержня при выпучивании (рис.
226). Согласно статическому критерию устойчивости выпучивание происходит в состоянии «безразличного» равновесия и осуществляется Зб) 2 74) УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО СТВГЖНЯ При выпучивании стержень искривляется тельные бесконечно малые деформации Ье,; тонкий, эти дополнительные деформации следуют гипотезе плоских сечений, т, е. и получает дополни- поскольку стержень бе, = в — 2)х, (74.2) где ее †бесконеч малое дополнительное осевое удлинение, а д— бесконечно малое изменение кривизны.
Соответству2ощие дополнительные напряжения по закону Гука будут бо, = Е ЬВ,. (74.3) Рнс. 225 Рис. 226 Очевидно, что ЬР— — ЕЕе„где Е— площадь сечения стержня; в соответствии с (74.1) следует положить В„=О, Возникающий при выпучивании бесконечно малый изгибающий момент — 7ти уравновешивается моментом внутренних сил — ~ ~ бп, х 2(х 2)у =- Е.Л), йти где з' †моме инерции сечения относительно оси у Так как д = — , аг то отсюда следует дифференциальное уравнение ази Р— + — и = — О. аг' ех (74.4 Для стержня с опертыми концами граничные у при я=О и в=Е Соответствующая критическая сила) равна п'Е7 Р= —.
12 Если ввести параметр гибкоати славия будут: и = нагрузка (эйлеров (74.5 где р — радиус инерции, и параметр нагрузки Р )2 = ЕР ' при одной и той же величине осевого усилия, т. е, при выпучивании приращение осеяого усилия равно нулю: ОР=О. (74.1) 852 УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО"ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ (ГЛ. Х равный отношению критического напряжения к модулю Юнга, то форнула (74.5) примет вид 7„)с гтя (74. 6) На плоскости Х, )с граница устойчивости будет, следовательно, гиперболой (рис. 227, а). Заметим, что результаты не изменятся, если считать 6Р отличным от нуля.
2. Устойчивость сжатого стержня за пределом упругости; касательно-модульная нагрузка. Если стержень сжат за пределом упругости (точка С на рис. д сс 228), то предыдущий анализ непригоден. В 1889 г. Энгессер предложил простой прием учетна пластических свойств. Допустим, что кривая ОС есть кривая нелинейно-упругой деформации, т. е. рассмотрим йу ег Рнс. 22?. Рнс. 228. устойчивость некоторого нелинейно-упругого стержня. Тогда зависимость между приращениями напряжении 6а, и деформации бе, будет бо, =Е'6е„ (74. 7) где Е'=( — ') есть местный модуль упругости, иногда называемый касательным модулем.
Очевидно, что в этом случае критическая нагрузка Р' (условимся ее называть касательно-модульной нагрузкой) будет определяться формулой (74.5) при замене модуля Юнга на модуль Е', т. е. (74. 8) УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ 353 Граница устойчивости зависит от вида кривой деформации; на рис. 227 представлены типичные случаи.
Для материалов с выраженной площадкой текучести Е' = О, т. е. при подходе к пределу текучести, устойчивость теряется (рис. 227, б); этот вывод подтверждается опытами. При постепенном переходе к площадке текучести граница устойчивости показана на рис. 227, в. Наконец, при упрочняющемся материале граница устойчивости отклоняется в сторону от гиперболы, отвечающей эйлеровой силе, в и затем поднимается (рис. 227, г). Ло пре! дела упругости О, справедливо решение Эйлера (74.6); далее оно показано пушстиром. Изложенная схема в общем дает качественно правильную картину. 3. Устойчивость сжатого стержня за пределом упругости; приведенно-модульная нагрузка. Вскоре после опубликования работы Энгессера Ясинский заметил, что для реальных материалов при выпучивании часть сечения Е, (рис.
229) испытывает дополнительное сжатие, и здесь справедливо соотношение (74.7), другая же часть сечения Еа испытывает разгрузку, протекаю. ! ьт Рнс. 229 щую по закону Гука (74.3), поэтому нельзя считать правильной рекомендацию Энгессера. В последующем Энгессер и Карман дали решение задачи об устойчивости сжатого стержня за пределом упругости, учитывавшее возражения Ясинского.
Приведем это решение. Бесконечно малые приращения напряжения Ьо, равны /Е'Ьеа в области нагружения Е (Ье,<0), '(ЕЬе, в области разгрузки Еа (Ье,>0). Так как считается, что вылучиваниг осуществимо при одной и той жв величине осевого усилил, чо ЬР= ~~ЬО,йхйу=О, Я~Е' — 8 Е=о, откуда (74.10) а/а 12 Л. М.
Качаааа Как уже отмечалось ранее (9 24), гипотеза плоских сечений имеет геометрический характер и не связана со свойствами материала, поэтому дополнительные деформации Ьв, представляются прежней формулой (74.2). Вдоль линии и — и ЬЕ,=О; эту линию условимся называть линией раздела и будем в дальнейшем от нее отсчитывать х. Тогда 6е, = — дх. (74.9) тстойчивость тпгхго-пластического глвновесия (гл. х 354 где Б, 8 — статические моменты площадей Е„ Гз относительно т линии раздела. Это уравнение определяет положение линии раздела (т.
е. х ), зависящее, как легко видеть, от формы сечения и отноо, щения Е')Е, Ясно, что область нагружения Ет всегда больше об- ласти разгрузки Ез, Теперь можно вычислить момент внутренних сил относительно ней~ральной линии: Š— ) ) бп м диду =Е /г(, (74.11) где положено Е'7,+ Е)з » сера — Кармана). Распределение дополнительных напряжений в сечении стержна показано на рис. 230. Сопоставляя моменты внутренних сил лля рассматриваемого распределения Е'лЕ и распределений Е'пА, Епй, заключаем, что Е' (Е =.Е.
(74.12) Таким образом, имеем прежнее уравнение продольного изгиба, но с приведенным модулем Е» вместо Е; следовательно, критическая нагрузка теперь равна Р» = —, или 74» = пз — . (74.13) л»Е»7 з ~» Приведенный модуль зависит от формы сечения. Однако, как показывают вычисления, для стали влияние формы поперечного сечения Рис. 231. на значение приведенного модули Е» невелико. Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
