1626435471-96d763014c5b110d5f3ee7d215c6531d (844210), страница 69
Текст из файла (страница 69)
е. и = в, (х — ааг) ьь С. Так как на фронте волны смещение непрерывно, то при х=И а=О, т. е. С=О, и решение имеет вид и = е, (х — аа1). В плоскости х, г (рис. 241, а) имеем следующую картину, Ниже фронта х=ааг лежит область покои, на фронте претерпевают разрыв деформация е, напряжение сг и скорость частиц о.
В фиксированный момент времени г" распределение деформаций, скоростей о представляют семейства параллельных прямых. При ударе вдоль стержня начнет распространяться прямая волна Ш11!1Ш1!Ш $ 77) глспгостглнание тпгтго-пластических волн в отважна 373 и смещений и показано на рис. 241,б; до прихода фронта волны частицы стержня нзходятся в покое, после прохождения †приобретают постоянную скорость — е,а (обратную направлению движения волны).
Смещение линейно возрастает с удалением от фронта. В момент г' = гг конец стержня разгружается (удар разгрузки); вправо со скоростью аа распространяется фронт волны разгрузки, оставлня после себя состояние покоя е = О,о= О,о =- О, и = сопа1 =- и, ~з,~з . зо зла"' ао азРЧ' „яь! г) ау х=х' в/ и, — — и и Рис. 241. Картина деформации стержня в момент г ~ Г показана на рис. 241, в. Картина изменения состояния с течением времени в некоторой точке х= х' изображена на рис.
241,г. 6, Преобразование уравнений, простые волны. Обрзтимся теперь к распространению упруго-пластических волн. При о, ~ оа скорость волны перемеина, причем ббльшая деформация распространяется с меньшей скоростью; с течением времени волна «расплываетсяа. Система нелинейных дифференциальных уравнений (77.4) †приводимая и преобразуется аналогично уравнениям плоской задачи (см. Я 33).
374 (гл. х~ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ Принимая за новые функции З, т(, получаем: д3 д~ дц дч — +а — =О, — — а — =О. дГ дх ' дГ дх (77.8) Эта система линеаризуется обращением переменных; при отличном от нуля якобиане Л(ь т)) = О(З, й) дз дт( дз дЧ В(х, Г) дх дт дт дх легко находим каноническую систему; дх дс дх дс — — а — =О, — +а д.— — О. д11 дп ' д~ д5 (77.9) Каноническая система не эквивалентна исходным уравнениям (77.8), так как при обращении переменных теряются решения, для которых Л(з, т)) =О. Эти решения, играющие важную роль, могут быть найдены непосредственно. С помощью (77.8) получаем; ЛЯ, г)) =2а — — = — — — — =О, д$ дЧ 2 д$ дт( дх дх а д( дс Дифференциальные уравнения характеристик й дх да 1 а О имеют очевидные интегралы в=С„ х — а~ =С„ где С„С,— произвольные постоянные.
Решение исходной системы уравнений есть т)=<р(е)+п=т)е, х — ат=Ф(е), где Ф вЂ” произвольная функция. Следовательно, характеристики прямолинейны; вдоль каждой из характеристик деформация, напряжение и скорость частиц постоянны. откуда вытекает, что потерянные решения имеют вид: 1) з=сопз1=$з, ч)=сапа(=пз, 2) т) =сонэ(= т(е, 3) ь = сопя( = за. В первом случае нз (77.8) следует, что и= сонэ(, з = сопз(, т. е. будет состояние постоянной деформации и скорости (в частности, состоинне покоя). Во втором случае одно из уравнений (77.8) удовлетворено, так как т( = ч)р, а другое после замены $ =т)е — 2~р(е) принимает вид дз де — +а — =О. дт дх 2 77) гаспгостгаиеиие тпгтго-пластических волн в стегжне 375 д Рвс.
242 О )(гг „йгР Рис. 243. деформации за пределом упругости — с меньшими скоростями. На фронте волны к — аас = О (рис. 243, а) деформация испытывает 14» Важным частным случаем является центрированная волна, для которой прямые характеристики исходят из некоторого центра О (рис.
242), Третий случай Я = сопя() аналогичен второму с тем отличием, что здесьволнаперемещаетсявобратномнаправлении. Изложенные решения называются простыми волнами и изображаются на плоскости точками (для области постоянных значений) или отрезками прямых линий. Подобно случаю плоской деформации (2 33), легко устанавливзется важная теорема: к области постоянных значений (в частности, к области покоя) всегда примыкает простия волна, 7.
Распространение упруго-пластической волны иагружения. При ударе по концу в стержне начнет распространяться простая волна растяжения о ц+ф (е) =-т)»; впеРеди волны — состоание покоЯ, следовательно, т)а =- О и о + ф (е) = О. Различные деформации будут распространяться с различными скоростями: упругие деформации †максимальной скоростью а, гт/ ф» 376 (гл. ха динамические задачи скачок от нуля до ее, а скорость частиц †нуля до и = — ~р(ее) = = — аеее. Вслед за тем проходит цеитрированная волна растяжении и+ ср (е) = О, х — а( = О, характеризуемая на плоскости х, 1 пучком прямых характеристик, исходящих из начала координат, и иногда называемая волной Римана.
Вдоль каждого луча скорость распространения деформации постоянна; эта скорость при переходе к характеристикам с ббльшим наклоном, очевидно, уменьшается. По достижении максимальной деформации е, состояние фиксируется и далее от конца стержня распространяется с минимальной скоростью а(е,) постоянное возмущение е,. Если наблюдать за состоянием в фиксированной точке х = х' Х' х' (рис. 243, в), то при 1 ( — будет покой; в момент 1= — прихоае ио дит фронт волны; деформация е, напряжение а и скорость и испытывают описанный выше скачок; далее, в интервале времени х' Х' — ( 1 ( появляется и постепенно нарастает пластическая ае а (е,) х' деформация; в момент 1 = последняя достигает максимального и (е,) значения и в последующем не изменяется, Распределение деформаций и смещений вдоль стержня в некоторый момент Р показано на рис. 243, б.
В заключение сделаем два замечания. Во-первых, описанная картина деформации правильна лишь до момента наступления разгрузки, во-вторых, здесь рассмотрено распространение волны растяжения; при ударе сжатия знаки деформации е, скорости и и смещения и изменятся на обратные. 8. Волна разгрузки.
В момент т' = тд в направлении положительных х начнет распространяться новая волна †вол разгрузки. В области разгрузки разности напряжений и деформаций связаны законом Гука (77.10) а — а„=Е(е — е„), где а, е„— значения напряжения и деформации, достигнутые в данном сечении стержня к моменту начала разгрузки (рис. 239, а); эти величины являются неизвестными функциями х. Внося (77.10) в уравнение движения (77.2), получаем: д'и , д'и — =а,' — +ф(х), дте дке где неизвестно. 2 77) глспгостялненив ьпвьго-пластических волн в ствгжне 377 1 ! ! 1 1 4 1 е» б где и „, е , а , е †значения и, е впереди и позади фронта (рис. 244), перемещающегося с некоторой Рис.
244. скоростью х. Согласно закону Гука [о] р Е [е]. (77.11) На фронте волны должно выполняться условие непрерывности смещения (условие кинематической совместности). Рассмотрим элемент стержня длиной Лх (перед прохождением волны разгрузки); длина этого элемента после прохождения фронта будет: Лх = Лх+ (еь — е ) Лх. 7 йх С другой стороны ( — — время прохождения волной отрезкз Лх) ( а 1 йх Ля= Лх+(о — о ) †.
+ й Следовательно, разрывы в деформации и скорости частиц связаны соотношением [о] =й [е]. (77.12) Далее, изменение движения элемента Лх при прохождении волны разгрузки должно подчиняться ззконам динамики Гусловие динамической совместности); по теореме о количестве движения Р Лх [о] = [и] 0 (77,13) Исключая отсюда разрывы [о], [и) с помощью (77П1), (77.!2), йекодим1 что йолна разгрузки рзспрэстранйется со скоростей) Необходимо построить решение этого уравнения, согласующееся с решением дифференциального уравнения нагружения (77.3); граница раздела решений заранее неизвестна. Мы не будем останавливаться на обсуждении этой своеобразной краевой задачи (см.(з')), так как для рассматриваемого простого случая ударной разгрузки в этом нет'необходимости.
Покзжем, что волна разгрузки перемещается со скоростью упругой волны а . Рассмотрим кинематическое и динамическое условия совместности на фронте 'ба волны разгрузки. При про- + 1и„. хождении фронта напряжедх ~ ! ние и деформация испытывают разрывы б о+ — сг = [сг], еэ — е = [е], (ГЛ.
Хг 878 динАмичаскив зАдАчи упругой волны: л= ~гг — =и. Р Заметим, что общая теория кннематических и динамических условий совместности и ее приложения к распространению воли в упругой и пластической средах изложены в книге Томаса [а«). 9. Остаточная деформация. Остаточная деформация вычисляется на основе зависимости (77.11); так как нагрузка сбрасывается полностью, то и = О. 'г(о тогда остаточная деформация равна е =е пь Е Фронт волны разгрузки, двигающийся с максимальной скоростью аа, обгоняет простые волны, причем так как наиболее медленным из них соответствуют наибольшие пластические деформации, то по 33(( 33 мере распространения волны разгрузки вдоль стержня величина остзточ- 3' ной деформации за фронтом уменье шается.
Рис. 245 Рис. 246. Картина в плоскости х, ( имеет следующий вид (рис. 245)„ Расстояние между фронтами нагрузки и разгрузки, перемещающимися с постоянной скоростью ая, постоянно (рис. 245,а). С течением времени простые волны (веер на рис. 245) все более «расплываютсяя, поэтому в отрезке между фронтами развиваются все меньшие пластические деформации. Таким образом, с удалением от конца стержня остаточная деформация убывает к нулю (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
